- •Розділ і.
- •§1. Метод координат.
- •1.1. Декартова система координат. Координати точки.
- •1.2. Відстань між двома точками. Рівняння кола та сфери.
- •1.3. Ділення відрізка у даному відношенні.
- •1.4. Пряма лінія на площині.
- •1.5. Площина в просторі.
- •1.6. Пряма лінія в просторі.
- •1.7. „За числами бачити фігури”.
- •§2. Перетин прямих ліній і площин.
- •2.1. Знаходження точки перетину двох прямих ліній на площині.
- •2.2. Знаходження точки перетину трьох площин у просторі.
- •Нехай маємо три площини
- •2.3. Перетин двох прямих на площині; одна з прямих задана канонічним рівнянням.
- •2.4. Знаходження точки перетину прямої і площини.
- •§3. Вступ до векторної алгебри.
- •3.1. Поняття вільного вектора.
- •3.2. Арифметичні операції над векторами.
- •3.3. Координатне подання арифметичних операцій над векторами.
- •3.4. Поняття одиничного декартового базису. Розкладення векторів за базисом.
- •3.5. Скалярний добуток векторів, його обчислення і застосування.
- •3.6. Точки та їх радіус-вектори.
- •§4. Розв’язання задач лінійного програмування малої
- •4.1. Математична модель задачі лінійного програмування.
- •4.2. Розв’язання злп.
- •§5. Векторний добуток векторів, його обчислення та застосування.
- •5.1. Поняття векторного добутку.
- •5.2. Властивості векторного добутку.
- •5.3. Координатне подання векторного добутку.
- •5.4. Координатне подання векторного добутку в детермінантній формі.
- •5.5. Контрольна перевірка правильності обчислення векторного добутку.
- •5.6. Застосування векторного добутку.
- •§6. Змішаний добуток векторів, його обчислення та застосування.
- •6.1. Поняття змішаного добутку.
- •6.2. Властивості змішаного добутку.
- •6.3. Координатне подання змішаного добутку.
- •6.4. Застосування змішаного добутку.
- •§7. Метричні характеристики і взаємне розташування геометричних об’єктів.
- •7.1. Точки і прямі лінії на площині.
- •7.2. Точки і площини в просторі.
- •7.3. Точки і прямі в просторі.
- •7.4. Пряма і площина в просторі.
- •7.5. Площі.
- •7.7. Дві прямі в просторі.
6.2. Властивості змішаного добутку.
6.2.1. Геометричний зміст змішаного добутку.
Змішаний добуток за абсолютною величиною дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах і , як на суміжних ребрах.
Відобразимо на малюнку векторний добуток векторів . За означенням векторного добутку його довжина дорівнює площині паралелограма, побудованого на і як на суміжних ребрах. В даному випадку: . Тоді, скалярний добуток , за означенням скалярного добутку, дорівнює добутку довжин цих векторів на .
Але відрізок є ні чим іншим як висотою паралелепіпеда . Змішаний добуток , що і треба було довести.
6.2.2. Критерій компланарності векторів і точок.
Вектори і звуться компланарними, якщо після зведення до спільного початку вони лежать в деякій одній і тій самій площині.
Теорема (критерій компланарності трьох векторів). Три вектори компланарні тоді і тільки тоді, коли їх змішаний добуток дорівнює нулю.
Доведення. Якщо три вектори компланарні, то вектор потрапляє в площину і . Отже паралелепіпед вироджується: він не має висоти, тобто його висота дорівнює нулю, його об’єм теж дорівнює нулю, а з цього випливає, що змішаний добуток теж дорівнює нулю.
Нехай є деяка сукупність точок. Будемо називати ці точки компланарними, якщо усі вони лежать в деякій, одній і тій самій, площині.
Теорема (критерій компланарності чотирьох точок). Чотири точки компланарні тоді і тільки тоді, коли .
Доведення — виконати самостійно, спираючись на критерій компланарності трьох векторів.
6.2.3. Алгебраїчні властивості змішаного добутку.
Теорема. Змішаний добуток має властивості однорідності та аддитивності по кожному з векторів-множників, тобто:
( однорідність)
( адитивність)
Доведення — виконати самостійно, спираючись на відповідні властивості скалярного і векторного добутків.
6.3. Координатне подання змішаного добутку.
Принципово питання про координатне подання змішаного добутку “знімається” самим означенням змішаного добутку: це поняття є похідним від понять скалярного і векторного добутків, для яких координатне подання дано у попередніх лекціях. Дійсно, нехай вектори і задані своїми координатами:
тоді
.
Звідси
.
Якщо в отриманому виразі розкрити присутні в ньому визначники, то ми отримаємо досить громіздкий вираз. З ним незручно мати справу при виконанні проміжних перетворень і міркувань. Але при уважному погляді ми побачимо визначник третього порядку (див. §2), що дозволяє подати змішаний добуток у компактному і красивому вигляді. Нагадаємо, що за означенням, визначник третього порядку – визначник квадратної матриці третього порядку – обчислюється за формулою
.
Теорема (про координатне подання змішаного добутку). Нехай вектори і задані своїми координатами:
тоді змішаний добуток обчислюється за формулою:
.
Доведення. Ми знаємо, що векторний добуток при заданих координатах векторів-множників обчислюється наступним чином:
.
Відомо, що скалярний добуток дорівнює сумі добутків однойменних координат векторів-множників. Отже, змішаний добуток буде дорівнювати:
.
Приклад. Нехай . Тоді
(отже, вектори і - компланарні).
Поєднуючи критерій компланарності трьох векторів з формулою координатного подання змішаного добутку, отримуємо: якщо вектори і задані своїми координатами: то необхідною і достатньою умовою компланарності цих векторів є співвідношення:
,
тобто рівність нулю визначника третього порядку, який складено з координат векторів і .