Тема 11. Нелинейные и параметрические преобразования сигналов.

Как правило, все информационные сигналы в электротехнике имеют низкую частоту, т. к. низкочастотные колебания плохо передаются, то прибегают к такому способу как наложение низкочастотных колебаний на высокочастотные. Процесс, при котором один или несколько параметров несущего колебания изменяются по закону передаваемого сообщения, носит название модуляция. Получаемые в процессе модуляции колебания называют радиосигналами. В аналоговых системах связи радиосигналы передаются непрерывно во времени, при модуляции могут изменяться амплитуда, частота или фаза несущего гармонического колебания подвергается изменению, различают два основных вида аналоговой модуляции: амплитудную и угловую. Последний вид модуляции в свою очередь, разделяется на частотную и фазовую.

Амплитудная модуляция

В процессе осуществления амплитудной модуляции несущего колебания (рис. 11-1)

Uн(t) = Uн cos(ωot+φo ) Uн(t) = Uн cos(ψ (t))

(11-.1)

Его амплитуда должна изменятся по закону:

Uн(t) = Uн + e(t)

(11-2)

где Uн - амплитуда в отсутствие модуляции; - угловая частота; o - начальная фаза;

- полная фаза; - безразмерный коэффициент пропорциональности;

e (t) – модулирующий сигнал (передаваемый сигнал).

Подставив формулу (4.2) в (4.1) получают общее выражение для АМ – сигнала

UАМ(t) = Uн cos(ωot+φo )

UАМ(t) = (Uн + e(t))cos (ωot+φo )

(11-3)

Рассмотрим простейший вид амплитудной модуляции – однотональную, когда модулирующий сигнал представляет собой гармоническое колебание:

(11-4)

где - амплитуда; - круговая частота; - период; - начальная фаза. Для упрощения примем начальные фазы несущего колебания и модулирующего сигнала и . Тогда, подставив формулу (11-4) в (11-3), получают выражение для АМ сигнала:

UАМ(t) = (Uн + Eo cos(Ωt))cos (ωot)

(11-5)

Обозначим через максимальное отклонение амплитуды АМ – сигнала (рис.11-3) от амплитуды несущей и, проведя несложные преобразования получают:

UАМ(t) = Uн (1+M cos(Ωt))cos(ωot)

(11-6)

где - коэффициент или глубина амплитудной модуляции.

Спектр АМ сигнала

Любой радиосигнал можно представить в виде нескольких гармонических составляющих, и совокупность этих радиосигналов называется спектром радиосигнала. Используя в формуле (4.6) тригонометрическую формулу произведения косинусов, получим:

(11-7)

Из формулы (11-7) видно, что при однотональной модуляции спектр АМ сигнала состоит из трех высокочастотных составляющих. Первый из них представляет собой исходное несущее колебание с амплитудой и частотой . Вторая и третья составляющие характеризуют новые гармонические колебания, появляющиеся в процессе амплитудной модуляции и отражающие передаваемый сигнал.

Колебания с частотами ω0+Ω и ω0-Ω называются соответственно верхней и нижней боковыми составляющими. Амплитуды боковых составляющих одинаковы, равны и распространены симметрично относительно несущей частоты сигнала ω0. Ширина спектра АМ-сигнала при однотональной модуляции . При отсутствии модуляции (М=0) амплитуды боковых составляющих равны 0 и спектр АМ сигнала переходят в спектр несущего колебания (рис. 11-4) (составляющие на частоте ). Также графически можно показать спектр модулирующего и АМ сигнала. При M<=1 амплитуда АМ сигнала изменяется в пределах от минимальной до максимальной . Исключая постоянное значение , получают формулу, удобную для экспериментального определения коэффициента модуляции:

(11-8)

Если же M>1, то возникает искажение, называемые перемодуляцией (рис 11-7). Наличие таких искажений в АМ сигнале может привести к потере передаваемой информации.

Рис 11-1 Несущие частота

Рис. 11-2 Модулирующий сигнал

Рис. 11-3 АМ-сигнал

Рис. 11-4 Спектр несущего колебания

Рис. 11-5 Спектр модулирующего колебания

Рис. 11-6 Спектр АМ-сигнала

Рис. 11-7 Искажение АМ-сигнала при перемодуляции

Преимущество в АМ-модуляции является простота формирования и детектирование сигналов малый диапазон частот, занимаемых ею при передаче данных всего . Недостатками являются то, что при возникновении посторонних токов и напряжений в линии, сигнал сильно искажается, скорость изменения амплитуды ограничена шириной полосы частот линии и ненадежно детектируются малые изменения амплитуды.

