2.4 Загальна методика розв’язання завдань на гнуття

Загальна методика розв’язання завдань на гнуття прямолінійного бруса зводиться до наступних кроків.

1 Складають рівняння рівноваги сил, що діють на балку.

2 Визначають гнучи моменти в характерних точках (перерізах).

3 Будують епюру гнучих моментів.

4 Визначають значення поперечних сил в характерних точках і будують епюру поперечних сил.

5 Визначають напруги при гнутті:

,

де:  момент опору перерізу – частка від ділення моменту інерції перерізу відносно нейтральної осі на відстані від цієї осі до найбільш віддаленої точки перерізу:

.

6 Перевірка виконання рівняння міцності:

.

7 Визначення переміщень (прогин и кут повороту балки) при гнутті балки.

2.5 Визначення переміщень при гнутті балки

Нижче наведені два приклади розв’язання останньої задачі.

Приклад №1. Визначити вигин і кут повороту на вільному кінці консолі (у точці 0) балки, зображеної на рисунку 2.6 (випадок 2).

Розв’язання:

гнучий момент у перерізі на відстані х від правого кінця дорівнює:

.

Підставляючи вираз гнучого моменту в диференціальне рівняння пружної лінії, отримаємо:

.

Інтегруючи, маємо:

(2.7)

(2.8)

Для визначення постійних С і D використаємо граничні умови:

при , звідси ;

при , звідси .

Таким чином рівняння (2.7) і (2.8) приймають вигляд:

; (2.9)

. (2.10)

З рівнянь (2.9) і (2.10) знаходимо кут повороту і вигин на вільному кінці балки:

;

.

Знак “ – “ у правій частині останньої рівності вказує на те, що напрям вигину, протилежний додатному напряму осі у.

Приклад 2. Для балки, зображеної на рисунку 2.8 (випадок 3), визначити вигин у точці додатку сили Р.

Розв’язання. Розбиваємо балку не дві ділянки і складаємо диференціальне рівняння пружної лінії для кожної з них окремо, оскільки вирази гнучого моменту на цих ділянках різні. Спочатку визначаємо опорні реакції:

;

.

Далі для першої ділянки маємо:

.

Тому диференційоване рівняння пружної лінії балки на цій ділянці приймає вигляд:

.

Інтегруючи, отримуємо:

, (2.11)

. (2.12)

Для другої ділянки маємо:

;

;

; (2.13)

. (2.14)

Визначимо чотири постійні інтегрування: С₁ ; С₂ ; D₁ ; D₂ .

З умови безперервності і гладкості пружної лінії в точках стикання даних ділянок балки витікає, що при дотримуються умови:

1) ,

звідки на підставі (2.11) і (2.12) маємо:

;

2) ,

звідки на підставі рівнянь (2.13) і (2.14) отримаємо :

.

З умов спирання кінців балки знайдемо значення постійних інтегрування: при вигин .

Користуючись рівнянням (2.12), отримуємо:

.

При вигин , з рівняння (2.13) знаходимо:

.

Тепер визначимо неповну величину з рівнянь (2.12) і (2.14), підставимо в них знайдені значення постійних. Скористаємося рівнянням (2.12) і враховуючи, що при , остаточно отримаємо:

.

Запитання для самоперевірки

1 Що називають гнуттям?

2 Що таке балка?

3 Які ви знаєте опори балок?

4 Що таке нейтральний шар балки?

5 Дайте визначення поняттю “Гнучий момент”.

6 У чому полягає методика розв’язання завдань на гнуття?