МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ХЕРСОНСЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ МОРСЬКИЙ ІНСТИТУТ

А.О.Молчанов, А.К.Казанчан, Ю.М.Кузнєцов

ОПІР МАТЕРІАЛІВ

Основи теорії, практикум і індивідуальні завдання

Навчальний посібник

Для курсантів і студентів спеціальностей:

6.070 104 “Морський та річковий транспорт”;

6.050 702 “Електромеханіка”

за скороченою програмою навчання

Херсон - 2010

ББК 30.121

УДК 539.3

М75

Опір матеріалів: навчальний посібник рекомендований до публікації згідно рішення Вченої ради Херсонського державного морського інституту (протокол №3 від 25.11.2009р.)

Р е ц е н з е н т и :

Е.І.Блінов

доктор технічних наук, професор кафедри основ конструювання Херсонського національного технічного університету

О.І.Гедвілло

професор кафедри загальноінженерної підготовки

Херсонського державного морського інституту

Молчанов А.О., Казанчан А.К., Кузнєцов Ю.М.

М75 Опір матеріалів. Основи теорії, практикум і індивідуальні завдання:

Навчальний посібник . – Херсон: ХДМІ, 2010.  99 с.

Розглянуті відомості загального характеру з основних розрахунків конструкцій на міцність, що необхідні студентам не машинобудівних спеціальностей.

У книзі в її теоретичній частині увага акцентована на основоположному значенні умов міцності, що супроводжуються докладними прикладами розрахунків, які поза сумнівом, з одного боку, повинні полегшити процес самостійного освоєння предмету, а з іншого,  можуть служити методичною основою для проведення практичних занять і лабораторних робіт.

Наведені завдання для самостійної роботи (виконання розрахунково-графічних робіт), питання для самоперевірки.

Для курсантів і студентів спеціальностей 6.070 104 “Морський та річковий транспорт”, 6.050 702 “Електромеханіка” за скороченою програмою.

ББК 30.121

УДК 539.3

ISBN 978-966-630-025-9

 Молчанов А.О., 2010  Казанчан А.К., 2010  Кузнєцов Ю.М., 2010  ХДМІ, 2010

З М І С Т

Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	5
Розділ 1. Розтяг і стиск стрижнів
1.1 Напруга і переміщення. Закон Гуку . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
1.1.1 Переміщення в стрижні . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	12
1.1.2 Напруга в стрижні . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	13
1.2 Механічні характеристики і властивості матеріалів . . . . . . .	14
1.2.1 Теоретичні передумови . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	14
1.2.2 Випробування на розтяг. Діаграма розтягу . . . . . . . . .	15
1.2.3 Основні характеристики матеріалу згідно діаграми розтягу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	17
1.3 Допускна напруга і запас міцності . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	18
1.4 Розрахунки стрижнів на міцність і жорсткість . . . . . . . . . . . . .	19
1.5 Приклади розрахунків систем на жорсткість. Початкові дані і постановка завдань . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	21
Розділ 2. Гнуття прямолінійного бруса
2.1 Загальні поняття . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	26
2.2 Розрахунки балки на міцність і жорсткість . . . . . . . . . . . . . . .	27
2.3 Приклади розрахунків . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	30
2.4 Загальна методика розв’язання завдань на гнуття . . . . . . .	42
2.5 Визначення переміщень при гнутті балки . . . . . . . . . . . . . . .	42
Розділ 3. Кручення стрижня круглого попереччя
3.1 Загальні відомості . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	46
3.2 Розрахунки на міцність і жорсткість стрижнів при крученні. .	46
Розділ 4. Окремі основні поняття опору матеріалів
4.1 Складний опір . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	52
4.2 Поздовжнє гнуття (стійкість стиснутих стрижнів) . . . . . . . . . .	53
4.3 Місцева напруга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	55
4.4 Змінна напруга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	56
4.5 Основні теорії міцності (замість висновку) . . . . . . . . . . . . . . .	56
4.6 Загальна характеристика лабораторних робіт з опору матеріалів . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	59
Розділ 5. Розрахунково-графічні роботи (РГР) з опору матеріалів
5.1 Загальні методичні вказівки та методика розв’язання задач	61
5.2 Частина 1. Розтяг і стиск . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	62
5.2.1 Послідовність розв’язання першого типу задач (статично визначні) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	62
5.2.2 Задачі другого типу (статично невизначні) . . . . . . . . . .	65
5.2.3 Завдання до першої частини РГР . . . . . . . . . . . . . . . . .	68
5.3 Частина 2. Гнуття і кручення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	74
5.3.1 Послідовність розв’язання задач . . . . . . . . . . . . . . . . . .	74
5.3.2 Розв’язання задач на спільну дію гнуття і кручення . . .	78
5.3.3 Завдання до другої частини РГР . . . . . . . . . . . . . . . . . .	83
Додаток А. Балки двотаврові. Сортамент . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	90
Додаток Б. Міжнародна система одиниць СІ . . . . . . . . . . . . . . . . . .	91
Додаток В. Термінологічний словник . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	94
Література . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	98

