- •Э.Г. Миронов Задачи и примеры расчетов по метрологии
- •Предисловие
- •Статические погрешности средств измерений.
- •2. Динамические погрешности средств измерений
- •Определение параметров передаточной функции
- •Определение амплитудно- и фазово-частотных характеристик
- •Определение погрешности
- •3. Погрешности прямых многократных измерений
- •4. Погрешности прямых однократных измерений
- •5. Погрешности косвенных измерений.
- •6. Примеры расчета равновесных схем
- •7. Задачи по оценке погрешностей средств измерений.
- •8. Задачи по оценке погрешностей результатов прямых многократных измерений.
- •9. Задачи по оценке погрешностей результатов прямых однократных измерений.
- •10. Правила округления
- •Библиографический список.
- •Приложения
- •1. Значения коэффициентов Стьюдентов t в зависимости от доверительной вероятности р и числа измерений n
- •2. Значения коэффициентов и в зависимости от доверительной вероятности р и числа измерений n
- •3. Значения коэффициентов wt в зависимости от доверительной вероятности р и числа измерений n (табличный метод выявления промахов)
- •4. Значения квантилей нормального распределения к в зависимости от доверительной вероятности р
- •5. Необходимое число измерений для получения отношения с доверительной вероятностью р
- •Значение коэффициента к при оценке суммарной погрешности
- •9. Значения относительной и абсолютной методических погрешностей при измерении электрического тока
- •10. Значение относительной и абсолютной методических погрешностей при измерении электрического напряжения
- •11. Оригиналы и их изображения по Лапласу.
- •Оглавление
- •Задачи и примеры расчётов по метрологии
- •620002, Екатеринбург, ул. Мира, 19
Статические погрешности средств измерений.
В качестве примера рассмотрен расчет точностных характеристик вольтметра по результатам измерений с его помощью заданного напряжения. Расчет проведён в соответствии с рекомендациями, изложенными в учебных пособиях [1; 2].
Задача 1.1
При многократных измерениях напряжения В получены следующие показания исследуемого вольтметра: 60,12; 60,15; 60,16; 60,18; 60,20; 60,23; 60,25; 60,27; 60,28; 60,31 В. Предполагая, что результаты измерений подчиняются нормальному закону распределения, найти (с доверительной вероятностью Р=0,95) систематическую, случайную и суммарную погрешности вольтметра. Верхний предел измерения вольтметра В.
Оценка искомых величин проводится в следующей последовательности.
Рассчитывается среднее арифметическое значение рассматриваемого ряда измерений:
В,
где – среднее арифметическое значение;
n – число измерений (n=10);
– значение i-го измерения.
2. Определяется среднее квадратическое отклонение по формуле
В,
где – среднее квадратическое отклонение (СКО);
, и n – определены выше.
3. Выявляются возможные промахи методом 3 и методом Смирнова – Греббса (табличным методом).
Метод 3σ
Для реализации этого метода подсчитывается значение В, которое сравнивается с разностью между и .
,
где – предполагаемый промах ( );
– определено выше.
Поскольку , то В – не промах, и это значение следует оставить в ряду измерений.
Табличный метод
Для реализации табличного метода оцениваются значения:
;
(для Р=0,95 и n=10),
где – табличное значение, зависящее от принятой доверительной
вероятности P и числа измерений n (см. прилож.);
, и – определены выше.
Поскольку , то – не промах, и это значение следует оставить в ряду измерений.
4. Оценивается абсолютная систематическая погрешность вольтметра:
В,
где – систематическая погрешность вольтметра в рассматриваемой точке шкалы (диапазона измерения);
– рассматриваемая точка шкалы (диапазона измерения), значение напряжения в которой принимается за истинное значение измеряемой величины ( =60,00 В);
– определено выше.
5. Оценивается абсолютная случайная погрешность вольтметра:
=
где – случайная погрешность вольтметра в рассматриваемой точке шкалы (диапазоне измерения);
κ – коэффициент, зависящий от принятой доверительной вероятности Р и от закона распределения результатов измерений (для р=0,95 и нормального закона распределения результатов измерений к=1,96);
– определено выше.
6. Оценивается абсолютная суммарная погрешность вольтметра:
В;
В,
где – абсолютная суммарная погрешность вольтметра;
, – определены выше.
7. Оценивается относительная суммарная погрешность вольтметра:
;
,
где – относительная суммарная погрешность;
– определено выше ( =60,00 В).
8. Оценивается приведённая суммарная погрешность вольтметра:
;
,
где – приведённая суммарная погрешность;
– верхний предел шкалы или диапазона измерения
вольтметра ( =200 В).
