7.3 Прогнозирование с учетом сезонной вариации. Аддитивная модель

Под сезонной вариацией понимается повторение данных, полученных в результате наблюдений, через небольшой промежуток времени. Под термином «сезон» можно понимать как день, неделю, так и месяц и квартал. Если повторение результатов наблюдений происходит за более длительный промежуток времени, то говорят уже о циклической вариации. Остановимся на рассмотрении сезонной вариации и подходов к прогнозированию с учетом этого явления.

При рассмотрении этого вопроса мы будем под случайными изменениями понимать изменения, которые остаются после учета всех остальных факторов, влияющих на поведение временного ряда.

Известны две различные модели сезонности: аддитивная и мультипликативная. В аддитивной модели сезонность выражается как определенное количество, добавляемое или вычитаемое из трендового значения с целью учесть сезонные факторы. В мультипликативной модели сезонность учитывается как процент от трендового значения.

Обе модели имеют общие черты. На первом этапе исключается сезонная вариация, т. е. проводится так называемая десезонализация, путем обработки наблюдаемых значений методом скользящей средней и попарного осреднения полученных величин. Происходит сглаживание графика величин, отражающих сезонные колебания. На втором этапе методом линейной регрессии строится тренд. По уравнению тренда и данным наблюдений вычисляем величины ошибок. Это могут быть средние абсолютное отклонения, стандартное отклонение или дисперсия. Прогноз строится как значение тренда, подправленное на величину сезонной вариации. Погрешность, указанная в том или ином виде, дает интервал, в котором может изменяться прогнозируемая величина.

Аддитивная модель

В аддитивной модели прогнозируемое значение

А = трендовое значение Т + сезонная вариация S оценка ошибки.

В табл. 7.6 указаны объемы продаж некоторой фирмы в тыс. руб. за последние 11 месяцев. Задача состоит в том, чтобы дать прогноз объема продаж на следующие два квартала.

Таблица 7.6
Квартал	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Объем продаж	6	9	5	7	14	12	10	13	17	20	21

На первом этапе нужно исключить влияние сезонной вариации. Для этого воспользуемся методом скользящей средней. Заполним табл. 7.7. Известно, что 1 год – это 4 квартала. Найдем среднее значение объема продаж за 4 последовательных квартала и результат запишем в третий столбец напротив третьего слагаемого из четырех. Так первая цифра в третьем столбце получится: (6+9+5+7)/4 = 6,75.

Записываем напротив 5. Вторая цифра − (9+5+7+14)/4 = 8,75. Записываем напротив 7, и т. д. Полусумму двух последовательных чисел из третьего столбца запишем в четвертый напротив верхнего из них. Если при заполнении третьего столбца скользящая средняя вычисляется для нечетного числа сезонов, то результат записывается напротив среднего из них и эти данные не надо центрировать, т. е. не надо заполнять четвертый столбец. Значения в пятом столбце это разность соответствующих значений второго и четвертого столбцов (второго и третьего, если скользящая средняя вычислялась для нечетного количества сезонов).

Таблица 7.7
Номер квартала	Объем продаж	Скользящая средняя за 4 квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной вариации
1	6
2	9
3	5	6,75	7,75	−2,75
4	7	8,75	9,13	−2,13
5	14	9,50	10,13	3,88
6	12	10,75	11,50	0,50
7	10	12,25	12,63	−2,63
8	13	13,00	14,00	−1,00
9	17	15,00	16,38	0,63
10	20	17,75
11	21

В табл. 7.8 проведем осреднение сезонной вариации для соответствующих кварталов в году. Заполним табл. 7.8. Запишем оценки сезонной вариации под соответствующим кварталом в году. Для каждого из кварталов в году вычислим среднюю оценку сезонной вариации, т. е. среднюю для каждого столбца.

	Таблица 7.8
	Номер квартала в году
	1	2	3	4
	–	–	–2,75	–2,13
	3,88	0,50	–2,63	–1,00
	0,63	–	–	–	Сумма
Средняя	2,25	0,5	–2,69	–1,57	–1,5
Скорректированная сезонная вариация	2,63	0,88	–2,32	–1,19	0,0

Результирующие цифры запишем в строке «средняя», округляя до двух цифр после запятой. Две цифры нам будут нужны для того, чтобы корректно провести округление в конце вычислений до одного знака после запятой. Сумма чисел в строке «средняя» равно –1,5.