ВСТУП

Курс “Опір матеріалів” у технічних вищих навчальних закладах є одним із давніх і найбільш розроблених. Характерною особливістю традиційного викладу його – це значний обсяг пропонованих відомостей. Розділи “Основи розрахунку міцностної надійності елементів” у відомому підручнику “Прикладна механіка” [1] або “Основи розрахунків на міцність” в іншому не менш відомому підручнику “Прикладна механіка” [2] достатньо компактні, але тут важко визначити логічні зв'язки між окремими завданнями і взагалі відсутня загальна методологія їх розв’язання. Цей же недолік має місце (хоча і в меншій мірі) у сучасному підручнику “Короткий курс з опору матеріалів” [3]. При цьому втрачається суть навчальної дисципліни “Опір матеріалів” і, отже, виникають труднощі при її вивченні. Часто разом з “водою” (тобто багатослів’ям) випліскують і “дитину” (тобто принципи і логіку розрахунків). Адже, якщо охарактеризувати “Опір матеріалів” двома словами, то це – “умова міцності”. Все останнє – це приватні завдання, конкретні приклади, що базуються на загальній методології розв’язування. І вирішення приватних завдань, що визначені різними видами напруженого стану елементу і розрахунковими схемами його навантаження, може виявитися цілком доступними, якщо не залякувати студента із самого початку складними викладеннями і розрахунковими схемами.

Матеріал треба викладати від простого до складного, в тому числі від розтягу (стиску) до гнуття; а від нього – до кручення (а не навпаки), до складного напруження, поздовжнього гнуття і так далі, закінчуючи матеріал узагальненням у вигляді теорій міцності, що характеризуються рівняннями міцності (не ставлячи даний матеріал попереду розрахунків з видів напруженого стану).

Таким чином, відомості з опору матеріалів треба починати з простих рівнянь міцності, що характеризують міцністну надійність (розділ “Загальні принципи розрахунків”), і закінчувати ними ж, характеризуючи гіпотетичні теорії міцності на завершення.

Отже, характерними особливостями викладу основних положень пропонованого стислого курсу “Опір матеріалів” є наступні.

1 Акцентування уваги на тому факті, що суть розв’язання завдань з “Опору матеріалів” зводиться до забезпечення умови міцності (жорсткості), а приватні завдання тільки конкретизують умови і характер навантаження конструкції.

2 Нероздільний (сумісний) виклад теоретичних і практичних питань: теоретичні передумови з практичними прикладами розв’язання основних завдань.

3 Окремий (акцентований) виклад методик розв’язання основних практичних завдань.

4 Зазначення на спільність окремих методик розв’язання завдань незалежно від характеру навантаги і розрахункової схеми.

Наскільки нам відомо, подібний підхід до викладу матеріалу курсу з опору матеріалів запропонований і реалізується вперше у практиці вищих навчальних закладів.

Такий підхід, на наш погляд, є вельми продуктивним при освоєнні предмету для будь-яких спеціальностей при скороченому обсязі навчальних годин, зокрема, для студентів спеціальностей 6.070 104 “Морський та річковий транспорт” і 6.050 702 “Електромеханіка”, особливо за скороченою програмою навчання.

Загальні принципи розрахунків надійності на міцність (настановна лекція)

У процесі експлуатації механізмів і машин всякий елемент конструкції в результаті дії на нього зовнішніх сил змінює в тому або іншому ступені свої первинні розміри і форму, тобто деформується. Вказані зміни можуть привести або до руйнування елементу, або до неприпустимого спотворення його форми і розмірів. Щоб цього не відбулося, необхідно правильно вибрати матеріал і поперечні розміри для кожного елементу конструкції залежно від характеру діючих сил і умов експлуатації. Підстави для вирішення даного завдання дає наука про опір матеріалів, яка містить виклад інженерних методів розрахунку елементів споруд і машин на міцність, жорсткість і стійкість.