Частотная модуляция

При частотной модуляции частота несущего колебания

( 11-8)

связана с модулирующим сигналом (рис. 11-9) зависимостью:

(11-9)

где - размерный коэффициент пропорциональности между частотой и напряжением [рад/(B*c)].

Рассмотрим однотональную частотную модуляцию, когда модулирующим сигналом является гармоническое колебание:

(11-10)

Примем для упрощения начальную фазу несущего колебания φо= 0 . Полную фазу ЧМ-сигнала в любой момент времени определим путем интегрирования частоты, выраженной через формулу (11-9).

(11-11)

где - максимальное отклонение частоты от значения , или девиация частоты. Отношение:

являющееся девиацией фазы несущего колебания, называют индексом частотной модуляции. С учетом (11-10) и (11-11) выражение для ЧМ-сигнала (рис. 11-10) запишется следующим образом.

(11-12)

Рис. 11-8 Несущие колебания

Рис. 11-9 Модулирующий сигнал

Рис. 11-10 ЧМ-сгинал

Фазовая модуляция

В фазомодулированном напряжении полная фаза несущего колебания изменяется пропорционально модулирующему сигналу:

(11-13)

где - размерный коэффициент пропорциональности [рад/B].

При однотональной модуляции фаза несущего колебания:

(11-14)

Из (11-14) следует что как и в случае частотной модуляции полная фаза несущего колебания при фазовой модуляции изменяется по гармоническому закону. Максимальной отклонение фазы несущего колебания от начальной фазы характеризует индекс фазовой модуляции:

(11-15)

С учетом (11-13) и (11-14) уравнение ФМ-сигнала имеет вид:

Дифференцирование формулы (11-14) дает частоту ФМ-сигнала:

(11-16)

где - максимальное отклонение частоты от значения несущей , т.е. девиация частоты при фазовой модуляции.

Спектр ЧМ сигнала при однотональной модуляции

Используя тригонометрические преобразования запишем соотношение (11-12) следующим образом:

(11-17)

(4.18)

Проанализируем выражения отдельно для малых (m<<1) и больших (m>1) индексов модуляции. Спектр ЧМ-сигнала при m<<1 (рис.11-.11). в этом случае спектр чм-сигнал аналогичен спектру АМ сигнала и также состоит из несущего колебания и двух боковых составляющих с частотами и . Индекс модуляции играет здесь ту же роль, что и коэффициент амплитудной модуляции М. единственное и принципиальное отличие – повороты фазы нижней составляющей на , что аналитически приводит к превращения АМ-сигнала в ЧМ-сигнал.

Рис. 11-11 Спектр ЧМ-сигнала при m<<1

Рассмотрим спектр ЧМ-сигнала при m>1.В этом же случае спектр ЧМ-сигнала с однотональной модуляции при индексе модуляции m>1 состоит из исходного несущего колебания и бесконечного числа боковых составляющих с частотами и , расположенными попарно и симметрично относительно несущей частоты . Теоретически спектр ЧМ-сигнала (аналогично ФМ-сигнала) бесконечен по полосе частот, однако в реальных случаях он ограничен. Действительно, начиная с номера порядка n>m, амплитуда боковых состовляющих практически равна нулю. Поэтому считается, что практическая ширина спектра радиосигналов с угловой модуляцией:

∆ ωум = 2(m+1)Ω

(11-19)

ЧМ- и ФМ-сигналы, применяемые на практике имеют индекс модуляции m>>1, поэтому:

∆ωум =2mΩ

(11-20)

Таким образом, полоса чистот, занимаемая сигналами с угловой однотональной модуляцией,значительно шире, чем при амплитудной.

Рис. 11-12. Спектр ЧМ-сигнала при m=3

Следует отметить, что радиосигнал с угловой модуляцией имеют ряд преимущесв перед амплитудно-модулированными колебаниями.

3. Поскольку при угловой модуляции амплитуда модулированных колебаний не несёт в себе никакой информации и не требуеться её постоянства, то практически любые вредные нелинейные изменения амплитуды радиосигнала в процессе осуществленния связи не приводят к искажению передоваемого сообщения.

4. Постоянсво амплитуды радиосигнала при угловой модуляции позволяет полностью использовать энергетические возможности генератора несущей частоты, который работает в этом случае при неизмененной колебательной мощности.Однако для реализации этих преимуществ, необходимо отводить конкретному радиосигналу слишком широкую полосу чистот, значительно превышающую ширину спектра модулирующей функции.

