- •Предмет физики твердого тела
- •2 Периодические структуры
- •2.1 Химическая связь и кристаллическая структура
- •2.2 Кристаллическая решётка
- •2.3 Симметрия кристаллов
- •2.4. Пространственные группы и кристаллические классы.
- •2.5 Обозначение узлов, плоскостей и направлений в кристалле.
- •2.6. Плотно упакованные структуры
- •2.7 Вектор обратной решетки
- •2.8 Определение структуры кристаллов
- •3. Дефекты в кристаллах и механические свойства твердых тел
- •3.1 Дефекты кристаллов
- •3.2 Механические свойства твердых тел
- •3.3 Диффузия и ионная проводимость в твердых телах
- •4 Динамика кристаллической решетки
- •4.1 Колебания кристаллической решетки
- •4.2 Понятие о фононах
- •4.3 Теплоемкость кристаллов
- •5 Зонная теория кристаллов твердых тел
- •5.1 Электрон в периодическом поле кристалла
- •5.2 Образование энергетических зон
- •5.3 Зонная структура металлов, полуметаллов и диэлектриков
- •5.4 Электрон в кристалле как квазичастица
- •6 Металлы
- •6.1 Классическая электронная теория металлов
- •Квантовая статистика электронов в металле
- •7 Полупроводники
- •7.1 Собственные полупроводники
- •7.2 Примесные полупроводники
- •7.3 Фотопроводимость полупроводников
- •7.4 Люминесценция
5 Зонная теория кристаллов твердых тел
5.1 Электрон в периодическом поле кристалла
Атомы (ионы) в идеальном кристалле расположены таким образом, что образуют регулярную периодическую структуру. Поэтому необходимо рассмотреть задачу об электроне в потенциальном поле , которое имеет периодичность решетки Браве, лежащей в основе такой структуры.
Т.ак как полная периодичность – это идеализация, то задачу разбивают на две части: 1) рассмотрение гипотетического идеального кристалла с абсолютно периодическим потенциалом; 2) изучение влияния на свойства кристалла всевозможных отклонений от полной периодичности, которые рассматриваются как малые возмущения.
Задача о движении электронов в кристалле представляет собой многоэлектронную задачу.
Волновая функция кристалла:
, (5.1)
где – радиус-вектор электрона;
– радиус-вектор ионов (атомов или ядер).
Стационарное уравнение Шредингера имеет вид:
(5.2)
где , т.е. полный гамильтониан твердых тел содержит не только одноэлектронные потенциалы, описывающие взаимодействие электронов с атомными ядрами, но и парные потенциалы, описывающие взаимодействия между электронами, а также между ионами.
Рассмотрим слагаемые, входящие в полный гамильтониан:
, . (5.3)
Все потенциальные энергии являются двойными суммами в силу парных взаимодействий. Волновая функция кристалла не может быть представлена в виде произведения функций отдельных частиц.
Первым упрощением является адиабатическое приближение: будем считать, что ионы неподвижны (так как масса иона много больше массы электрона). Следовательно, имеем:
. (5.4)
Волновая функция лишь параметрически зависит от положения ионов, т.е. можно записать:
. (5.5)
В этом случае , . Гамильтониан кристалла имеет вид:
. (5.6)
Второе упрощение – одноэлектронное приближение, которое выполняется по методу Хартри–Фока. Сущность метода Хартри–Фока: считается, что каждый из электронов движется независимо от остальных электронов в усредненном поле всех ионов и остальных электронов.
Обозначим через потенциальную энергию k-го электрона в усредненном поле всех ионов, – потенциальную энергию k-го электрона в усредненном поле остальных электронов. Тогда , .
В этом случае гамильтониан системы равен:
, (5.7)
следовательно,
, (5.8)
где .
Таким образом, волновую функцию кристалла можно записать в виде:
. (5.9)
Подстановка такой функции приводит к разделению переменных и к записи уравнения Шредингера для одного электрона:
, (5.10)
где .
Величина носит название внутрикристаллического потенциала. Потенциал строится для каждого типа кристаллической решетки и его построение – отдельная задача в физике твердого тела. Вид потенциала связан с симметрией кристалла и он обладает периодичностью кристаллической решетки.
Пусть имеем линейный одномерный кристалл. Потенциал периодический (см. рис. 5.1), причем
, (5.11)
где – произвольный вектор решетки.
Рисунок 5.1 – Вид внутри кристаллического потенциала
Вероятность локализации электрона в точках, отстоящих на вектор решетки , одинакова, т.е.
, (5.12)
тогда функции и могут отличаться только фазовыми множителями:
, (5.13)
в этом условии вектор определен с точностью до произвольного вектора обратной решетки. Пусть , тогда .
В физике твердого тела доказывается теорема Блоха, которая утверждает, что волновые функции электронов в кристалле могут быть представлены в виде плоских волн, амплитуда которых является периодической функцией решетки:
, (5.14)
где .
В общем случае волновые функции электронов представимы в виде пакета функций Блоха. Покажем, что функции Блоха удовлетворяют условию (5.13):
, т.е. .
На волновые функции электронов в кристалле налагаются граничные условия.
Из-за границ кристалла реально в кристалле существуют не бегущие, а стоячие волны, однако в приложениях удобно работать с бегущими волнами, поэтому на кристалл налагаются граничные условия Борна-Кармана: электрон описывается бегущей волной, в момент времени, когда электрон выходит из-за границы кристалла, на противоположной стороне появляется такой же электрон, а волновые функции на границах должны совпадать, т.е. для линейного кристалла это означает :
, .
Но , тогда , и приходим к уравнению
, (5.15)
где - целое число.
Волновой вектор k принимает значения:
, (5.16)
Т.у. .
Если , то значения k не приводят к физически различным результатам, так как вектор определяется лишь с точностью до произвольного вектора обратной решетки. Таким образом, волновой вектор принимает дискретных значений. Следовательно, для электронов в кристалле волновой вектор обладает дискретным спектром значений и может рассматриваться как квантовое число, определяющее состояние электрона. Учитывая, что , во многих случаях распределение k можно считать практически непрерывным.