Під міцністю розуміють здатність конструкції, а також її частин і деталей витримувати дію зовнішнього навантаження без їх руйнування.

Під жорсткістю розуміють здатність конструкції, а також її частин і деталей (її елементів) чинити опір зміні своїх первинних розмірів і форми.

Розрахунки на міцність і жорсткість є основними видами розрахунків, що вивчаються в курсі опору матеріалів. Проте є ряд завдань, в яких доводиться приділяти увагу питанням стійкості, під якою розуміють здатність конструкції і її елементів зберігати певну (задану) початкову форму рівноваги. Розрахунок на стійкість повинен забезпечити відсутність якісної зміни характеру деформації.

Зусилля, що діють на деталі механізму, проділяють на зовнішні навантаги і внутрішні сили пружності.

Зовнішні навантаги поділяють на об'ємні і поверхневі. До об'ємних відносять сили гравітації, інерції і електромагнітні сили. Поверхневі навантаги поділяють на розподілені і зосереджені.

Зосередженою називають навантагу, що прикладена умовно в точці. Розмірність її – ньютон (Н).

Розподілена навантага може бути прикладена на поверхні або по лінії і відповідно вимірюється в одиницях тиску – Паскаль (Па) і одиницях погонної навантаги – Н/м. Окрім цього зовнішні навантаги поділяють на задані сили і реакції опор.

Внутрішні сили пружності є сили міжмолекулярної взаємодії, що виникають під час дії зовнішніх навантаг на пружне тіло.

При розрахунках і проектуванні замість реальної конструкції розглядають її спрощений прототип (брус, балка), реальну силову дію на який замінюють так званою розрахунковою схемою.

При дослідженні деформованого стану пружних тіл приймають наступні основні гіпотези і принципи.

1 Однорідність матеріалу – незалежність його властивостей від величини об'єму, що виділяється з тіла.

2 Ізотропність – властивості тіла у всіх його напрямках однакові.

3 Суцільність – речовина безперервно заповнює об'єм деталі.

4 Принцип незалежності дії сил – деформації і зусилля, що виникають в пружному тілі, вважаються незалежними від порядку прикладення зовнішніх сил.

5 Принцип Сен-Венана – особливості прикладення зовнішніх сил до пружного тіла виявляються на відстанях, що не перевищують розмірів поверхні, до якої прикладені ці сили.

6 Принцип початкових розмірів – при складанні рівнянь рівноваги тіло розглядають таким, що не деформується (тобто абсолютно тверде).

Проектування нового виробу техніки починають з вибору матеріалу і визначення розмірів за критеріями працездатності, а закінчують оцінкою його надійності, в тому числі міцностної.

З умови забезпечення міцностної надійності матеріал, форма і розміри деталі повинні бути вибрані з таким розрахунком, щоб виключити виникнення неприпустимих деформацій (спотворення форми і розмірів), поломки деталі або руйнування (спотворення) її робочих поверхонь.

Прийнято вважати, що міцність деталі буде забезпечена, якщо розрахункова напруга (нормальне прикладення сили) і (дотичне прикладення сили) у небезпечних перерізах її не перевищують допускної напруги і . При цьому умова міцності виражається залежністю:

, або . (1)

Допускною напругою називають таку безпечну напругу, яку деталь може витримувати під час заданого терміну експлуатації. Величина його визначається з наступного виразу:

або , (2)

де і  гранична напруга відповідно нормальна і дотична, що залежать від характеру напруженого стану і природи матеріалу;

n  коефіцієнт запасу міцності.

Розрахунок напруги в деталях здійснюють у такій послідовності.

1 На основі кінематичного (переміщення, швидкість і пришвидшення) і силового аналізу проектованого механізму (складальної одиниці) визначають:

 найбільш важкі умови роботи деталі, напрямку і місця прикладення найбільших сил і моментів, що діють на деталь;

 складають розрахункову схему деталі;

 здійснюють міцністний розрахунок.

При цьому розрізняють навантаги номінальні і розрахункові.

Номінальною навантагою називають умовну, постійну експлуатаційну навантагу, що встановлена за нормами.

Розрахунковою навантагою називають статичну, постійну в часі навантагу, яка за своєю дією на деталь еквівалентна фактично діючої на деталь навантаги в її небезпечному перерізі при граничному стані.

2 Виявляють види деформацій, що зазнає деталь від дії прикладених до неї сил і моментів, визначають опорні реакції, обертові і вигинаючи моменти і їх розподіл за довжиною деталі; встановлюють передбачувані небезпечні перерізи деталі, тобто місця виникнення найбільшої напруги.

