Числовые характеристики выборки расчет основных числовых характеристик

Существуют две группы числовых характеристик выборки: средние и меры рассеяния.

Средние значения позволяют ряд чисел охарактеризовать одним числом.

К средним относятся: среднее арифметическое значение, мода и медиана.

Среднее арифметическое значение показывает какое значение признака наиболее характерно для генеральной совокупности. Это одна из основных характеристик выборки.

Рассчитывается по формуле:

,

где - сумма всех значений ,

- объем выборки

Мода – наиболее часто встречающееся число в вариационном ряду. Например: …3; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 8; 10…

В случае если все значения в выборке встречаются одинаково часто, принято считать, что моды нет ( ), например, все значения встречаются по одному, два и т.д. раза (…3; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 8; 8; 9; 9…)

Е сли два соседних значения имеют одинаковую и наибольшую частоту, то мода – среднее арифметическое этих значений (например: …3; 5; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 10…, ).

Е сли два или более несмежных значений имеют одинаковые наибольшие частоты, то в таком случае существует две или более моды и распределение называется соответственно бимодальным или полимодальным. Например: …3; 5; 5; 6; 6; 6; 7; 8; 8; 8; 10…

В практике физического воспитания и спорта такие распределения встречаются редко.

Медиана – среднее значение ранжированного ряда. Например: 3; 5; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 10

Е сли вариационный ряд содержит четное число значений, то медианой является среднее арифметическое двух центральных значений (3; 5; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 8; 10; 10; ).

Все средние характеристики дают общую характеристику ряда измерений, ничего не говоря об отклонении результатов от среднего арифметического значения, что может привести к значительным ошибкам на практике. Например, два ряда измерений имеют одинаковое среднее арифметическое (3, 4, 4, 5 и 1; 2; 4; 9), но различия между ними очевидно. Поэтому меры рассеяния такая же важная характеристика распределения как и средние значения.

Меры рассеяния показывают насколько значения сгруппированы вокруг среднего арифметического.

К мерам рассеяния – размах вариации, дисперсия, среднее квадратическое (стандартное) отклонение, коэффициент вариации, стандартная ошибка среднего арифметического значения.

Размах вариации показывает, в каком диапазоне изменяются значения.

Этот показатель улавливает только крайние отклонения, но не отражает отклонений всех результатов.

Дисперсия – это средний квадрат отклонений от среднего арифметического значения.

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение показывает на сколько в среднем каждый результат отклоняется от среднего арифметического значения.

,

где - сумма квадратов отклонений от среднего арифметического значения;

- объем выборки.

Если результатов меньше или равно 30 ( ), то в знаменателе двух последних формул ставится не , а .

Коэффициент вариации показывает отклонение результатов от среднего арифметического значения, выраженное в процентах.

,

где - стандартное отклонение результатов измерений;

- среднее арифметическое значение.

Коэффициент вариации позволяет:

а. сравнивать вариацию одного и того же признака у разных групп;

b. выявлять степень различия одного и того же признака у одной и той же группы в разное время;

с. Сопоставлять вариацию разных признаков у одних и тех же групп.

В спортивной практике колеблемость результатов измерений в зависимости от показателя коэффициента вариации считается незначительной, если , средней - и большой - .

Выборки, где значение коэффициента вариации превышает 30%, в исследовании не участвуют, потому, что слишком велика вероятность ошибок.

Чтобы снизить значение коэффициента вариации необходимо:

а. увеличить выборку;

b. воспользоваться специальными способами отбора результатов в выборку.

Стандартная ошибка среднего арифметического значения характеризует колеблемость среднего арифметического значения, то есть указывает на тот диапазон, в котором будет изменяться среднее арифметическое при изменении объема выборки.