5. Учебная программа дисциплины

Введение. Математика как инструмент познания. Место и роль математики в истории, в современном мире. Роль математики в экономике, теории управления и в гуманитарных исследованиях. Математическое моделирование.

I. Математический анализ

Тема 1. Множества и последовательности.

Понятие множества. Подмножества. Множества конечные и бесконечные. Мощность множества. Числовые множества. Операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение, декартово произведение) и их свойства.

Числовые последовательности. Операции над последовательностями. Предел числовой последовательности. Ограниченность, сходимость и монотонность числовой последовательности. Теоремы о пределах последовательностей (о пределе суммы, произведения, частного). Необходимое условие сходимости последовательности. Достаточное условие сходимости последовательности (теорема Вейерштрасса). Теорема о единственности предела сходящейся последовательности. Примеры числовых последовательностей – арифметическая и геометрическая прогрессии.

Тема 2. Функции одной переменной.

Понятие функции. Область определения и область изменения функции. Способы задания функции. Числовые функции. Ограниченность функций. Функции ограниченные сверху, снизу, неограниченные функции. Монотонность функций. Элементарные функции, их свойства и графики. Сложные функции и обратные функции.

Предел функции. Предел функции в точке и на бесконечности. Теорема о единственности предела функции в точке. Правила вычисления пределов.

Непрерывность функции в точке. Понятие непрерывности функции в точке. Свойства функций, непрерывных в точке (сумма, произведение, частное непрерывных функций; непрерывность сложной функции). Точка разрыва функции. Классификация точек разрыва. Основные свойства функций, непрерывных на отрезке: теорема Вейерштрасса о наибольшем и наименьшем значениях функции; теорема о существовании корня; теорема о промежуточном значении функции, теорема об ограниченности функции.

Тема 3.Дифференциальное исчисление функции одной переменной.

Производная функции. Определение производной функции. Геометрический, механический и экономический смысл производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные элементарных функций. Основные правила дифференцирования. Производная второго порядка.

Приложения производной. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей различных видов. Необходимый и достаточный признаки возрастания (убывания) функции. Необходимое и достаточные условия экстремума функции. Выпуклость и вогнутость графика функции. Достаточное условие выпуклости (вогнутости) графика функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия перегиба графика функции. Асимптоты графика функции.

Дифференциал функции. Определение дифференциала функции и его геометрический смысл. Связь дифференциала функции с производной. Теорема о единственности дифференциала. Свойства дифференциала.

Производственные функции одной переменной. Понятие производственной функции. Показатели эффективности использования фактора производства: средняя, приростная и предельная эффективность. Приростная и предельная эластичность результата производства по его фактору. Показатели эффективности и эластичности для линейной и степенной производственной функции.

Функции полезности, спроса, предложения и их показатели эффективности и эластичности.