9. Проводится округление полученных величин. После округления рассматриваемые величины принимают следующие значения:
;
;
;
, Р=0,95.
Следовательно, с доверительной вероятностью Р=0,95 суммарные погрешности (при измерении напряжения =60,00 В) составляют: абсолютная 0,3 В; относительная 0,6 %; приведённая 0,17 %. При этом результат измерения исследуемым вольтметром в выбранной точке шкалы (или диапазона измерения) может быть записан как (60,2 0,3) В. Отметим, что термин «шкала» применяется для отсчётного устройства стрелочных приборов, а термин «диапазон измерения» – для отсчётного устройства цифровых измерительных приборов. В приведённом примере не уточняется тип прибора (стрелочный прибор или цифровой) и, в силу этого, используются оба термина при характеристике рассматриваемых величин.
По результатам расчета относительной и приведённой погрешностей исследуемому вольтметру присваивается класс точности в соответствии с ГОСТ 8. 401-80 [16].
Завод-изготовитель присваивает прибору один класс точности (по или ). В учебных целях рассматриваемому вольтметру присвоено два класса точности.
По относительной погрешности рассматриваемый вольтметр соответствует классу точности .
По приведенной погрешности рассматриваемый вольтметр соответствует классу точности 0,2.
Для оценки погрешности погрешностей, доверительных границ и доверительных интервалов использованы следующие величины, полученные при решении рассматриваемой задачи:
; ; .
Погрешность среднего арифметического значения оценивается по формуле:
;
где – погрешность среднего арифметического значения;
t – коэффициент Стьюдента, зависящий от принятой доверительной
вероятности Р и числа измерений n (для Р=0,95 и n=10 t=2,26; см. прилож.);
,n – определены выше.
Доверительные границы среднего арифметического значения оцениваются по формулам:
;
;
где и – нижняя и верхняя доверительные границы среднего арифметического значения;
и – определены выше.
Доверительный интервал среднего арифметического значения оценивается по формуле
=60,2599-60,1701=0,0898 В.
Погрешность систематической погрешности численно равна погрешности арифметического среднего значения, т.е.
0,0449 В,
где – погрешность систематической погрешности.
Доверительные границы систематической погрешности оцениваются по формулам
=0,2150-0,0449=0,1701 В;
=0,2150+0,0449=0,2599 В;
где и – нижняя и верхняя доверительные границы систематической
погрешности;
и – определены выше.
Доверительный интервал систематической погрешности определяется по формуле
=0,2599-0,1701=0,0898 В;
где – доверительный интервал систематической погрешности;
и – определены выше.
Приближенное значение погрешности среднего квадратического
отклонения (СКО) оценивается по формуле
где – приближённое значение погрешности СКО;
и n – определены выше.
Уточнённые значения погрешностей среднего квадратического
отклонения (СКО) оцениваются по формулам
∆1σ = (γ1 – 1)σ =(0,69 – 1) ⋅ 0,0628= - 0,0195 В;
∆2σ = (γ2 – 1)σ =(1,83 – 1) ⋅ 0,0628= 0,0521 В;
где и – уточнённые погрешности СКО;
и – коэффициенты, зависящие от принятой доверительно вероятности Р и числа измерений n (для Р=0,95 и n=10 =0,69 и
=1,83, см. прилож.);
– определено выше.
Уточнённые доверительные границы среднего квадратического
отклонения (СКО) оцениваются по формулам
=0,0628-0,0195=0,0433 В;
=0,0628+0,0521=0,1149 В,
где и – уточнённые нижняя и верхняя доверительные границы СКО;
, , – определены выше.
Уточнённый доверительный интервал среднего квадратического отклонения (СКО) оценивается по формуле
;
где – уточнённое значение доверительного интервала СКО;
и – определены выше.
После округления найденных величин получены следующие их значения:
= 0,04 В; =60,10 В; =60,26 В; =0,09 В. = 0,04 В; =0,17 В; =0,267В; =0,09 В; = 0,01 В.
=-0,02 В; =+0,05 В;
=0,04 В; =0,11 В; =0,07 В.
В заключение напомним ещё раз основные положения.
При малом числе измерений появляются погрешности погрешностей, которые уменьшаются с ростом числа измерений. Приведённый пример позволяет количественно оценить погрешности погрешностей при n=10 (где n – число измерений).
Подсчёт погрешностей среднего квадратического отклонения (СКО) по приближенной формуле всегда даёт симметричные и несколько меньшие значения, чем значения, полученные по уточнённым формулам с использованием коэффициентов и (см. приведённый пример).
Погрешности СКО, найденные по уточнённым формулам, всегда асимметричны, причём отрицательная погрешность по абсолютной величине всегда меньше положительной погрешности.