Скорректируем значения в строке «среднее» так, чтобы сумма была равна 0. Так мы делаем влияние сезонной вариации в среднем за год равным нулю.

Корректирующий фактор вычислим следующим образом. Сумма оценок сезонной вариации (–1,5) делится на количество кварталов в году (4). Из значения сезонной вариации для каждого квартала нужно вычесть по (–0,38). Запишем полученные числа в последней строке и округлим до одного знака после запятой.

Теперь исключим сезонную вариацию из фактических данных (Табл. 7.9).

Для этого из чисел второго столбца вычитаем числа третьего столбца и записываем в четвертый. Построим методом наименьших квадратов уравнение аппроксимирующей прямой. Можно воспользоваться приемами, описанными в

Таблица 7.9
Номер квартала	Объем продаж	Сезонная вариация	Объем продаж за исключением сезонной вариации
1	6	2,6	3,4
2	9	0,9	8,1
3	5	–2,3	7,3
4	7	–1,2	8,2
5	14	2,6	11,4
6	12	0,9	11,1
7	10	–2,3	12,3
8	13	–1,2	14,2
9	17	2,6	14,4
10	20	0,9	19,1
11	21	–2,3	23,3

7.2, а можно воспользоваться статистическими функциями «ОТРЕЗОК» и «НАКЛОН» мастера функций f_x пакета программ Excel.

Уравнение, полученное с помощью стандартного пакета программ, получается следующее:

y = 1,6 t + 2,4. (7.11)

Здесь y – трендовое значение объема продаж, t – порядковый номер квартала. Подсчитаем величины ошибок. Для этого занесем в таблицу (см. табл. 7.10) трендовые значения, подсчитанные по формуле тренда (7.13). В пятом столбце таблицы путем вычитания из значений третьего столбца значений четвертого подсчитаем значения ошибок (x_i – ) и обозначим эти значения буквой ∆. В следующие столбцы занесем соответственно значения абсолютных величин и .

Среднее абсолютное отклонение получим делением суммы абсолютных отклонений на их количество: 14,4/11=1,3 Стандартное отклонение, рассчитанное по формуле (7.10), получается равным 1,7, или округляя до одного знака,

Таблица 7.10
Номер квартала	Объем продаж	Объем продаж за исключением сезонной вариации	Трендовое значение	Ошибка ∆
1	6	3,4	4,0	−0,6	0,6	0,4
2	9	8,1	5,6	2,5	2,5	6,2
3	5	7,3	7,2	0,1	0,1	0,0
4	7	8,2	8,8	−0,6	0,6	0,4
5	14	11,4	10,4	1,0	1,0	0,9
6	12	11,1	12,0	−0,9	0,9	0,9
7	10	12,3	13,6	−1,3	1,3	1,9
8	13	14,2	15,2	−1,0	1,0	1,2
9	17	14,4	16,8	−2,4	2,4	6,3
10	20	19,1	18,4	0,7	0,7	0,3
11	21	23,3	20,0	3,3	3,3	9,9
Сумма					14,4	28,6

Теперь мы готовы дать прогноз объема продаж на 12 и 13 кварталы. Мы считаем, что выявленная тенденция сохранится в течение прогнозируемого периода. Прогнозируемое значение будет равно трендовому значению плюс сезонная вариация оценка ошибки. Для 12 квартала это будет:

1,6 12 + 2,4 + (–1,2) 1 = 20,4 1 20 1(тыс. руб.).

Для 13 квартала:

1,6 13 + 2,4 + 2,6 1 = 25,8 1 26 1(тыс. руб.).

В качестве оценки погрешности прогноза здесь взято среднее абсолютное отклонение. Однако лучше привести в качестве погрешности стандартное отклонение, т.к. в приведенном примере стандартное отклонение получилось больше среднего абсолютного отклонения. Оно дает больший доверительный интервал.