5.2 Частина 1. Розтяг і стиск

5.2.1 Послідовність розв’язання першого типу задач

(статично визначних)

1 Розбити брус на ділянки, починаючи від вільного кінця. Межами ділянок є перерізи, у яких прикладені зовнішні сили, а для напруг  також і місця зміни розмірів поперечного перерізу.

2 Визначити за методом перерізу поздовжню силу для кожної ділянки (ординати епюр N). Провівши паралельно до осі бруса базову (нульову) лінію епюру, відкласти перпендикулярно до неї у довільному масштабі одержувані значення ординат. Кінцеві точки ординат сполучити лініями, проставити знаки і заштрихувати епюру лініями, паралельними до ординатам.

3 Для побудови епюру нормальних напруг визначаємо напруги в поперечних перерізах кожної з ділянок. У межах кожної ділянки напруги постійні, тобто епюра на даній ділянці зображується прямою, паралельною до осі бруса.

4 Переміщення вільного кінця бруса визначаємо, як суму подовжень (укорочень) ділянок бруса, обчислених за формулою Гука (1.7):

Приклад 1. Розглянемо статично визначну систему.

Для даного східчастого бруса (рисунок 5.1,а) побудувати епюру поздовжніх сил, епюру нормальних напруг і визначити переміщення вільного кінця, якщо:

Е = 2∙ 10⁵ МПа, Р₁ =30 кН; Р₂ =38 кН; Р₃ =42 кН; F₁ =1,9 см²; F₂ =3,1 см² ,

₁ = 0,3 м; ₂ = 0,5 м; ₃ = 0,1 м; ₄ = 0,4 м; ₅ = 0,2 м.

Розв’язання:

1 Розбиваємо брус на 5 ділянок (рисунок 5.1, а).

2 Визначаємо ординати епюри поздовжньої сили N на всіх ділянках бруса:

N₁ = 0; N₂ = Р₁ = 30 кН; N₃ = 30 кН;

N₄ = Р ₁ – Р₂ =  8 кН; N₅ = Р₁ – Р₂ – Р₃ = –50 кН;

Будуємо епюри поздовжніх сил N на всіх ділянках брусу (рисунок 5.1,б).

3 Обчислюємо ординати епюр нормальних напруг на всіх ділянках брусу:

Рисунок 5.1  Вихідні дані та епюри поздовжніх сил і нормальних напруг

на кожній ділянці брусу

σ₁ = = 0 ,

ПА = 158 МПа;

Па = 96,8 МПа;

Па =  25,8 МПа;

Па = 163 МПа.

Будуємо епюри нормальних напруг на кожній ділянці брусу (рисунок 5.1,в).

4 Визначаємо переміщення вільного кінця брусу шляхом підсумовування величин переміщень кожної ділянки брусу, величини яких визначаються за формулою Гука (1.7).

(формула Гука).

;

;

;

;

0 +0,394 + 0,0484  0,0516  0,161 = 0,23 мм.

Брус подовжується на 0,23 мм.

5.2.2 Задачі другого типу (статично невизначні)

Розглянемо статично невизначну систему із числом невідомих реакцій в'язів, що на одиницю перевищуюче число рівнянь статики (рівнянь рівноваги), які можна скласти для цієї системи (система: один раз статично невизначна).

Послідовність розв’язання завдання:

1 Брус, рівновага якого розглядається, звільнити від в'язів і замінити їх дію реакціями; визначити ступінь статичної невизначності як різницю між кількістю невідомих реакцій і числом рівнянь статики.

2 Скласти рівняння рівноваги; до нього ввійдуть обидві невідомі реакції в'язів, без яких неможливо визначити поздовжні сили, що виникають у брусі або стрижні.

3 Скласти рівняння переміщень ( ), до яких увійдуть ті ж невідомі реакції, що і до рівнянь статики. Переміщення ділянок бруса визначаємо за формулою Гука (1.7).

4 Вирішуючи спільно рівняння статики і рівняння переміщень, визначають шукані реакції в'язів.

5 Визначити внутрішні силові фактори (поздовжні сили або допускні навантаги) у частинах деформованого бруса.

6 Виконати розрахунок.

Приклад 2. Для заданого двоступінчастого бруса (рисунок 5.2) розкрити статичну невизначність, побудувати епюри поздовжніх сил N і напруг σ за довжиною бруса, перевірити міцність у небезпечному перерізі і обчислити відсоток перевантаг (недовантаг) бруса; якщо МПа; Е=2·10⁵ МПа; Р=300 кН; F=10 см² = 10  10^4 м².

а) б) в) г)

Рисунок 5.2  Вихідні дані та епюри поздовжніх сил і нормальних напруг

на кожній ділянці брусу

Розв’язання:

1 Задача один раз статично невизначна, тому що рівняння статики одне , а невідомих реакцій дві (рисунок 5.2,а).

2 Складаємо рівняння рівноваги:

R_B  Р + R_D = 0. (5.1)

3 Складаємо рівняння переміщень. Під дією зовнішніх сил Р, R_B, R_D внаслідок жорсткого закріпу кінців бруса довжина його при деформації повинна залишатися незмінної. Цю умову і використовуємо для складання рівняння переміщень.

Відкинемо уявно нижній закріп брусу, замінивши його реакцією R_B (рисунок 5.2,б), і отримаємо брус, еквівалентний даному, для якого переміщення перерізу В дорівнює нулю, тобто:

(5.2)

Для складання рівняння (5.2) застосуємо принцип незалежності дії сил, тобто переміщення від спільної дії всіх сил дорівнює алгебраїчній сумі переміщень від дії кожної сили окремо.

Подовження ділянки DC (рисунок 2,б) від сили Р дорівнює:

а сума вкорочень ділянок DC і CB (рисунок 5.2,б) від дії сили R_B дорівнює:

4 Вирішуючи спільно рівняння рівноваги (5.1) і рівняння переміщень (5.2) з використанням наведених виразів подовження і вкорочення ділянок бруса, невідомі реакції R_D і R_B.

З рівняння (5.2) маємо:

З (5.1) визначаємо: R_D = F  R_B = 300 – 167 = 133 кН.

5 Визначаємо внутрішні силові фактори за ділянками бруса і будуємо епюри поздовжніх сил і нормальних напруг за довжиною бруса.

N₁ =  R_B =  167 кН; N₂ = R_D = 133 кН;

;

Статична невизначність розкрита – маємо статично визначний брус, що має жорсткий закріп одним кінцем і навантажений відомими силами Р і R_B (рисунок 5.2,б). Епюри поздовжніх сил і нормальних напруг будуємо, як для статично визначного бруса (рисунок 5.2,в, г).

6 Найбільші за абсолютним значенням напруги виникають у поперечних перерізах ділянки ВР  це небезпечні перерізи.

Визначаємо відсоток перевантаги: