5.4. Балансовое уравнение

Метод дисконтирования можно использовать для оценки экономической эффективности вариантов капитальных вложений.

Пусть y_k − известные нам доходы предприятия за k−й год (отрицательное значение у_k трактуется как капитальное вложение) в проекте, рассчитанном на n лет.

Используем равенство (5.55)

y₀ + q⁻¹ y₁ + …+ q⁻ⁿ y_n = 0, q = 1 + i, (5.56)

считая на этот раз, что величины y_0, y_1,..., у_n известны, а величина q (а, значит, и р) подлежит определению.

Соотношение (5.56) при этих условиях называется балансовым уравнением.

Индексом прибыльности, или внутренней нормой процента i по капвложениям, называется ставка дисконта, при которой сумма всех дисконтированных капитальных затрат и дисконтированных дохо­дов равна нулю.

Обозначение: P.I. (сокращение от profitability index).

Тем самым, находя значение q = q^*, удовлетворяющее уравнению (5.61), мы определяем индекс прибыльности.

Обычная рыночная процентная ставка составляет примерно 8%.

Вложение считается выгодным, если

P.I. ≥ 15%.

Итак, пусть

y_0, y_1,..., у_n

− обсуждаемый вариант капитальных затрат и ожидаемых доходов. Для того чтобы найти P.I., составляем балансовое уравнение

y₀ + q⁻¹ y₁ + …+ q⁻ⁿ y_n = 0

Пусть q = q^* — его решение. Тогда

P.I. = 100 (q^* − 1) %

Вопросы и задачи для самопроверки

1. Определить сумму процентов и накопленного долга, если ссуда 250 тыс. руб. взята на полгода при ставке простых процентов, равной 14 % годовых.

Ответ: Сумма процентов составляет 17,5 тыс. руб., сумма накопленного долга – 267,5 тыс. руб.

2. Заемщик получил от банка кредит на 10 месяцев под 15 % простых годовых процентов с условием вернуть 450 тыс. руб. Какую сумму получил заемщик в момент заключения договора и чему равен дисконт?

3. Платежное обязательство уплатить через 90 дней 300 тыс. руб. с процентами, начисленными по ставке простых процентов p = 14 % годовых, было учтено за 25 дней до срока погашения по учетной ставке 10 % . Определить сумму, получаемую при учете.

Ответ. Владелец платежного обязательства получит при учете 308,195 тыс. руб.

4. Определить доходность операции для кредитора, если он предоставил ссуду в размере 350 тыс. руб. на 90 дней и контрактом предусмотрена сумма погашения долга, равная 375 тыс. руб. Доходность выразить в виде простой ставки процентов i и учетной ставки d. Временную базу K принять равной 360 дням.

Ответ: доходность операции, выраженная в виде простой ставки, составляет 28 %, а виде простой учетной ставки – 26,7 %.

5. В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 12 % годовых, плюс переменная маржа: 8 % в первые два года, 9 % в третий год и 10 % в четвертый год. Определить величину множителя наращения за четыре года.

Ответ: множитель наращения за четыре года составляет 2,126.

6. Рассчитать за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 5 % процентам годовых. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формулам. Сравнить результаты.

7. В банк вложены деньги в сумме 7 тыс. руб. на два года с полугодовым начислением сложных процентов по ставке 22 % годовых. Определить наращенную сумму и сравнить ее со случаем, когда проценты начисляются ежеквартально.

Ответ: наращенная сумма при полугодовом начислении процентов составит к концу второго года 10,626 тыс. руб., а при ежеквартальном начислении – 10,743 тыс. руб.

8. Ссуда в размере 30 тыс. руб. предоставлена на 32 месяца. Номинальная ставка равна 40 % сложных процентов годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех случаях:

• на дробную часть начисляются сложные проценты;

• на дробную часть начисляются простые проценты;

• дробная часть не учитывается.

Ответ: наращенная сумма в заданных трех случаях будет 82,917 тыс. руб. в первом, 83,000 тыс. руб. во втором и 77,812 тыс. руб. в третьем случае.

9. Предприниматель может получить ссуду на условиях:

• ежемесячного начисления процентов из расчета 25 % годовых;

• ежеквартального начисления процентов из расчета 26 % годовых.

Какой вариант предпочтителен для предпринимателя?

Ответ: эффективная годовая ставка при ежемесячном начислении процентов равна 28,07 %, а при ежеквартальном начислении – 28,65 %. Первый вариант выгоднее.

10. Определить какой должна быть номинальная ставка при полугодовом начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 15 % годовых.

Чтобы обеспечить эффективную ставку 15 % годовых, номинальная ставка при полугодовом начислении процентов должна быть 14,5 %.

11. На первоначальную сумму долга 15 тыс. руб. непрерывно начисляются проценты с силой роста 5,5 % в течение 15 лет. Определить наращенную сумму.

Ответ: наращенная сумма составит 34,228 тыс. руб.

12. Предполагается, что темп инфляции составит 25 % в год. Какую ставку сложных процентов следует проставить в договоре, чтобы реальная доходность составляла 15 %. Чему равна инфляционная премия?

Ответ: в договоре следует проставить ставку сложных процентов, равную 44 %, инфляционная премия составит 29 %.

13. Предположим, что две стороны, кредитор и заем­щик, договариваются о плане погашения кредита:

кредит в 12 млн руб. берется на 5 лет при годовой ставке 10 % с условием, что через 2 года в счет погашения кредита будет внесено 5 млн руб., через год — 3 млн руб. и еще через год — 4 млн руб.

Какая сумма должна быть внесена через 5 лет для полного погашения кредита?

Какую сумму надо будет выплатить в счет погашения кредита по схеме погашения, предусматривающей выплату всего долга в конце срока? Какую сумму нужно будет выплачивать ежегодно в счет погашения кредита, если выплачивать долг равными суммами? Как изменятся суммы выплат, если предположить наличие годовой инфляции 5 %?

Ответ: для полного погашения кредита по первой схеме необходимо внести сумму 2 881 770 руб., по второй схеме необходимо внести сумму

19 326 120 руб., по третьей схеме необходимо внести сумму 3 165 570 руб. Суммы при наличии годовой инфляции 5 % будут соответственно: 4 057 235, 24 665 571, 3 622 258 руб.