- •Розділ і.
- •§1. Метод координат.
- •1.1. Декартова система координат. Координати точки.
- •1.2. Відстань між двома точками. Рівняння кола та сфери.
- •1.3. Ділення відрізка у даному відношенні.
- •1.4. Пряма лінія на площині.
- •1.5. Площина в просторі.
- •1.6. Пряма лінія в просторі.
- •1.7. „За числами бачити фігури”.
- •§2. Перетин прямих ліній і площин.
- •2.1. Знаходження точки перетину двох прямих ліній на площині.
- •2.2. Знаходження точки перетину трьох площин у просторі.
- •Нехай маємо три площини
- •2.3. Перетин двох прямих на площині; одна з прямих задана канонічним рівнянням.
- •2.4. Знаходження точки перетину прямої і площини.
- •§3. Вступ до векторної алгебри.
- •3.1. Поняття вільного вектора.
- •3.2. Арифметичні операції над векторами.
- •3.3. Координатне подання арифметичних операцій над векторами.
- •3.4. Поняття одиничного декартового базису. Розкладення векторів за базисом.
- •3.5. Скалярний добуток векторів, його обчислення і застосування.
- •3.6. Точки та їх радіус-вектори.
- •§4. Розв’язання задач лінійного програмування малої
- •4.1. Математична модель задачі лінійного програмування.
- •4.2. Розв’язання злп.
- •§5. Векторний добуток векторів, його обчислення та застосування.
- •5.1. Поняття векторного добутку.
- •5.2. Властивості векторного добутку.
- •5.3. Координатне подання векторного добутку.
- •5.4. Координатне подання векторного добутку в детермінантній формі.
- •5.5. Контрольна перевірка правильності обчислення векторного добутку.
- •5.6. Застосування векторного добутку.
- •§6. Змішаний добуток векторів, його обчислення та застосування.
- •6.1. Поняття змішаного добутку.
- •6.2. Властивості змішаного добутку.
- •6.3. Координатне подання змішаного добутку.
- •6.4. Застосування змішаного добутку.
- •§7. Метричні характеристики і взаємне розташування геометричних об’єктів.
- •7.1. Точки і прямі лінії на площині.
- •7.2. Точки і площини в просторі.
- •7.3. Точки і прямі в просторі.
- •7.4. Пряма і площина в просторі.
- •7.5. Площі.
- •7.7. Дві прямі в просторі.
3.2. Арифметичні операції над векторами.
3.2.1. Множення вектора на число.
Означення (множення вектора на число). Множення вектора на число — це операція, результатом якої є вектор, паралельний вектору , співнаправлений вектору , якщо додатне, і протилежно направлений, якщо від’ємне, і який має довжину .
Отже, множення вектора на число — це розтягування або стискання вектора в разів ( 1 — розтягування, 1 — стискання) з вибором того ж самого або протилежного напрямків, в залежності від того, додатне , чи від’ємне.
3.2.2. Сума двох векторів.
Означення (суми двох векторів за правилом трикутника). Нехай є два вектори і . Перенесемо вектор так, щоби його початок співпав з кінцем вектора . Сумою називається вектор, який сполучає початок вектора з кінцем вектора .
Означення (суми двох векторів за правилом паралелограма). Нехай є два вектори і . Перенесемо вектор так, щоби його початок співпав з початком вектора . Добудуємо вектори і до паралелограму, розглядаючи їх як суміжні сторони, проведемо діагональ паралелограму із спільного початку і , і зробимо цю діагональ вектором, встановивши його початком спільний початок і . Утворений таким способом вектор називається сумою .
Теорема (про еквівалентність означень суми векторів). Означення суми векторів за правилом трикутника і за правилом паралелограму еквівалентні, тобто визначають один і той самий результуючий вектор.
Доведення. Довести самостійно, розглянувши відповідний малюнок.
Безпосередньо з означення суми векторів випливає властивість операції додавання векторів, яка називається комутативність:
Для доведення розглянемо малюнок:
Тоді . — паралелограм.
Що вийде, якщо сполучити не кінець вектора з початком вектора , а навпаки?
Нехай , тоді .
Виконаємо паралельний перенос вектора в точку С, тоді , тоді , так як — паралелограм, то .
Виконаємо паралельний перенос вектора в точку О.
Отримуємо . Виконаємо паралельний перенос вектора в точку С.
, тоді - паралелограм, тобто ; .
Також безпосередньо з означення суми векторів випливає властивість операції додавання векторів, яка називається асоціативність:
3.2.3. Різниця двох векторів.
У шкільному підручнику з геометрії, як і в багатьох підручниках для вищої школи, означення різниці векторів вводиться, так би мовити, „самостійно” і проголошується, що коли є два вектори, і сполучити їх початки, і утворити вектор з початком у кінці вектора-від’ємника і з кінцем у кінці вектора-зменшуваного, то це і буде, за означенням, різниця даних векторів. Це правильно, але гранично заплутано. Насправді, таке заплутане означення є наслідком класичного означення різниці двох величин:
Означення (різниці двох векторів). Різницею двох векторів і називається такий вектор , сума якого з вектором дасть вектор .
Лема (про різницю векторів).
Доведення. На перший погляд може здатися, що нема чого доводити, але це — тільки на перший погляд. Дійсно, ліва частина формули — це результат операції, визначеної певним чином відповідним означенням. Права частина визначена означеннями операції множення вектора на число і операції додавання векторів. Отже, для доведення формули, треба взяти її праву частину , додати до неї вектор і пересвідчитись, що в результаті буде отримано вектор . Останнє довести самостійно, користуючись означеннями операцій множення вектора на число і додавання векторів.
З означення різниці векторів і з формули випливає геометричне правило побудови різниці двох векторів: суміщаємо (за допомогою паралельного переносу одного з векторів) початки векторів і ; з’єднуємо кінці векторів і відрізком прямої; перетворюємо відрізок у вектор з напрямком від кінця вектора до кінця вектора ; побудований вектор і є різницею векторів і .
3.2.4. Поняття лінійної комбінації векторів.
У формулюванні властивості асоціативності операції додавання векторів “задіяно” три вектори. Можна уявити ситуацію, коли результуючий вектор визначається будь-якою скінченною сукупністю “твірних” векторів (за приклад можна взяти знаходження результуючої сили у фізиці); при цьому вектори, що беруть участь у такій багатомісній операцій, можуть бути помножені на будь-які дійсні числа. Таким чином виникає поняття лінійної комбінації векторів:
Означення (лінійної комбінації векторів). Нехай задана будь-яка скінченна сукупність векторів
і така сама за кількістю сукупність дійсних чисел
.
Лінійною комбінацією вказаних векторів називається вираз
.
Зауваження. В означенні лінійної комбінації векторів залишився один невизначений момент, а саме: яким має бути порядок виконання операцій додавання? Відповідь: яким завгодно. Це випливає з властивості асоціативності операції додавання векторів (зрозуміло, що спочатку, у будь-якому порядку, ми множимо вектори на відповідні числа, а потім, у будь-якому порядку, сумуємо отримані вектори).