- •Предмет физики твердого тела
- •2 Периодические структуры
- •2.1 Химическая связь и кристаллическая структура
- •2.2 Кристаллическая решётка
- •2.3 Симметрия кристаллов
- •2.4. Пространственные группы и кристаллические классы.
- •2.5 Обозначение узлов, плоскостей и направлений в кристалле.
- •2.6. Плотно упакованные структуры
- •2.7 Вектор обратной решетки
- •2.8 Определение структуры кристаллов
- •3. Дефекты в кристаллах и механические свойства твердых тел
- •3.1 Дефекты кристаллов
- •3.2 Механические свойства твердых тел
- •3.3 Диффузия и ионная проводимость в твердых телах
- •4 Динамика кристаллической решетки
- •4.1 Колебания кристаллической решетки
- •4.2 Понятие о фононах
- •4.3 Теплоемкость кристаллов
- •5 Зонная теория кристаллов твердых тел
- •5.1 Электрон в периодическом поле кристалла
- •5.2 Образование энергетических зон
- •5.3 Зонная структура металлов, полуметаллов и диэлектриков
- •5.4 Электрон в кристалле как квазичастица
- •6 Металлы
- •6.1 Классическая электронная теория металлов
- •Квантовая статистика электронов в металле
- •7 Полупроводники
- •7.1 Собственные полупроводники
- •7.2 Примесные полупроводники
- •7.3 Фотопроводимость полупроводников
- •7.4 Люминесценция
4.1 Колебания кристаллической решетки
С колебаниями кристаллической решетки связаны следующие свойства кристаллов:
- упругие свойства;
- тепловое расширение кристаллов;
- диэлектрическая проницаемость кристаллов;
- теплоемкость кристаллов.
4.1.1 Колебания линейного кристалла
При рассматривании колебания линейного кристалла воспользуемся двумя предположениями:
1. Будем считать, что среднее равновесное положение атомов совпадает с узлом решетки Браве. Тогда можно с каждым атомом связывать определенный узел решетки, относительно которого совершаются атомом колебания, но теперь узел есть лишь среднее положение атома, а не его фиксированное мгновенное положение.
2. Примем, что типичные отклонения каждого атома от его положения равновесия малы по сравнению с расстоянием между атомами.
Пусть кристалл состоит из атомов массой М. Количество атомов в кристалле N+1. Период кристаллической решетки равен а. Длина кристалла равна Na.
Предположим, что взаимодействуют лишь соседние атомы. При малых колебаниях справедливо гармоническое приближение, т.е.
, (4.1)
где f — жесткость связи.
Тогда сила взаимодействия
. (4.2)
Г
f
а
Рисунок 4.1 – Модель, соответствующая гармоническому приближению
Если число N велико и если нас не интересуют эффекты, происходящие на концах цепочки, точный вид описания атомов, расположенных на ее концах, не существенен, и можно воспользоваться таким подходом, который дает наибольшее математическое преимущество. Удобнее всего выбрать периодические грани чные условия Борна — Кармана.
Колебания n- го атома кристалла описываются уравнением:
. (4.3)
В динамике решетки выбирают в качестве координат величину смещения каждого атома от равновесного положения (см. рис.4.2).
Рисунок 4.2 - Выбор координат в динамике решетки
Решение будем искать в виде:
В этом случае можно записать:
аналогично,
,
где ;
— скорость распространения упругой волны.
Следовательно, имеем:
или
откуда
. (4.7)
Полученное соотношение представляет собой дисперсионное уравнение.
Если , то такие значения k не приводят к физическим различным результатам. Область значений k, приводящих к физически различным результатам, определяется выражением:
, (4.8)
т.е. значения k, приводящее к физически различным результатам, лежат в области первой зоны Бриллюэна. Из (4.8) следует, что
т.е. , откуда .
Таким образом, два соседних узла кристалла совершают колебания в противофазе, т.е. возникает стоячая волна. Дисперсионная кривая в этом случае имеет вид, приведенный на рисунке 4.3.
Рисунок 4.3 – Вид дисперсионной кривой ы первой зоне Бриллюэна
В кристалле могут распространяться волны с частотами от 0 до максимально возможной частоты , соответствующей минимальной длине волны .
Рассмотрим область низких частот ( ). Тогда
,
откуда
. (4.9)
Наблюдается линейная зависимость в том случае, когда длина волны велика по сравнению с расстоянием между частицами. Волна, для которой зависимость линейная, носит название акустических. При длинах волн сравнимых с расстоянием между частицами, линейный закон дисперсии перестает соблюдаться.
