- •Розділ і.
- •§1. Метод координат.
- •1.1. Декартова система координат. Координати точки.
- •1.2. Відстань між двома точками. Рівняння кола та сфери.
- •1.3. Ділення відрізка у даному відношенні.
- •1.4. Пряма лінія на площині.
- •1.5. Площина в просторі.
- •1.6. Пряма лінія в просторі.
- •1.7. „За числами бачити фігури”.
- •§2. Перетин прямих ліній і площин.
- •2.1. Знаходження точки перетину двох прямих ліній на площині.
- •2.2. Знаходження точки перетину трьох площин у просторі.
- •Нехай маємо три площини
- •2.3. Перетин двох прямих на площині; одна з прямих задана канонічним рівнянням.
- •2.4. Знаходження точки перетину прямої і площини.
- •§3. Вступ до векторної алгебри.
- •3.1. Поняття вільного вектора.
- •3.2. Арифметичні операції над векторами.
- •3.3. Координатне подання арифметичних операцій над векторами.
- •3.4. Поняття одиничного декартового базису. Розкладення векторів за базисом.
- •3.5. Скалярний добуток векторів, його обчислення і застосування.
- •3.6. Точки та їх радіус-вектори.
- •§4. Розв’язання задач лінійного програмування малої
- •4.1. Математична модель задачі лінійного програмування.
- •4.2. Розв’язання злп.
- •§5. Векторний добуток векторів, його обчислення та застосування.
- •5.1. Поняття векторного добутку.
- •5.2. Властивості векторного добутку.
- •5.3. Координатне подання векторного добутку.
- •5.4. Координатне подання векторного добутку в детермінантній формі.
- •5.5. Контрольна перевірка правильності обчислення векторного добутку.
- •5.6. Застосування векторного добутку.
- •§6. Змішаний добуток векторів, його обчислення та застосування.
- •6.1. Поняття змішаного добутку.
- •6.2. Властивості змішаного добутку.
- •6.3. Координатне подання змішаного добутку.
- •6.4. Застосування змішаного добутку.
- •§7. Метричні характеристики і взаємне розташування геометричних об’єктів.
- •7.1. Точки і прямі лінії на площині.
- •7.2. Точки і площини в просторі.
- •7.3. Точки і прямі в просторі.
- •7.4. Пряма і площина в просторі.
- •7.5. Площі.
- •7.7. Дві прямі в просторі.
2.3. Перетин двох прямих на площині; одна з прямих задана канонічним рівнянням.
В тому випадку, коли одна з двох прямих ліній задана канонічним рівнянням
,
а інша загальним
,
для знаходження координат точки перетину доцільніше використовувати не правило Крамера, а параметричний спосіб розв’язання СЛР.
Пряма задана канонічним рівнянням, яке є рівністю двох дробів. Введемо змінну , яка буде величиною цих дробів:
.
Виразимо через змінні х та у :
Підставимо відповідні вирази замість х і у у рівняння другої прямої:
Розкриваючи дужки і зводячи подібні, отримаємо лінійне рівняння відносно однієї змінної . Знаходимо його розв’язок і підставляємо у вирази х і у через .
Приклад. Знайдемо точку перетину двох прямих
і
.
Вводимо параметр:
.
Підставляємо вирази х і у через в рівняння прямої :
Перевірка:
Відповідь: прямі і перетинаються в точці .
2.4. Знаходження точки перетину прямої і площини.
Якщо пряма лінія і площина задані своїми загальними рівняннями:
,
то знаходження точки перетину зводиться до розв’язання СЛР з 3-х рівнянь з 3-ма невідомими, що вже розглянуто в п.2.2.
Якщо ж пряма задана канонічним рівнянням:
,
а площина – загальним рівнянням:
, –
то, так само, як і в п.2.3. доцільно використати параметричний спосіб:
Підставляємо вирази х , у і z через параметр t у рівняння площини:
,
отримуємо лінійне рівняння відносно однієї змінної – і так далі – абсолютно так само, як у п.2.3.
§3. Вступ до векторної алгебри.
Поняття вільного вектора. Проекція вектора на пряму, на числову вісь, на напрямок іншого вектора. Координати вектора. Довжина вектора. Поняття нуль-вектора. Множення вектора на число. Сума двох векторів (правило трикутника і правило паралелограма). Властивості операції додавання векторів. Різниця двох векторів. Поняття лінійної комбінації векторів. Координатне подання операцій над векторами. Поняття одиничного декартового базису. Розкладення векторів за одиничним базисом. Скалярний добуток векторів. Властивості операції скалярного множення векторів. Координатне подання скалярного добутку. Застосування скалярного добутку (рівняння прямої з заданим нормальним вектором і заданою точкою; рівняння площини з заданим нормальним вектором і заданою точкою; доведення теореми косинусів; геометричний образ лінійної нерівності). Точки та їх радіус-вектори. Операції над точками. Операції зі спільною участю точок і векторів.
3.1. Поняття вільного вектора.
Означення (вільного вектора). Вільним вектором називається направлений відрізок прямої, причому якщо два таких відрізка паралельні (колінеарні), однаково направлені і мають однакову довжину ( ), то відповідні вектори вважаються однаковими або рівними між собою.
Поняття довжини вектора вимагає, щоби був заданий масштаб, за допомогою якого звичайним чином вимірюється довжина відрізка, але при цьому воно також вимагає, щоб масштаб був однаковий для всіх векторів.
Словосполучення “направлений відрізок прямої” визначає, так би мовити, геометричний вектор. Для таких векторів суттєвим є їх місцеположення, тобто, де саме знаходиться їх початок та їх кінець. Вільний вектор, на відміну від геометричного вектора, дозволяється пересувати паралельно в будь-яке місце площини чи простору. Можна собі подумки уявити таку картину: до кожної точки площини чи простору “причеплено” вектор, причому всі ці вектори мають однакову довжину, паралельні та співнаправлені. Таким чином, простір виявляється вщент заповненим рівними між собою векторами:
У свою чергу таку картину можна інтерпретувати як перетворення паралельного переносу кожної точки у заданому напрямку на задану відстань.
Означення (проекції вільного вектора на числову вісь). Нехай є вільний вектор і числова вісь , тоді різниця проекцій кінця і проекцій початку зветься проекцією вектора на числову вісь.
Отже, зрозуміло, що проекція вільного вектора на числову вісь є число і що так введене поняття проекції є коректним: при паралельному пересуванні вектора ані він сам, ані його проекція не змінюються (довести самостійно).
Для подальшого розгляду нам буде потрібний ще один варіант поняття проекціїї вектора. Нехай заданий деякий вектор і дві числові осі. Нехай, до того ж, числові осі паралельні та співнаправлені. Тоді проекції даного вектора на дані осі співпадають (довести самостійно). Отже, фактично, визначальними для проекції вектора на числову вісь є напрямок і масштаб осі. Але вказані компоненти “містяться” у будь-якому векторі, паралельному і співнаправленому з числовою віссю. Наведені міркування пояснюють природність такого поняття проекції вектора:
Означення (проекції вектора на напрямок іншого вектора). Проекцією вектора на напрямок вектора називається проекція на будь-яку числову вісь, паралельну і співнаправлену з вектором ; позначення: .
Лема (про значення проекції на напрямок).
,
де — кут між векторами та .
Доведення.Довести самостійно, використовуючи малюнок і геометричні міркування.
Поняття проекції вектора на напрямок іншого вектора буде потрібне при розгляді скалярного добутку векторів.
Означення (координат вектора). Пара (у випадку площини) або трійка (у випадку простору) чисел, які є проекціями даного вектора на координатні осі називаються координатами вектора (відповідно на площині і у просторі).
Теорема (про визначеність вектора своїми координатами). Кожний вектор повністю визначається парою (у випадку площини) або трійкою (у випадку простору) своїх координат; інакше кажучи, два вектори рівні тоді і тільки тоді, коли вони мають рівні відповідні координати.
(для випадку площини) .
Доведення. Довести теорему самостійно. Вказівка: використати рівність прямокутних трикутників.
Теорема про визначеність вектора своїми координатами дає підставу ототожнювати вектор з парою (у випадку площини) або трійкою (у випадку простору) його координат:
.
Безпосередньо з теореми Піфагора випливає формула для обчислення довжини вектора:
(для випадку простору).
Безпосередньо з означення координат вектора і координат точки випливає формула обчислення координат вектора при заданих координатах початку і кінця вектора: нехай і довільні точки декартової площини; тоді
.
Серед усіх векторів є один вектор, який є “не зовсім” вектором, але без якого множина векторів була б логічно не повною. Ситуація щодо цього вектора дуже схожа на ситуацію з числом (нуль). Вектор, про який йдеться, так і називається: нуль-вектор. Нуль-вектор — це вектор, початок якого співпадає з його кінцем; це вектор довжини нуль; це вектор, всі координати якого дорівнюють нулю:
(для випадку простору).