- •Загальні принципи розрахунків надійності на міцність (настановна лекція)
- •Розділ 1 Розтяг і стисК стрижнів
- •1.1 Напруга і переміщення. Закон Гука
- •Переміщення в стрижні
- •1.1.2 Напруга в стрижні
- •1.2 Механічні характеристики і властивості матеріалів
- •1.2.1 Теоретичні передумови
- •1.2.2 Випробування на розтяг. Діаграма розтягу
- •1.2.3 Основні характеристики матеріалу згідно до діаграми розтягу
- •1.3 Допускна напруга і запас міцності
- •1.4 Розрахунки стрижнів на міцність
- •2 Визначення граничного (допускного) навантаження для деталі з певними розрізами поперечного перерізу і допускної напруги .
- •3 Визначення площі поперечного перерізу стрижня за заданою поздовжньою силою і допускною напругою:
- •1.5 Приклади розрахунків систем на міцність
- •Розділ 2 гнуття прямолінійного бруса
- •2.1 Загальні поняття
- •2.2 Розрахунки балки на міцність і жорсткість
- •2.3 Приклади розрахунків
- •2.4 Загальна методика розв’язання завдань на гнуття
- •2.5 Визначення переміщень при гнутті балки
- •Розділ 3 кручення стрижня круглого попереччя
- •3.1 Загальні відомості
- •3.2 Розрахунки на міцність і жорсткість стрижнів при крученні
- •Розділ 4 окремі основні поняття опору матеріалів
- •4.1 Складний опір
- •4.2 Поздовжнє гнуття (стійкість стиснутих стрижнів)
- •4.3 Місцева напруга
- •4.4 Змінна напруга
- •4.5 Основні теорії міцності (замість висновку)
- •4.6 Загальна характеристика лабораторних робіт з опору матеріалів
- •Розділ 5 розрахунково графічні роботи (ргр) з опору матеріалів
- •5.1 Загальні методичні вказівки та методика розв’язання задач
- •5.2 Частина 1. Розтяг і стиск
- •5.2.1 Послідовність розв’язання першого типу задач
- •5.2.2 Задачі другого типу (статично невизначні)
- •5.2.3 Завдання до першої частини ргр
- •5.3 Частина 2. Гнуття і кручення
- •5.3.1 Послідовність розв’язання задач
- •Розв’язання:
- •Розв’язання:
- •5.3.2 Розв’язанні задач на спільну дію гнуття і кручення
- •Визначаємо еквівалентний момент у перерізі c.
- •5.3.3 Завдання до другої частини ргр
- •Додаток а Сталь гарячекатана. Балки двотаврові. Сортамент
- •Додаток б міжнародна система одиниць сі
- •Термінологічний словник
- •Література
- •Опір матеріалів
- •73000, Україна, м. Херсон, пров. Пугачова, 5/20
Розділ 3 кручення стрижня круглого попереччя
3.1 Загальні відомості
Циліндричний брус, закріплений одним кінцем і навантажений парою сил з моментом М1, що діє в площині поперечного перерізу, зазнає деформації кручення. При цьому крутний момент МК у будь-якому перерізі циліндра, що є моментом внутрішніх сил пружності, чисельно дорівнює моменту зовнішньої пари сил, що діє на будь-яку сторону від перерізу, тобто
. (3.1)
Розгляд випадку, коли на циліндр діє декілька моментів різного напряму (наприклад, це ведучий вал редуктора з урівноваженим ступенем), показує, що крутний момент у будь-якому перерізі валу чисельно дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх моментів, що діють зліва або праворуч від даного перерізу в площинах, перпендикулярних до осі валу, тобто
.
3.2 Розрахунки на міцність і жорсткість стрижнів при крученні
Рисунок 3.1 До умов міцності і жорсткості стрижнів при крученні
Розглянемо елемент циліндру, виділений перерізами I і II, кінець якого закріплений нерухомо на вказаній площині, а інший навантажений парою сил з моментом М (рисунок 3.1, а). В результаті дії зовнішнього моменту М виникає деформація кручення, при якій твірна циліндра adcd займе положення abcd (рисунок 3.1, а).
Якщо переріз I–I, що знаходиться на відстані х від нижнього кінця циліндра, обернувся на кут , то переріз II–II, що знаходиться на відстані від нижнього перерізу, обернеться на кут (рисунок 3.1, б). Проведемо з точки b пряму bс паралельно до прямої bс. Тоді кут сО2с = d. Елемент bссb до повороту перерізу II щодо перерізу I мав вертикальні бічні сторони, отже, абсолютний зсув елементу: .
Відносний зсув визначається з виразу:
.
Позначимо , тоді , де – кут закруту, віднесений до одиниці довжини циліндра, називають відносним кутом закруту.
Для циліндрів постійного перерізу, на які діє крутний момент, . Оскільки відповідно до прийнятих допущень радіуси при крученні залишаються прямими, то можна сказати, що для всякого елементу, що розташований усередині циліндра на радіусі відносний зсув визначається за виразом:
. (3.2)
За законом Гукa напруга в перерізі циліндра визначається з виразу:
(3.3)
при ; .
