7.2. Точки і площини в просторі.

Питання, які мають бути розглянуті в цьому пункті, повністю збігаються з розглянутими в п. 7.1, так само як і підходи до їх вирішення. Тому

Вправа. Розглянути самостійно (і вивести відповідні формули):

- відстань між двома точками;

- відстань від точки до площини;

- відстань між двома паралельними площинами;

- взаємне розташування точок відносно площини.

7.3. Точки і прямі в просторі.

Особливість сумісного розгляду точок і прямих в просторі порівняно з розглядом точок і прямих на площині міститься в одному питанні: відстань від точки до прямої. Означення відстані незмінне – це довжина перпендикуляра, опущеного з точки на пряму. До речі, основа перпендикуляра, опущеного з точки на пряму, – це проекція точки на пряму. Хитрість у знаходженні проекції даної точки на дану просторову пряму полягає в тому, що опускати перпендикуляр з точки на пряму треба не за допомогою прямої, а за допомогою площини. З пропозицією обміркувати цю тезу, пропонуємо нарис технології знаходження проекції точки на пряму.

Нехай є точка і пряма . Проводимо площину через точку перпендикулярно до прямої :

.

Перетинаємо пряму з площиною :

Точка перетину – розв’язок системи – і є проекцією даної точки на дану пряму. Далі залишається скористатися формулою відстані між двома точками.

Безумовно, можна відшукати елегантний спосіб знаходження відстані від точки до прямої без знаходження проекції точки на пряму. Для цього треба мати здібність до просторового уявлення і володіти в достатньому степені арсеналом векторної алгебри. Пропонуємо бажаючим зробити це в якості вправи.

Також для самостійного опрацювання пропонуємо розглянути випадок, коли пряма задана загальним рівнянням.

7.4. Пряма і площина в просторі.

Для прямої і площини в просторі є два важливих питання для з’ясування: чи вони паралельні, чи перетинаються, і чому дорівнює відстань між паралельними прямою і площиною? Отже, нехай маємо пряму лінію, задану канонічним рівнянням

,

і площину, задану загальним рівнянням

– направляючий вектор прямої, – нормальний вектор площини. Очевидно,

.

Таким чином, маємо критерій паралельності прямої і площини:

.

Цілком очевидний також критерій перпендикулярності прямої і площини:

.

Нехай маємо випадок паралельності прямої і площини. З канонічного рівняння отримуємо координати точки, що належить прямій, і далі залишається скористатися формулою відстані між точкою і площиною (п.7.2).

Вправа. Завершити виведення остаточної формули відстані між паралельними прямою і площиною.

7.5. Площі.

Основою для обчислення площ лінійних фігур (многокутників) є векторний добуток векторів (див.§5): його геометричний зміст і формула координатного подання. Довжина векторного добутку дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах-множниках як на суміжних сторонах. Звідси безпосередньо отримуємо формулу площі просторового трикутника, заданого координатами своїх вершин. Отже, нехай – вершини трикутника. Тоді

Площа будь-якого многокутника обчислюється, використовуючи цю формулу і розбиттям многокутника на трикутники – так званою триангуляцією многокутника.

7.6. Об’єми.

Основою для обчислення об’ємів многогранників є змішаний добуток векторів (див.§6): його геометричний зміст і формула координатного подання. Змішаний добуток векторів за абсолютною величиною дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах-множниках як на суміжних ребрах. Звідси безпосередньо отримуємо, наприклад, формулу об’єму піраміди, заданої координатами своїх вершин. Отже, нехай – вершини піраміди. Тоді

Подібно до обчислення площ многокутників їх тріангуляцією об’єми многогранників обчислюються розбиттям їх на піраміди.