3.6. Точки та їх радіус-вектори.

Вектор, який сполучає початок координат (декартової площини або декартового простору) з якою-небудь точкою (цієї площини або простору), називається радіус-вектором цієї точки.

Точки та їх радіус-вектори знаходяться між собою у взаємно однозначній відповідності: кожна точка має свій радіус-вектор і радіус-вектори двох різних точок також різні. Арифметичні операції над векторами вже введені. Це дає змогу ввести арифметичні операції над точками:

нехай – деяка точка, – деяке число, тоді – це точка, радіус-вектором якої є радіус-вектор точки , помножений на число :

нехай – деякі точки, – їх радіус-вектори; тоді – це точка, радіус-вектором якої є вектор :

нехай – деяка точка, – деякий вектор – радіус-вектор точки ; тоді – це точка, радіус-вектор якої дорівнює :

Таким чином, додати вектор до точки – це означає перенести дану точку на даний вектор. Ця операція дозволяє без додаткових перетворень, пов’язаних, наприклад, з використанням формули для координат середини відрізку знаходити точку, симетричну даній точці відносно даної прямої. Нехай треба знайти точку , симетричну точці відносно прямої . Тоді , де – нормальний вектор прямої. Отже, (-5.45; 34.25).

§4. Розв’язання задач лінійного програмування малої

розмірності засобами аналітичної геометрії.

Приклад (задача про планування виробництва пилососів і вентиляторів). Побудова математичної моделі задачі. Структура задачі лінійного програмування (ЗЛП) (цільова функція, умови, прямі і непрямі умови, умова невід’ємності змінних). Допустима область ЗЛП. Схема побудови допустимої області. Аналіз поведінки лінійної функції (лінії рівня, напрямки зростання і спадання). Визначення точок максимуму і мінімуму цільової функції на допустимій області. Аналіз можливостей щодо існування, кількості і розташування у допустимій області оптимальних розв’язків ЗЛП.

4.1. Математична модель задачі лінійного програмування.

Ми будемо розглядати задачі пошуку екстремуму (мінімуму або максимуму), лінійної функції за умов, які є лінійними нерівностями або рівняннями, інакше кажучи, лінійні оптимізаційні задачі. Загальні методи розв’язання таких задач вивчаються дисципліною, яка зветься лінійне програмування (ЛП), а самі задачі — задачами лінійного програмування (ЗЛП). ЛП є, у свою чергу, підрозділом іншої дисципліни, що має назву математичне програмування.

Методику розв’язання ЗЛП малих розмірностей ми розглянемо на прикладі двовимірної ЗЛП:

4.1.1. Задача планування виробництва в умовах обмежених ресурсів.

Деяка фірма випускає пилососи і вентилятори. Серед матеріалів, потрібних для виготовлення виробів, “критичними” є мідний дріт і трансформаторне залізо (“критичні” - означає, що саме ці матеріали знаходяться в обмеженій кількості і саме вони визначають обсяг продукції). Для виготовлення одного пилососа потрібно 0,6 кг мідного дроту і 0.3 кг трансформаторного заліза, одного вентилятора - 0,3 кг мідного дроту і 0,2 кг трансформаторного заліза. В наявності є 48 кг мідного дроту і 30 кг трансформаторного заліза. Чистий прибуток від реалізації одного пилососа складає 120, а одного вентилятора – 70 умовних грошових одиниць. Треба визначити план випуску пилососів і вентиляторів (кількість пилососів і вентиляторів, яку потрібно виробити) для якого вистачило б запасів дроту і заліза і якому відповідав би максимальний прибуток.

4.1.2. Формалізація задачі планування виробництва в умовах обмежених ресурсів.

Вводимо змінні: - кількість пилососів, - кількість вентиляторів. Тоді потрібна кількість дроту та заліза буде такою:

	дріт	залізо
х - кількість пилососів у - кількість вентиляторів	0,6х 0,3у	0,3х 0,2у

(для одного потрібно 0,6 кг, а для х=0,6х).

Сумарна кількість дроту та заліза не повинна перевищувати їх запасів. Звідси отримуємо умови:

.

Цільова функція задачі - це функція прибутку від реалізації х пилососів і у вентиляторів. Цю функцію ми назвемо :

.

Прибуток (функцію ) ми хочемо максимізувати; отже маємо задачу пошуку екстремуму, а саме, максимуму (max), лінійної функції за умов, які є лінійними нерівностями, тобто лінійну оптимізаційну задачу.

4.1.3. Загальна структура задачі лінійного програмування.

Математична модель задачі ”Планування виробництва” має вигляд:

(цільова функція)

(непрямі обмеження)

(прямі обмеження -

умова невід’ємності змінних)