§5. Векторний добуток векторів, його обчислення та застосування.

Поняття векторного добутку. Умова колінеарності двох векторів в термінах векторного добутку. Властивості векторного добутку (антикомутативність, однорідність, аддитивність). Координатне подання векторного добутку (виведення формули координатного подання з використанням розкладу векторів-множників за одиничним базисом і властивостей векторного добутку). Детермінантна формула координатного подання векторного добутку. Застосування векторного добутку (умова колінеарності трьох точок у просторі, складання рівняння площини, що проходить через три задані точки, площа просторового трикутника).

5.1. Поняття векторного добутку.

Поняття векторного добутку є суто просторовим. Векторне множення векторів досить сильно відрізняється від множення чисел: не виконується така, здавалося б невід’ємна властивість множення, як комутативність (перестановочність); але все ж таки воно зберігає і спільні риси, саме тому в назві присутнє слово “добуток”.

Означення (векторного добутку). Нехай в просторі є два вектори і , тоді їх векторним добутком (позначається ) називається вектор, який:

по-перше, ортогональний до площини векторів і :

;

по-друге, довжина цього вектора дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , як на суміжних ребрах (сторонах), при зведенні їх до спільного початку:

;

по-третє, цей вектор направлений в той бік, що з кінця цього вектора найкоротший поворот від до (від першого множника до другого множника) видно проти годинникової стрілки (або, інакше, утворюють праву трійку векторів).

S

5.2. Властивості векторного добутку.

Важлива геометрична властивість векторного добутку “закладена” у його означення: якщо вектори і зведені до спільного початку, то модуль векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і .

Друга важлива геометрична властивість випливає із зазначеної і подається теоремою:

Теорема (критерій колінеарності двох векторів). Векторний добуток двох векторів рівний нуль-вектору тоді і тільки тоді, коли ці вектори колінеарні.

Доведення необхідності. Треба довести, що якщо векторний добуток векторів і дорівнює нулю, то (з необхідністю) вектори і колінеарні.

Нехай , тоді , а отже й . Якщо ж жоден з векторів і не рівний нуль-вектору, то з попереднього рівняння отримаємо , отже вектори і колінеарні. Якщо хоча би один з векторів і дорівнює нуль-вектору, то ми можемо вважати його колінеарним іншому, так як нульовий вектор можна вважати напрямленим будь-як.

Доведення достатності. Треба довести, що якщо вектори і колінеарні, то цього достатньо, щоб їх векторний добуток дорівнював нулю.

Нехай вектори і колінеарні, тоді кут між ними або дорівнює 0 (у випадку коли і напрямлені в одну сторону), або дорівнює 180⁰ (у випадку, коли і напрямлені в протилежні сторони). І в тому, і в іншому випадку . З цього випливає, що , тобто модуль вектора рівний нулю, а це означає, що сам вектор дорівнює нуль-вектору.

Теорема (алгебраїчні властивості векторного добутку).

Векторний добуток має такі властивості:

(антикомутативність);

(однорідність по першому і другому аргументу);

( адитивність по першому і другому аргументу) .

Доведення.

Антикомутативність означає, що коли ми змінимо порядок множників, то перед векторним добутком з’явиться знак мінус. Це випливає безпосередньо з означення векторного добутку. Дійсно, нехай ми підрахували векторний добуток. Уявімо собі, що ми знаходимось на вістрі вектора і що вектори і є годинниковими стрілками на деякому циферблаті, причому вектор є нерухомою стрілкою, а перший вектор обертається проти годинникової стрілки, щоб якнайскоріше потрапити у положення другого вектора. Якщо тепер ми припустимо, що нерухомим є перший вектор, а ми знаходимось там, де і були, то найкоротший поворот другого вектора до положення першого буде для нас спостерігатися вже за годинниковою стрілкою. Отже, ми повинні обійти циферблат, щоб зазначений поворот спостерігати саме так, як вимагає означення векторного добутку.

Однорідність випливає безпосередньо з означення векторного добутку і означення операції множення вектора на число (виконати розгорнуте доведення однорідності самостійно).

Адитивність будемо використовувати без доведення.