Импульсная модуляция

Импульсной модуляцией называют модуляцию, при которой несущий сигнал представляет собой последовательность импульсов, в один из параметров которых вводиться информация о передаваемом сообщении.Для дискретных сигналов процесс модуляции принято называть манипуляцией параметров импульсов.

Импульсную модуляцию в зависимости от выбора изменяемого параметра модулируемой импульсной последовательности принято делить на следующие виды

(рис. 4.13):

• амплитудно-импульсную (АИМ), когда по закону передаваемого сообщения изменяется амплитуда импульсов исходной последовательности;

• широтно-импульсную (ШИМ), при изменении по закону передаваемого сообщения длительности (ширины) импульсов исходной последовательности;

• фазо-имульсную (ФИМ), или время-импульсная (ВИМ), если по закону передоваемого сообщения изменяется временное положение импульсов;

• импульсно-кодовую (ИКМ), применяется наиболее широко в современной радиоэлектронике и системах связи, при которой передоваемый аналоговый первичный сигнал превращается в цифровой код – последовательность импульсов(1-«едениц») и пауз (0- «нулей»), имеющих одинаковую длительность.

Рис. 11-13. Импульсная модуляция.

Рассмотренные выше электрические цепи представляют собой последовательный и параллельный колебательные контуры соответственно. Цепь, в которой индуктивность, емкость и активное сопротивление соединены последовательно, называется последовательным колебательным контуром . Цепь, в которой индуктивность, емкость и активное сопротивление соединены параллельно, называется параллельным колебательным контуром.

В колебательных контурах при определенных условиях могут возникать особые явления, которые называют резонансными. Резонанс в последовательном колебательном контуре называют резонансом напряжений, резонанс в параллельном колебательном контуре – резонансом токов.

В цепях переменного тока резонанс наступает тогда, когда частота источника напряжения равна резонансной частоте контура (собственной частоте колебаний контура, если ). При резонансе ток и напряжение совпадают по фазе, т.е. угол φ = 0.

Резонанс напряжений

Закон Ома для последовательной цепи, состоящей из активного, индуктивного и емкостного сопротивлений выражается формулой:

(11-21) где R – активное сопротивление контура;

X_L и X_C - индуктивное и емкостное сопротивления контура соответственно.

Угол сдвига фаз между током и напряжением

(11-22)

Резонанс наступает тогда, когда цепь ведет себя как чисто активная, т.е. когда ток и напряжение совпадают по фазе, угол φ = 0.

Условием возникновения резонанса в последовательном колебательном контуре является равенство реактивных сопротивлений контура .

Тогда полное сопротивление цепи будет равно его активной составляющей:

(11-23)

Сдвига фаз между током и напряжением не будет, угол φ = 0, cos φ = 1.

Векторная диаграмма цепи при резонансе напряжений представлена рис. 18 (а и б).

При резонансе напряжений действующие значения реактивных составляющих напряжения U_L и U_C равны по величине, мгновенные значения равны и противоположны по знаку, векторы и равны и противоположны по знаку.

Результирующее напряжение при резонансе равно его активной составляющей

U =U_a.

Следовательно, мощность, развиваемая источником, является активной мощностью, она поддерживает в цепи R, L, C незатухающие колебания, несмотря на то, что в цепи есть активное сопротивление. Энергия магнитного поля при резонансе полностью переходит в энергию электрического поля и наоборот:

(11-24)

Частота, при которой в контуре наступает резонанс, называется резонансной.

Значение резонансной частоты можно определить из условия резонанса X_L=X_C.

Т.к.

и

(11-25)

то резонансная частота контура

(11-26)

Резонанс напряжений можно получить изменяя в цепи индуктивность, емкость или частоту напряжения источника питания контура, всего, если хотят настроить контур в резонанс, используют конденсатор переменной емкости. С этого конденсатора снимают выходное напряжение.

Если X_L=X_C>=R, напряжение на индуктивности U_L и емкости U_C могут достигать значительной величины и во много раз превышать общее напряжение U, приложенное к цепи. Ток в цепи I также значительно возрастает:

(11-27)

Для исключения перегрузки источника питания в схему иногда вводят ограничивающее сопротивление R_орг . Поскольку резонанс сопровождается значительными перенапряжениями и сверхтоками, в мощных установках он является аварийным. Свойства колебательного контура характеризуются рядом величин:

а) Характеристическое сопротивление контура (или волновое)

(11-28)

Эта величина имеет размерность сопротивления (величину ρ можно получить из уравнения:

)

(11-29)

б) Добротность контура

(11-30)

Добротность контура служит характеристикой реального контура, когда .

