5.5. Контрольна перевірка правильності обчислення векторного добутку.

Зазначена перевірка не є повною а лише частковою, проте, на практиці, вона, можна сказати, стовідсотково гарантує правильність обчислення координат векторного добутку за координатами векторів-множників.

Перевірка стосується вимоги до векторного добутку бути перпендикулярним до векторів-множників. За перпендикулярність векторів у нас „відповідає” скалярний добуток: для перпендикулярних векторів він має дорівнювати нулю. У п. 5.4 ми обчислили векторний добуток векторів і . Обчислюємо , отже, . Аналогічно пересвідчуємось, що .

5.6. Застосування векторного добутку.

За допомогою векторного добутку можна скласти рівняння площини, яка проходить через три задані точки. Нехай задано три точки:

.

За нормальний вектор шуканої площини можна взяти векторний добуток . Отже, рівняння площини буде мати вигляд:

При цьому три точки однозначно визначають площину в просторі, коли вони не лежать на одній прямій, а це, у свою чергу, еквівалентно не колінеарності відповідних векторів . Для цього за критерієм колінеарності двох векторів (див. п.5.2) необхідно і достатньо, щоб виконувалась нерівність , тобто, щоб одночасно виконувались нерівності:

Ще одне застосування векторного добутку, яке так само випливає з його означення, – це обчислення площі просторового трикутника. Якщо, наприклад, точки є вершинами трикутника і цей трикутник добудувати до паралелограма

то, з одного боку, площа трикутника дорівнює половині площі паралелограма, а з іншого боку, площа паралелограма дорівнює довжині векторного добутку векторів, які лежать на сторонах паралелограма. Звідси маємо:

.

Цікавим, з дуже красивою остаточною формулою, є випадок, коли обчислюється площа не просторового трикутника, а, наприклад, заданого координатами своїх вершин, що лежать на координатній площині:

.

Цей випадок пропонуємо розглянути самостійно.

§6. Змішаний добуток векторів, його обчислення та застосування.

Поняття змішаного добутку. Геометричний зміст змішаного добутку. Критерій компланарності трьох векторів. Алгебраїчні властивості змішаного добутку (однорідність і аддитивність по кожному аргументу-множнику). Координатне подання змішаного добутку (безпосередньо за формулами координатного подання скалярного і векторного добутків та з використанням поняття визначника третього порядку). Координатна форма критерію компланарності трьох векторів. Обчислення об’єму паралелепіпеда, призми і піраміди. Рівняння площини, що проходить через три задані точки, як критерій компланарності певних векторів.

6.1. Поняття змішаного добутку.

Означення (змішаного добутку). Нехай і - деякі вектори. Змішаним добутком цих векторів (позначається ) називається число, що обчислюється за правилом: (скалярний добуток векторного добутку перших двох векторів-множників на третій вектор).

Головна початкова задача – визначити формулу для обчислення змішаного добутку за координатами векторів-множників:



Але для розв’язання цієї задачі знадобляться властивості змішаного добутку, які визначаються властивостями скалярного і векторного добутків – складових „будівельних” компонент змішаного добутку.