6.4. Застосування змішаного добутку.

Очевидне застосування змішаного добутку безпосередньо визначається його означенням: обчислення об’єму паралелепіпеда. При цьому можна розглянути різні варіанти задання паралелепіпеда. Використовуючи зв’язок між об’ємами паралелепіпеда, призми і піраміди, можна використовувати змішаний добуток і для обчислення об’єму призми і піраміди:

З-поміж інших різноманітних застосувань змішаного добутку ми розглянемо одне з найважливіших: рівняння площини, що проходить через три задані точки.

Нехай є три точки: У §6, використовуючи векторний добуток, ми отримали рівняння площини у такому вигляді:

Легко побачити, що ліва частина цього рівняння є скалярним добутком вектора і вектора , де — біжуча точка площини. Отже, за означенням, ліва частина розглядуваного рівняння є змішаним добутком:

.

Саме ж рівняння виражає умову компланарності векторів . Використовуючи координатне подання змішаного добутку у детермінантній формі (через визначник третього порядку), отримуємо:

.

Приклад. Скласти рівняння площини, що походить через точки

.

Рівняння площини у детермінантній формі виглядатиме так:

.

Після розкриття визначника:

,

остаточно

.

§7. Метричні характеристики і взаємне розташування геометричних об’єктів.

Відстань між двома точками, довжина відрізка, довжина вектора, відстань від точки до прямої, відстань від точки до площини, відстань між двома паралельними прямими, відстань між двома паралельними площинами, відстань між прямою і площиною, відстань між двома мимобіжними прямими, площа трикутника і довільного многокутника, опуклість чи не опуклість многокутника, опуклість чи не опуклість многогранника, об’єм піраміди, призми, паралелепіпеда і довільного многогранника, взаємне розташування точки і прямої, двох точок і прямої, точки і площини, двох точок і площини, точки і трикутника, точки і многокутника, точки і многогранника, двох прямих на площині, двох прямих в просторі, двох площин, прямої і площини.

7.1. Точки і прямі лінії на площині.

7.1.1. Відстань між двома точками.

Формула відстані між двома точками або, що те саме, довжини відрізка є безпосереднім наслідком теореми Піфагора і виведена в §1:

.

7.1.2. Відстань від точки до прямої.

При знаходженні відстані від точки до прямої можна було б, перекладаючи означення відстані на аналітичну мову: скласти рівняння перпендикуляра через дану точку до даної прямої , знайти точку перетину його з даною прямою і за формулою відстані між двома точками знайти відстань від даної точки до точки перетину перпендикуляру з даною прямою. Але це можна зробити значно елегантніше. Розглянемо малюнок:

З рівняння прямої дуже легко можна знайти координати скількох завгодно точок цієї прямої. Нам потрібна одна і навіть не конкретна точка, а те, що ми можемо визначити її координати; нехай це буде . Тоді рівняння прямої можна перетворити до виду , більш точно: . Нормальний вектор прямої можна вважати приєднаним до точки . Тепер підставимо координати даної точки в ліву частину рівняння, отримаємо вираз:

.

Побачимо фігури за числами: цей вираз є не що інше, як скалярний добуток

,

який, за означенням, дорівнює

,

звідки остаточно маємо

.

7.1.3. Відстань між двома паралельними прямими.

Відстанню між двома множинами називається відстань між парою найближчих точок, одна з яких належить одній, а інша другій з даних множин. Отже, якщо множини перетинаються, тобто мають спільні точки, то відстань між ними, за означенням, дорівнює 0. Розглянемо випадок, коли прямі задані загальними рівняннями:

Умовою паралельності прямих є пропорційність відповідних коефіцієнтів біля змінних, в іншому випадку прямі перетинаються і відстань між ними дорівнює 0. Якщо прямі паралельні, то їх рівняння множенням (або діленням) на певні числа можуть бути приведені до виду:

Тепер, використовуючи міркування, аналогічні до проведених в п. 7.1.2, отримуємо формулу відстані між паралельними прямими:

.

Вправа. Розглянути випадок задання прямих рівняннями з кутовим коефіцієнтом і вивести формулу відстані між прямими.

7.1.4. Взаємне розташування точок відносно прямої.

Точка належить прямій тоді і тільки тоді, коли її координати задовольняють рівняння прямої. Якщо є дві точки і і вони обидві не належать прямій, то вони або можуть знаходитись по один, або по різні боки від прямої. Коли саме має місце один з цих випадків, визначають міркування, пов’язані з лінійними нерівностями і півплощинами (див. § 2 ). Пряма розділяє площину на дві півплощини; усі точки однієї півплощини задовольняють нерівність , іншої півплощини – нерівність . Звідси маємо правило: якщо при підстановці координат точок в ліву частину рівняння, отримано числа одного знаку, то точки розташовані по один бік від прямої, інакше – по різні.