6.4 Проблема сравнения. Построение шкал. Иерархии

Шкалы отношений дают нам возможность связать реально существующие варианты решений с неосязаемыми критериями и ценностями. Эти решения в свою очередь могут быть связаны с критериями и целями другого, более высокого уровня. Уровней может быть несколько, наивысшим уровнем является цель принятия решения, но об этом речь пойдет ниже. Если мы по каким-либо критериям можем сравнить варианты решений, то мы сможем включить наши оценки в структуру поставленной задачи. Существует только один способ сопоставить объектам некоторые конкретные значения. Он заключается в том, что сравнения проводятся в терминах относительных величин. Проводя парные сравнения объектов, мы можем подобрать шкалу для их сравнения. Такая шкала позволяет формализовать процесс принятия решения.

Приведем некоторые соображения, обосновывающие выбор шкалы.

Начнем с диапазона. Использование шкалы парных сравнений в пределах от 0 до ∞ может оказаться бесполезным. Дело в том, что наша способность различать находится в весьма ограниченном диа­пазоне и, когда есть значительная несоразмерность между сравни­ваемыми объектами, действиями или обстоятельствами, наши пред­положения тяготеют к тому, чтобы быть произвольными, и обычно оказываются далекими от действительности.

Так как единица является стандартом измерения, то верхняя гра­ница должна быть не слишком далека от нее, хотя и достаточно от­далена для того, чтобы более или менее выразительно представить наш диапазон способности различать. Поэтому и число сравниваемых объектов должно быть достаточно мало. Обычные пределы — это 7 ± 2.

Опишем один из способов того, как практически придать коли­чественное наполнение сравнению объектов, действий или обстоя­тельств и построить соответствующую таблицу сравнений.

Пусть даны элементы А, В, С, D и т. д.

Таблица сравнений, имеющая вид

	A	B	C	D	…
A
B
C
D
…						,

заполняется по следующим правилам:

если А и В одинаково важны, заносим в позицию (А, В) таблицы сравнений число 1;

если А незначительно важнее В − число 3;

если А значительно важнее В − число 5;

если А явно (очевидно) важнее В − число 7;

если А по своей значимости абсолютно превосходит В − число 9.

Числа 2, 4, 6 и 8 используются для облегчения компромиссов между оценками, слегка отличающимися от основных чисел.

Рациональные дроби используются в случае, когда желательно увеличить согласованность всей матрицы при малом числе сужде­ний. Если А важнее В, и это превосходство выражено числом n, то соответственно превосходство В над А выразится числом 1/ n.

Эту шкалу называют фундаментальной шкалой абсолютных значений для оценки силы суждений. Эффективность этой шкалы была проверена при решении практических задач, результаты которых уже были известны.

Пример 6.2 Предположим, что, сравнивая объекты А, В, С и D мы получили таблицу сравнений

	A	B	C	D
A	1	4	5	6
B	1/4	1	3	5
C	1/5	1/3	1	3
D	1/6	1/5	1/3	1	,

которая приводит к обратно-симметричной матрице, рассмотренной выше.

Пользуясь одним из способов приближенного вычисления соб­ственных элементов этой матрицы (для определенности вторым), мы нашли и собственный столбец, и собственное значение, и ИС:

0,64
0,19	, λmах = 4,34	ИС = = = 0,11.
0,11
0,07

Сумма всех элементов полученного собственного столбца (его на­зывают столбцом приоритетов) равна 1. Он позволяет подвести итог проведенному анализу таблицы сравнений: среди сравниваемых элементов А, В, С и D наивысший приоритет имеет А (64%), затем идут В (19%), С (11%) и D (7%) соответственно.

Иерархии

Очень часто при анализе интересующей нас структуры число эле­ментов и их взаимосвязей настолько велико, что превышает способ­ность исследователя воспринимать информацию в полном объеме. В таких случаях система делится на подсистемы. Одним из таких делений является иерархическое.

Иерархии представляют собой определенный вид системы, осно­ванный на предположении, что ее элементы могут группироваться в не связанные множества. При этом элементы каждой группы на­ходятся под влиянием элементов некоторой другой вполне опреде­ленной группы и в свою очередь оказывают влияние на элементы третьей группы. Мы считаем, что элементы в каждой группе иерар­хии, называемой уровнем, независимы.

Первым требованием при анализе функционирования системы является построение иерархии, воспроизводящей функциональные отношения. Для этого сначала перечисляются все элементы, отно­сящиеся к иерархии. Затем они распределяются по группам в соот­ветствии с влиянием между группами. Так возникают уровни иерар­хии. Определяются цели, ради которых изучается задача, и строится иерархия.

После того как уровни иерархии заданы, составляются матрицы парных сравнений между этими элементами относительно каждого элемента следующего, более высокого уровня, который служит критерием при сравнении.

Вопросы и задачи для самопроверки

Дана матрица

1	7	8	6	5
1/7	1	3	5	2
1/8	1/3	1	4	1
1/6	1/5	1/4	1	7 .
1/5	1/2	1	1/7	1

Найти приближенные значения собственного вектора, максимального собственного числа и индекса согласованности пятью приближенными способами.