Кривая нормального распределения

На основании этих числовых характеристик можно выявить насколько имеющиеся экспериментальные данные репрезентативны, то есть соответствуют таким данным, которые могли бы быть, если бы число результатов измерений было бы очень большим (исследовалась генеральная совокупность). Распределение генеральной совокупности называется теоретическим распределением.

Теоретическое распределение большинства результатов измерений описывается кривой нормального распределения, которая имеет формулу:

Ее график представляет собой кривую колоколообразной формы, симметричную относительно оси ординат.

Для практики решения статистических задач важно учитывать следующие особенности нормального распределения:

В диапазоне находится 68,28% результатов измерений.
В диапазоне находится 95,45% результатов измерений.
В диапазоне находится 99,73% результатов измерений.
В диапазоне находится 95% результатов измерений.
В диапазоне находится 99% результатов измерений.
В диапазоне находится 99,9% результатов измерений.

Оценка асимметрии и эксцесса

Для оценки соответствия эмпирического распределения теоретическому можно сравнить процентную наполняемость каждого диапазона кривой нормального распределения, но обычно пользуются показателями асимметрии и эксцесса.

Асимметрия – это мера скошенности эмпирической кривой относительно теоретической.

Коэффициент асимметрии - является мерой несимметричности распределения. Если этот коэффициент отчетливо отличается от 0, распределение является асимметричным. Плотность нормального распределения симметрична относительно среднего. Если коэффициент асимметрии имеет отрицательное значение, то асимметрия правосторонняя, положительное – левосторонняя.

Эксцесс – это мера пикообразности эмпирической кривой относительно теоретической.

Коэффициент эксцесса - измеряет «пикообразность» распределения. Если эксцесс значимо отличен от 0, то функция плотности либо имеет более закругленный, либо более острый пик, чем пик плотности нормального распределения. Функция плотности нормального распределения имеет эксцесс равный 0. Если коэффициент эксцесса отрицательное значение, то эксцесс плосковершинный, положительное – остовершинный.

Пример практических расчетов

Пример. Рассчитать статистические характеристики по результатам в беге на 30 метров.

4,9; 4,9; 5,0; 5,1; 5,2; 5,3; 5,2; 5,4; 5,2; 5,1с

Ранжируем имеющиеся данные и заносим их в специальную статистическую таблицу.

№
	4,9	-0,23	0,0529	-0,012167	0,002798
	4,9	-0,23	0,0529	-0,012167	0,0028
	5,0	-0,13	0,0169	-0,002197	0,000285
	5,1	-0,03	0,0009	-0,000027	0,000001
	5,1	-0,03	0,0009	-0,000027	0,000001
	5,2	0,07	0,0049	0,000343	0,000024
	5,2	0,07	0,0049	0,000343	0,000024
	5,2	0,07	0,0049	0,000343	0,000024
	5,3	0,17	0,0289	0,004913	0,000835
	5,4	0,27	0,0729	0,019683	0,005314
	51,3	0	0,241	-0,00096	0,12104