Розділ 2 гнуття прямолінійного бруса

2.1 Загальні поняття

Значна кількість деталей і металоконструкцій в процесі роботи піддаються дії навантаги, перпендикулярної до поздовжньої осі, або зовнішніх пар сил, що діють у площині, яка проходить через зазначену вісь (рисунок 2.1).

а)	б)

Рисунок 2.1  Гнуття прямолінійного бруса

а) – силою (гнуття у попереччі); б) – моментом (чисте гнуття)

При цьому в поперечних перерізах таких елементів виникають гнучи моменти, тобто внутрішні моменти, що діють у площині, перпендикулярній до площі поперечного перерізу. Такий вид навантаги називають гнуттям. Стрижні, що працюють в основному на гнуття, прийнято називати балками.

Балки, що піддаються дії гнуття, мають опори для обмежування переміщень наступних типів: шарнірно-рухомі, шарнірно-нерухомі і вправлення (жорсткий закріп) (рисунок 2.2).

а) б)	в) г)

Рисунок 2.2 – Типи опор балок

а) – конструкція шарнірно-рухомої опори (складається з верхнього 1 і нижнього 2 балансирів, 3 – валик, 4 – котки, 5 – підґрунтя); б) – позначення шарнірно-рухомої балки на схемі; в) і г) конструкція і позначення на схемі шарнірно-нерухомої опори

Рисунок 2.2, д  Позначення на схемі опори балок – жорсткий закріп (вправлення)

Для того, щоб балка могла сприймати навантаження в одній площині і залишатися при цьому в цілому нерухомою по відношенню до підстави, найменше число в'язів, що накладені на балку з боку опор, повинне дорівнювати 3-м.

Можливі наступні варіанти кріплення балки:

– вправлення балки одним кінцем при другому вільному називають консольним кріпленням (рисунок 2.3,а);

– кріплення одного кінця за допомогою шарнірно-нерухомої опори, а іншого – шарнірно-рухомої опори (рисунок 2.3,б). Таку балку називають вільно опертою.

а) б)

Рисунок 2.3  Варіанти кріплення балки

а)  консольне кріплення; б)  вільно оперта балка

Опорні реакції визначають за допомогою рівнянь статики.

2.2 Розрахунки балки на міцність і жорсткість

При гнутті балки під дією зовнішніх моментів в її поперечних перерізах виникають внутрішні гнучи моменти М. Те ж саме має місце при гнутті балки поперечною силою, але тут разом з гнучим моментом М виникає додатково поперечна сила Q.

Розглянемо методику визначення М і Q на прикладі балки, що зображена на рисунку 2.4. Нехай балка, що лежить на опорах А і В , обтяжена вертикальними силами P₁; P₂ . . . , розподіленою навантагою інтенсивності q і моментами М₁ і М₂ , що діють у вертикальній площині симетрично до балки. Опорні реакції R_А і R_В визначають з рівнянь рівноваги.

Рисунок 2.4  Схема обтяжування балки поперечними силами і гнучими моментами

Розглянемо поперечний переріз балки mn, що визначене абсцисою х. Вказаний переріз ділить зовнішні сили і моменти, що прикладені до балки, на дві взаємно урівноважені системи, з яких одна діє ліворуч, інша – праворуч від даного перерізу.

Кожну з цих систем можна привести до центру тяжіння С даного перерізу.

Поперечна сила Q в будь-якому поперечному перерізі балки чисельно визначається як алгебраїчна сума сил, що розташовані по один бік від перерізу. Для перерізу mn (рисунок 2.4) відповідно до встановленого правила знаків (“+”  за годинниковою стрілкою, “”  проти) маємо:

, (2.1)

або

.

Головний момент зовнішніх сил, що діють на балку по один бік від перетину mn, називають гнучим моментом у даному перерізі. Цей момент (позначимо його літерою М) розглядатимемо як алгебраїчну величину, що має додатне значення, якщо він діє так, що вісь балки вигинається опуклістю вниз (рисунок 2.5, в) і від’ємне  в протилежному випадку (рисунок 2.5, г).

Гнучий момент М у будь-якому перерізі балки чисельно визначається як алгебраїчна сума моментів, діючих на балку зовнішніх сил, розташованих по один бік від даного перерізу щодо центру тяжіння цього перерізу.

Рисунок 2.5  Дія поперечної сили й гнучого моменту М

При цьому для лівої частини балки моменти сил вважаються додатними, якщо вони направлені по відношенню до центру тяжіння перетину по лівому боку, і від’ємними, якщо  проти годинникової стрілки, для правої частини – навпаки.

Таким чином, для перерізу mn (рисунок 2.4) маємо:

або (2.2)

.

Поперечна сила Q і гнучий момент М в загальному випадку залежать від положення перерізу, тобто від абсциси х. Знайдемо залежність між Q і М, а також Q і q. Для цього визначимо поперечну силу Q і гнучий момент М у перерізі , зміщеному щодо перерізу mn на нескінченно малу відстань (рисунок 2.4):

, (2.3)

. (2.4)

Визначимо зміни dM гнучого моменту і dQ – поперечної сили при переході від перерізу mn до перерізу . Віднімаючи вираз (2.2) з виразу (2.4) і відповідно (2.1) з (2.3), маємо:

;

,

звідки, враховуючи вираз (2.1), отримуємо:

або , (2.5)

тобто поперечна сила в даному перерізі рівна першій похідній від гнучого моменту за абсцисою перерізу (теорема Журавського Д.І.). Аналогічно отримаємо:

, (2.6)

тобто друга похідна від гнучого моменту за абсцисою перерізу дорівнює інтенсивності розподіленого навантаження.

Отримані залежності використовують при побудові епюр (характеру зміни) гнучих моментів і поперечних сил (графіки залежності М і Q від координати х перерізу – і є епюра ). Епюри дають наочне представлення зміни М і Q за довжиною балки і дозволяють встановлювати місце знаходження небезпечних перерізів.

Розглянемо методику побудови цих епюр для достатньо простих випадків навантаги.