При резонансе добротность контура равна отношению напряжения на емкости или индуктивности к напряжению на активном сопротивлении.

Покажем это:

, но

(11-31)

Т.к. , то и

(11-32)

Отсюда и

(11-33)

Добротность радиотехнических контуров обычно составляет 50-200.

в) Затухание контура

(11-34)

г) Резонансные кривые – это графическое изображение зависимости напряжений на емкости, индуктивности и активном сопротивлении, а также тока от частоты (см.рис.19).

Чаще всего резонансные кривые стоят в зависимости от относительной частоты

(11-35)

где А – значение напряжения или тока;

w, f - текущее значение угловой частоты и частоты соответственно;

- значения угловой частоты и частоты при резонансе.

Построенные таким образом зависимости обладают наибольшей общностью.

Вид резонансных кривых, построенных в функции относительной частоты, целиком определяется добротностью контура Q. На рис.20 показано семейство резонансных кривых для различных значений добротности контура.

Из рис.20 видно, что с увеличением добротности контура резонансная кривая становится острее.

д) Полоса пропускания контура (или ширина резонансной кривой) – это полоса частот вблизи резонанса, на границах которой выходная величина А (напряжение, ток) составляет от резонансного (максимального) значения (см.рис.21).

Резонанс токов

Как указывалось выше, резонанс токов наблюдается в параллельных колебательных контурах, содержащих элементы L, C и R (см.рис.22). Параллельные контуры могут быть и другого вида.

Примечание: R_огр включают для исключения перегрузки источника питания.

Закон Ома для параллельного соединения активного сопротивления, емкости, индуктивности в общем случае выражается формулой:

(11-36)

где g - активная проводимость;

b_L и b_c - реактивные проводимости, индуктивная и емкостная соответственно.

Угол сдвига фаз между током в неразветвленной части цепи I и приложенным напряжением равен

(11-37)

Если b_L = b_c , цепь будет вести себя так, будто она содержит только активное сопротивление. В этом случае в неразветвленной части цепи ток I будет совпадать по фазе с приложенным к контуру напряжением, φ = 0, cosφ = 1.Такое состояние цепи называется резонансом токов.

Резонансная частота контура определяется следующим образом

(11-38)

(11-39)

Т.к. при резонансе ,

(11-40)

Отсюда

(11-41)

Или

(11-42)

При малых значениях активных сопротивлений R₁ и R₂ выражение для f_рез для последовательного колебательного контура

(11-43)

Векторная диаграмма цепи для случая, когда показана на рис.23 (значения величин взяты произвольно).

Общий реактивный ток, равный разности реактивных токов ветвей, при резонансе токов равен 0. Общий ток цепи имеет только активную составляющую, таким образом, его величина в момент резонанса имеет наименьшее значение. В идеальном случае, если R₁ = R₂ = 0, резонанс токов эквивалентен размыканию цепи.

Рассмотрим, какое значение имеют токи в ветвях и индуктивностью и емкостью при резонансе, если активное сопротивление ветвей контура R₁ и R₂ малы, по сравнению с реактивными сопротивлениями. Ток Ī₁ отстает, а ток Ī₂ опережает напряжение и ток Ī на угол, близкий к π⁄₂ (см.рис.24).

В этом случае токи Ī₁ и Ī₂ между собой сдвинуты по фазе на угол, близкий к π, а амплитуды их будут практически равны, т.к. Х_L = Х_c, и во много раз больше амплитуды тока в неразветвленной ветви. Поэтому резонанс в параллельных контурах называют резонансом токов.

Поскольку токи ветвей сдвинуты по фазе на угол ≈ π при малых R₁ и R₂ и равны по величине, можно считать, что при резонансе они образуют как бы один контурный ток I_r, замыкающийся в колебательном контуре. Зависимость тока I_к от частоты ƒ показана на рис.25 (резонансная кривая).

Свойства параллельного колебательного контура характеризуются теми же величинами, что и последовательный колебательный контур.

Добротность Q = ρ ⁄ R для параллельного контура равна отношению тока в индуктивности I_l или емкости I_с к току в неразветвленной части цепи при резонансе

(11-44)

Резонансные кривые для параллельного колебательного контура показаны на рис.26. (R≈0).

Резонанс токов в отличие от резонанса напряжений не является опасным для электрических установок, поскольку в реальных условиях реактивные проводимости редко бывают высокими.

Явления резонанса напряжений и токов широко используются в технике связи, автоматике и телемеханике, для улучшения cosφ в промышленных установках.