3 Вибирають матеріал і уточнюють форму і розміри деталі з урахуванням умов роботи і технології виготовлення.

Залежно від призначення розрахунки бувають перевірочними і проектними.

При перевірочному розрахунку, коли форма і розміри деталі заздалегідь намічені (відомі для об'єкту, що вже знаходиться в експлуатації, наприклад, деталі), визначають напруги в небезпечних перерізах деталі за формулами:

при розтяг, стиску і зім’яті

, (3)

при зрізі

,

при гнутті

,

при крученні

,

де Р – сила, що деформує (діє на) деталь;

і  відповідно гнучий і закручувальний моменти;

 площа перерізу деталі;

і  відповідно моменти опору площини перерізу деталі при розрахунку на гнуття і кручення.

При проектному розрахунку (при проектуванні), коли розміри описаних перерізів заздалегідь не призначені (невідомі), їх визначають на основі вибраної і допускної напруги і .

Формули для визначення розмірів небезпечних перерізів деталей можуть бути отримані за допомогою перетворення залежностей (3), якщо вирішити їх щодо шуканого розміру перерізу деталі. Наприклад, для деталей круглого перерізу (типу вал з діаметром d) ці формули мають наступний вигляд:

; ; (4)

; ;

; .

У курсі “Опір матеріалів” розглядають такі прості види навантаг: розтягування (стиснення); гнуття, кручення (зсув). Крім того існують складний напружений стан, напружений стан при змінних навантагах.

Підводячи підсумки загальних (початкових) відомостей, слід зазначити, що всі завдання навчальної дисципліни “Опір матеріалів” містять три частини:

 статичну, таку, що складається з визначення системи зовнішніх і внутрішніх зусиль;

 геометричну, що полягає з аналізу схеми деформації елементу при заданих навантаженнях з використанням умови сумісної деформації;

 фізичну, таку, що полягає з об'єднання статичної і геометричної частин і використанням рівнянь зв'язку між зусиллями і переміщеннями, зокрема, на основі закону Гука.

Якщо говорити про основні завдання курсу “Опір матеріалів”, то їх п'ять.

1 Перевірочний розрахунок на міцність, коли відомі розміри деталі, матеріал і його склад, а також схема (умови) навантаження.

2 Проектувальний розрахунок, що полягає в тому, щоб з умов міцності визначити мінімальні надійні розміри деталі.

3 Встановлення найбільшого значення допускної навантаги на існуючу конструкцію.

4 Встановлення довговічності (або терміну служби) виробу.

5 Встановлення механічних характеристик (у тому числі допускної напруги) матеріалу.

Жодне з перших чотирьох завдань неможна вирішити без порівняння з результатами експериментальних досліджень (п'яте завдання), тому теоретичні і експериментальні завдання з опору матеріалів нерозривно зв'язані один з одним і вірогідність їх достовірного розв’язання без цього взаємозв'язку не можлива (в усякому разі, на сучасному рівні розвитку теоретичних основ опору матеріалів).

При цьому тематика і зміст лабораторних робіт (навчальних експериментальних досліджень) також мусить мати логічне обґрунтування. Це ми розглянемо наприкінці теоретичних положень (передумов) і практичних вправ. Тільки тоді ми будемо мати цілісну, закінчену картину зі складових частин навчальної дисципліни “Опір матеріалів”.

Запитання для самоперевірки

1 Що таке опір матеріалів?

2 Сформулюйте поняття міцності у широкому значенні слова.

3 Як поділяють розрахунки деталей на міцність у залежності від призначення?

4 Що визначають при перевірочному розрахунку деталей на міцність?

5 Що визначають при проектному розрахунку деталей на міцність?

6 Що таке напруга? Яка її розмірність?

7 Що таке допускна напруга?

8 У якій послідовності здійснюють розрахунок напруги в деталях?

9 Яку напругу називають нормальною?

10 Напишіть формулу, за якою визначають нормальну напругу при розтягові і стиску.

11 Яку напругу називають дотичною? За якою формулою її визначають у дові­льній точці?

12 Що називають номінальною навантагою?

13 Що називають розрахунковою навантагою?

14 Які види навантаг розглядають у курсі “Опір матеріалів”?

15 Які п’ять основних завдань має курс “Опір матеріалів”?

16 Які основні гіпотези і принципи приймають при дослідженні деформованого стану пружних тіл?

17 Поясніть поняття “суцільне середовище”.

18 Яке середовище вважають однорідним?

19 Що таке ізотропія?