Із співвідношення (3.3) виходить, що напруга усередині циліндра змінюється за лінійним законом пропорційно відстані від осі обертання. Мінімальна напруга, що дорівнює нулю, має місце в центрі поперечного перерізу, а максимальне – на поверхні циліндра (рисунок 3.1, в).
Елементарна дотична сила, перпендикулярна до радіусу перерізу, проведеному до центру тяжіння елементарної площинки dF, що діє на неї, з урахуванням співвідношення (3.3), визначається з виразу:
.
Елементарний момент, що створюється силою щодо центру перерізу визначається з виразу:
.
Сума таких елементарних моментів, узята за всією площею поперечного перерізу циліндра, дорівнює крутному моменту , який діє в даному перерізі циліндра і в даному конкретному випадку дорівнює зовнішньому моменту М:
.
Оскільки і , то
.
Але – полярний момент інерції площі, тому:
. (3.4)
Із співвідношення (3.4) отримаємо величину кута закруту, віднесеного до одиниці довжина циліндра:
. (3.5)
Повний кут закруту в радіанах:
, (3.6)
або в градусах:
(3.7)
Добуток модуля пружності другого роду на полярний момент інерції називають жорсткістю при крученні. Ця величина характеризує здатність тіла з даного матеріалу з поперечним перерізом даного розміру і форми чинити опір деформації кручення. Таким чином, повний кут закруту циліндра прямо пропорційний крутному моменту і довжині циліндра і обернено пропорційний жорсткості при крученні.
Знайдемо залежність напруги від крутного моменту. Відповідно до (3.3) замість підставляємо його значення з (3.5):
.
Звідси (рисунок 3.1, в) найбільша напруга при крученні:
, (3.8)
або
, (3.9)
де – відношення полярного моменту інерції до відстані від осі обертання до найбільш віддаленої точки перерізу; це відношення називають полярним моментом опору.
Умова міцності при крученні буде виконаються в тому випадку, якщо максимальне значення напруги, що виникає при крученні, не перевищує величини напруги, що допускається, тобто рівняння міцності при крученні має вигляд:
. (3.10)
Допускну напругу при крученні для сталі зазвичай приймають:
,
де – допускна напруга при розтягуванні.
Наведемо співвідношення для визначення полярного моменту опору:
для круга діаметром d з урахуванням виразу (3.4):
;
для кільця, з урахуванням співвідношення (3.5):
,
де D – зовнішній і – внутрішній діаметр кільця.
При полярний момент опору кільця:
.
До раніше наведеному рівнянню (3.11) міцності при перевірочному розрахунку встановимо рівняння міцності при проектувальному розрахунку, коли необхідно визначити параметри циліндру (зокрема, діаметр валу) при крученні.
Визначити діаметр циліндру , що зазнає деформацію кручення, можна використовуючи два припущення. У тих випадках, коли визначною є міцність циліндру, розрахунок ведуть за виразом (3.10) для суцільного циліндру:
; . (3.11)
Коли визначальним є гранична деформація (кут закруту), розрахунок ведуть на жорсткість. З рівняння (3.7) маємо:
, (3.12)
де – допускний кут закруту на одиницю довжини, який залежно від призначення валу приймають в межах 0,25 . . . 1,0 град/м;
– полярний момент інерції суцільного циліндру.
Тоді діаметр валу суцільного перерізу на підставі рівняння жорсткості дорівнюватиме :
. (3.13)
Користуючись рівняннями (3.10) і (3.12), можна вирішити і іншу задачу: визначити безпечну величину крутного моменту бруса, при якому забезпечується необхідна міцність або жорсткість.
Таким чином, за двома видами напруженого стану – гнутті й крученні визначають основний параметр, що впливає на величину напруги – момент, з метою з'ясування, чи виконується умова міцності і чи лінійні і кутові параметри деформації відповідають допускним.
Запитання для самоперевірки
1 Яке деформування тіла називають крученням? Що таке закручувальний момент?
2 Що таке зсув? Наведіть приклади роботи елементів конструкцій на зсув. Як називають руйнування при зсуві?
3 Яка існує в'язь між напругами і деформаціями при чистому зсуві? За якого обтягу прямий стрижень зазнає кручення?
4 Сформулюйте вихідні передумови теорії кручення прямого стрижня круглого попереччя.
5 Які напруги виникають в поперечному перерізі круглого стрижня при крученні?
6 Чи виникають при крученні круглого стрижня нормальні напруги?
7 Напишіть формулу для напруг при крученні круглого стрижня.
8 Напишіть формули для відносного і повного кута закруту круглого стрижня.
9 Що називають жорсткістю попереччя при крученні?
10 Напишіть вирази полярних моментів інерції круглого попереччя (суцільного і кільцевого).
11 Що називають полярним моментом опору і чому він дорівнює для круга і кільця?
12 Чим пояснити, що стрижень кільцевого попереччя при крученні економічніший, ніж суцільного ?
13 Запишіть умову міцності при крученні.