- •§ 1. Аффинные системы координат
- •Простое отношение трех точек
- •Задание фигур в пространстве
- •§ 2. Прямая на плоскости Различные виды уравнений прямой на плоскости
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •§ 3. Уравнения плоскости в пространстве
- •Угол между плоскостями
- •Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Уравнения прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Общее уравнение прямой в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Расстояние между двумя прямыми в пространстве
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Угол между прямой и плоскостью
- •§ 5. Полярная система координат
- •Обобщенные полярные координаты
- •Решение нулевого варианта контрольной работы
- •Список литературы
- •305000, Г. Курск, ул. Радищева, 33
§ 5. Полярная система координат
Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться и другими системами координат. В частности широко используется полярная система координат. На плоскости выберем точку и обозначим ее О. Рассмотрим луч с началом в О, а на луче выберем единичный отрезок ОЕ. Точка О называется полюсом, а луч ОЕ называется полярной осью. Положение любой точки М на плоскости, отличной от О определяется парой чисел: расстоянием = |OM| и величиной угла между лучами ОЕ и ОМ, причем угол ориентирован, т. е. положительное направление против часовой стрелки, а отрицательное – по часовой стрелке. Для точки О считаем = 0, а угол не определен.
Для рассматриваемых полярных координат мы имеем 0, а R. Однако, в нашем случае пары чисел (, ) и (, + 2 к), где к – любое целое число, представляют собой координаты одной и той же точки плоскости. Поэтому выделяют главные значения угла 0 < 2.
Рассмотрим одновременно с полярной системой координат прямоугольно декартовую, у которой начало координат совпадает с О, а ось абсцисс содержит полярную ось, причем сохраняет положительное направление оси и масштаб. В этом случае обе эти системы координат однозначно определяют друг друга.
С одной стороны:
а с другой :
, , .
В полярной системе координат уравнение окружности с центром в полюсе О и радиусом R имеет вид: = R.
Уравнение луча ОА, составляющего угол с полярной осью, имеет вид: = .
Обобщенные полярные координаты
В полярной системе координат О всегда выполняется неравенство . Поэтому не всякая пара действительных чисел является полярными координатами точки. Например, пара (–1; ). Для устранения этого недостатка вводят так называемые обобщенные полярные координаты точки. Пусть (; ) – произвольная пара действительных чисел. Если 0, то этой парой числе задается точка с полярными координатами (; ). Если 0, то будем считать, что этой парой чисел (; ) определяется точка А, симметричная точке Ã(||;) относительно полюса О.
Можно говорить не о симметричности относительно полюса О, а прибавлять к углу число .
Например, пара чисел (−3; ) задает точку А с полярными координатами (3; ).
Пример 1. Найдем уравнение прямой, не проходящей через полюс О. Зададим эту прямую числом р, длиной отрезка ОР и углом , где Р – основание перпендикуляра ОР на прямую, а –ориентированный угол между лучом ОР и полярной осью.
Если произвольная точка М(, ) принадлежит данной прямой, то р = cos ( −) и обратно.
Поэтому имеем уравнение прямой: .
Пример 2. Луч вращается вокруг своего начала О с постоянной скоростью w. Найти параметрические уравнения траектории точки М, если она начала движение от точки А ¹О, и движется по лучу со скоростью пропорциональной расстоянию |OM|.
Решение. Примем за полярную систему координат начальное положение луча , где точка О будет полюсом. За параметр t примем время. Тогда положение точки М через промежуток t определяется значениями полярных координат r и j, где r изменяется от значения до + ¥. При этом r¢ = lr , а j = wt. Из дифференциального уравнения
r¢ = lr
находим:
Þ Þln - ln = lt Þ .
Рассмотрим согласованную с полярной системой координат прямоугольную декартовую систему. Известна связь между координатами этих систем.
.
Заменяя полярные координаты, получим параметрические уравнения траектории точки М: