- •Предмет физики твердого тела
- •2 Периодические структуры
- •2.1 Химическая связь и кристаллическая структура
- •2.2 Кристаллическая решётка
- •2.3 Симметрия кристаллов
- •2.4. Пространственные группы и кристаллические классы.
- •2.5 Обозначение узлов, плоскостей и направлений в кристалле.
- •2.6. Плотно упакованные структуры
- •2.7 Вектор обратной решетки
- •2.8 Определение структуры кристаллов
- •3. Дефекты в кристаллах и механические свойства твердых тел
- •3.1 Дефекты кристаллов
- •3.2 Механические свойства твердых тел
- •3.3 Диффузия и ионная проводимость в твердых телах
- •4 Динамика кристаллической решетки
- •4.1 Колебания кристаллической решетки
- •4.2 Понятие о фононах
- •4.3 Теплоемкость кристаллов
- •5 Зонная теория кристаллов твердых тел
- •5.1 Электрон в периодическом поле кристалла
- •5.2 Образование энергетических зон
- •5.3 Зонная структура металлов, полуметаллов и диэлектриков
- •5.4 Электрон в кристалле как квазичастица
- •6 Металлы
- •6.1 Классическая электронная теория металлов
- •Квантовая статистика электронов в металле
- •7 Полупроводники
- •7.1 Собственные полупроводники
- •7.2 Примесные полупроводники
- •7.3 Фотопроводимость полупроводников
- •7.4 Люминесценция
2.7 Вектор обратной решетки
В ряде случаев бывает удобно, наряду с пространственной решеткой, вводить вспомогательную систему точек, называемую обратной решеткой. Вектор обратной решетки определяем как:
, (2.6)
где m1, m2, m3 — целые числа,
, , .
Определим скалярное произведение . Для этого воспользуемся свойством дистрибутивности скалярного произведения. Тогда
, (2.7)
аналогично,
, (2.8)
(2.9)
Следовательно, имеем
, (2.10)
где N — целое число.
Если существует некоторая функция , обладающая периодичностью кристаллической решетки, т.е.
, (2.11)
то она может быть разложена в обобщенный ряд Фурье:
. (2.12)
Очевидно, что
, (2.13)
откуда следует, что
, (2.14)
, (2.15)
где N — целое число.
Можно сделать вывод, что .
Функция, обладающая периодичностью кристаллической решетки, может быть разложена в ряд по плоским волнам с волновыми векторами, являющимися векторами обратной решетки.
Пространство векторов обратных решеток – пространство волновых векторов, возможных в данной решетке. Пространство обратной решетки является частным случаем фазового пространства (так как ).
Одно из возможных применений обратной решетки — описание распределения дифракционных максимумов, получающихся при рассеянии рентгеновских лучей, электронов или нейтронов на кристалле.
В случае одномерной цепочки атомов с периодом а (см. рисунок 2.27) , вектор обратной решетки .
Рисунок 2.27 – Одномерная цепочка атомов с периодом а
Тогда ячейка Вигнера-Зейтца для такой решетки имеет границы ; .
Ячейка Вигнера-Зейтца для обратной решетки носит название первой зоны Бриллюэна. Таким образом, первой зоне Бриллюэна соответствуют . При данном значении N уравнение (2.10) определяет кристаллическую плоскость, перпендикулярную вектору обратной решетки и находящуюся на расстоянии от начала координат. Действительно,
, (2.16)
где - угол между векторами ;
- проекция вектора на вектор .
Тогда
(2.17)
При данных значениях N и G правая часть (2.17) постоянная, поэтому условие (2.17) определяет плоскость, перпендикулярную к и удаленную на расстояние 2N/G от начала координат. Если на этой плоскости лежит один узел прямой решетки, определяемый вектором , то на этой же плоскости лежит бесконечное число других узлов прямой решетки, что представлено на рисунке 2.28
Рисунок 2.28 – Пример построения вектора по заданному вектору
Так как N — любое целое число, то вектор определяет семейство параллельных плоскостей прямой решетки, перпендикулярных к . Увеличение N на 1 приводит к увеличению на . Поэтому расстояние между соседними кристаллическими плоскостями, перпендикулярными к , равно .