- •§ 1. Аффинные системы координат
- •Простое отношение трех точек
- •Задание фигур в пространстве
- •§ 2. Прямая на плоскости Различные виды уравнений прямой на плоскости
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •§ 3. Уравнения плоскости в пространстве
- •Угол между плоскостями
- •Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Уравнения прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Общее уравнение прямой в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Расстояние между двумя прямыми в пространстве
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Угол между прямой и плоскостью
- •§ 5. Полярная система координат
- •Обобщенные полярные координаты
- •Решение нулевого варианта контрольной работы
- •Список литературы
- •305000, Г. Курск, ул. Радищева, 33
§ 2. Прямая на плоскости Различные виды уравнений прямой на плоскости
Составим уравнение прямой , проходящей через две различные точки М1(х1; у1) и М2 (х2; у2).
Пусть М(х; у) произвольная точка прямой . Точка М(х; у) лежит на прямой тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарные. Поэтому справедливо равенство
.
Здесь – некоторое число. Из векторного равенства следует равенство одноименных координат: и .
Из последнего равенства получим:
.
Это уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки.
Любую прямую на плоскости можно однозначно задать точкой и не нулевым вектором, параллельным прямой. Этот вектор называется направляющим вектором прямой.
Пусть в Оху прямая ℓ задана точкой М0 (х0; у0) и направляющим вектором (, ). Пусть М(х; у) – произвольная точка прямой.
Нетрудно заметить, что верно следующее утверждение:
Мℓ || . (1)
Так как
|| = t , где t – действительное число,
то получаем уравнения прямой, которые называем параметрическими уравнениями
ℓ: (2)
Так как
|| ,
то получим уравнение прямой, которое называем каноническим уравнением
ℓ: . (3)
Замечание. В уравнении (3) допускается запись нуля в знаменателе, так как в этом случае запись считается формальной. Эта запись подразумевает равенство нулю числителя.
Уравнение (3), при условии 0, можно переписать в виде
=
и, обозначив отношение = , получим уравнение с угловым коэффициентом
, (4)
где – угловой коэффициент, .
Так как 0, то уравнение (4) имеют только прямые непараллельные оси Оу.
Замечание. Еще в школьном курсе, рассматривая уравнение прямой (4) в прямоугольно декартовой системе координат, было отмечено, что угловой коэффициент к = tg , где – ориентированный угол между прямой и осью абсцисс.
Уравнение (3) можно привести к виду = ( ) . Раскрывая скобки, получим уравнение вида
х – у + (у0 - х0) = 0
или
= 0, (5)
где А = , В = – , А2 + В2 0, С = у0 - х0 .
Итак, мы показали, что любая прямая имеет уравнение вида (5). Покажем, что и любое уравнение вида (5), при условии А2 + В2 0 задает некоторую прямую. Действительно, при наших ограничениях уравнение (5) имеет решение. Пусть это будет пара (х0; у0). Тогда получим:
= 0,
= 0.
Из этих равенств получаем:
( ) = 0.
От этого уравнения легко переходим к уравнению вида (3):
,
которое определяет нам прямую, заданную точкой М0 (х0, у0) и направляющим вектором ( ).
Следовательно, мы показали, что уравнение (5) является уравнением прямой, которое называют общим уравнением. При этом вектор ( ) является направляющим вектором прямой (5).
Уравнение прямой, заданной точкой и нормальным вектором
Определение. Ненулевой вектор, перпендикулярный прямой называется нормальным вектором этой прямой.
Прямую на плоскости в О можно однозначно задавать точкой и нормальным вектором. Пусть прямая ℓ задана точкой М0(х0, у0) и нормальным вектором .
Тогда выполняется следующее утверждение:
Мℓ .
Так как
,
то получим искомое уравнение прямой ℓ:
. (6)
Замечание. Если раскрыть скобки в уравнении (6), то получим общее уравнение прямой (5). Следовательно, если прямая задана общим уравнением (5) в О , то из уравнения находим нормальный вектор к прямой: .