Фазовая скорость акустических волн равна:
, (4.10)
Групповая скорость акустических волн равна:
. (4.11)
Рассмотрим поведение дисперсионной кривой (см. рис. 4.4) на границе первой зоны Бриллюэна:
. (4.12)
Рисунок 4.4 – Вид дисперсионной кривой на границе первой зоны Бриллюэна.
На границе первой зоны Бриллюэна происходит отражение упругой волны.
Оценим частоту колебаний :
, (4.13)
Если принять , , то .
На границе первой зоны Бриллюэна отражение испытывает не только упругие волны, но и рентгеновские, что следует из условия Лауэ.
Подсчитаем количество независимых колебаний в линейном кристалле. Так как при колебаниях частиц кристалл как целое неподвижен, то другие волны отражаются от границ кристалла, следовательно, фазы колебаний первой и последней частиц одинаковы. Общий набег фазы на длине цепочки Na равен :
, (4.14)
, , … , , (4.15)
причем большие значения к не приводят к физически различным результатам.
В линейной цепочке атомов количество не зависимых колебаний совпадают с числом атомов.
Отметим, что волновые числа k имеют дискретное значение, что связно не с квантовыми эффектами, а с образованием стоячих волн в кристаллах. Так как N >>1, то спектр значений можно считать практически непрерывным.
Полученные результаты можно распространить на трехмерный кристалл. Волновые векторы лежат в приделах первой зоны Бриллюэна. В каждом направлении в кристалле могут распространяться три акустические волны: одна продольна и две поперечные со взаимно поляризациями. В общем случае, когда ориентирован произвольно относительно направлений симметрии кристалла, волны не являются чисто продольными или чисто поперечными. Однако в приделе длинных волн (малых ), когда кристалл можно рассматривать как изотропную среду, одна волна является продольной, а две другие — поперечными. Таким образом, с учетом трех возможных направлений поляризации, всего имеется 3N состояний, что совпадает с числом степеней свободы атомов кристалла.
4.1.2 Колебания линейного кристалла с базисом
Рассмотрим колебания линейного кристалла с базисом, состоящим из двух различных атомов. Массы атомов равны M и m соответственно.
Запишем уравнение движения атомов в базисе:
, (4.16)
. (4.17)
Решение имеем в виде:
, ,
, , (4.18)
, .
Таким образом, имеем:
(4.19)
Получена система алгебраических уравнений с двумя неизвестными амплитудами:
Имеем систему линейных однородных уравнений. Система имеет нетривиальные решения, если определитель, построенный из коэффициентов, равен нулю:
, (4.20)
откуда
(4.21)
С учетом
(4.22)
(4.23)
Получим биквадратное уравнение для частот :
, (4.24)
, (4.25)
. (4.26)
Следовательно:
, (4.27)
. (4.28)
Рассмотрим значения и на границе первой зоны Бриллюэна. Так как, , то можно записать:
, (4.29)
, (4.30)
при этом необходимо иметь ввиду, что .
Как и в многоатомной цепочке атомов, периодическое граничное условие Борна-Кармана вновь приводит к N неэквивалентным значениям k .
Для каждого из N значений k имеется два решения, что дает в целом 2N нормальных колебаний (мод), как и должно быть при 2N степенях свободы. Две кривые называется двумя ветвями законно дисперсии (см. рис. 4.5).
Рисунок 4.5 – Две ветви закона дисперсии
Ветвь называется акустической, потому что ее закон дисперсии при малых n имеет вид , что характерно для звуковых волн.
Действительно, при , имеем . Поскольку при x<<1, то можно записать:
, (4.31)
следовательно,
. (4.32)
При акустических колебаниях элементарная ячейка совершает колебания как единое целое.
Ветвь называется оптической ветвью (см. рис. 4.5). В этом случае соседние атомы колеблются в противоположных фазах. Эти колебания можно рассматривать как колебания друг относительно друга подрешеток из однородных атомов, вставленных одна в другую. Такая ситуация возникает при воздействии на кристалл электромагнитных волн.
Оптические колебания возникают и в том случае, если элементарная ячейка содержит два и более однородных атомов. Оптические колебания возникают в результате колебаний одной подрешетки относительно другой.
Полученные результаты можно обобщить на случай колебаний трехмерного кристалла с базисом из S атомов. Для каждого значения k имеется 3S нормальных колебаний, из них 3 ветви — акустические и 3S – 3 — оптические.