Расстояние от точки до плоскости

Пусть плоскость p задана общим уравнением в О :

p: = 0

Нормальный вектор плоскости имеет координаты: . Выберем произвольно точку М₀( ) и найдем расстояние от точки М₀ до плоскости p. Из точки М₀ опустим перпендикуляр на плоскость p и обозначим основание перпендикуляра М₁( ).

Так как М₁Îp, то = 0

и D = –( + ). (9)

Искомое расстояние равно |М₁М₀|. С другой стороны || и, следовательно, угол j между ними равен или 0 или p. Поэтому:

( , ) = | ₁|× | |×cosj = ±| |× | | = ±| |× .

Очевидно, ( .

Поэтому, учитывая (9), получим:

( , ) = + = = = .

Чтобы избавиться от знаков ±, будем рассматривать выражения по абсолютной величине. Получим:

| |× = | |,

(М₀, ) = |М₁М₀| = . (10)

Замечание. Пусть даны две параллельные плоскости. Тогда можно рассматривать расстояние между этими плоскостями. Найти это расстояние можно как расстояние от любой точки одной плоскости до другой плоскости.

Знак четырехчленна Ах+Ву+Сz+D

Пусть плоскость p задана общим уравнением в О :

p: = 0

Нормальный вектор плоскости имеет координаты: . От произвольной точки М₀( ) плоскости p откладываем представитель вектора , М₁( ). Пусть плоскость p разбивает пространство на два открытых полупространства, которые обозначим a и b, причем полупространство a содержит отрезок . Тогда, как нетрудно заметить, если точка М( ) расположена в полупространстве a, то угол между векторами и будет острый. Если точка М расположена в полупространстве b, то угол между векторами и будет тупой. Рассматривая скалярные произведения этих векторов, получим:

1. Если точка М расположена в полупространстве a, то ( , ) > 0.

2. Если точка М расположена в полупространства b, то ( , ) < 0.

Записывая 1 и 2 в координатной форме получим:

М Î a Û > 0,

М Î b Û < 0,

Учитывая, что точка М₀Î p, (см (9)) получим:

М Î a Û > 0, (11)

М Î b Û < 0. (12)

Таким образом, строгие неравенства (11), (12) являются уравнениями открытых полупространств. Если неравенства нестрогие, т.е.

≥ 0, (13)

£ 0. (14),

то они являются уравнениями полупространств (вместе с граничной плоскостью p).

Пример. Заданы четыре точки в прямоугольной декартовой системе координат: А(-1; 2; 3), В(2; -2; 3), С(-1; 4; 5), D(-1; 6; 0).

(А, В, С, D – вершины тетраэдра).

1. Составить уравнение всех плоскостей, содержащих грани тетраэдра.

2. Найти косинус угла между плоскостями (АВС) и (АВD).

3. Найти длину высоты тетраэдра, проведенную из вершины D.

4. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку D и перпендикулярно прямой (BD).

5. Записать систему неравенств, задающих внутреннюю область тетраэдра ABCD.

Решение.

1. Плоскость (АВС) можно задать точкой А(-1; 2; 3) и векторами , .

Поэтому ее параметрические уравнения будут иметь следующий вид:

Запишем уравнение плоскости в форме определителя

(1)

Разложив определитель по первой строке, получим общее уравнение плоскости (ABC):

.

Аналогично можно получить общие уравнения плоскостей оставшихся граней тетраэдра, а именно:

(ABD): 4x + 3y + 4z − 14 = 0,

(ACD): x + 1 = 0,

(BCD): 34x + 15y + 6z – 56 = 0.

2. Обозначим - острый двугранный угол между плоскостями (АВС) и (ABD). ( , где - нормальные вектора, соответственно, плоскостей (АВС) и (ABD). Так как или , то .

Из общих уравнений данных плоскостей имеем:

и .

Тогда

,

,

,

.

Таким образом, косинус угла между плоскостями (АВС) и (ABD) равен

3. Длину высоты тетраэдра, проведенную из вершины D(-1; 6; 0) можно вычислить как расстояние от точки D до плоскости (АВС): .

,

где |DH| - искомая высота.

Учитывая, что ,

где А, В, С, D – коэффициенты общего уравнения плоскости (АВС), а x₀, y₀, z₀ – координаты точки D, найдем искомую высоту:

.

4. По условию вектор (–3; 8; –3) является нормальным вектором искомой плоскости. Поэтому ее можно задать точкой D(–1; 6; 0) и нормальным вектором , а значит можно воспользоваться известным уравнением:

A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z– z₀)=0,

где А, В, С – координаты нормального вектора плоскости;

x₀, y₀, z₀ – координаты точки, принадлежащей плоскости.

Подставив в данное уравнение, получим:

–3(x + 1) + 8(y – 6) – 3z = 0 3x – 8y + 3z + 51=0.

5. Внутреннюю область тетраэдра можно задать как пересечение открытых полупространств, определяемых плоскостями граней тетраэдра и содержащих рассматриваемый тетраэдр. Для этого нам необходимо иметь уравнения этих плоскостей (эти уравнения были получены ранее):

(ABD): 4x + 3y + 4z − 14 = 0,

(ACD): x + 1 = 0,

(BCD): 34x + 15y + 6z – 56 = 0,

(АВС): 4х+ 3у -3z +7= 0.

Чтобы определить необходимое полупространство, заданное, например, плоскостью (АВС), мы выясним знак четырехчлена 4х+ 3у -3z +7 при подстановке координат точки D(-1; 6; 0) :

4∙ (-1)+3∙6 - 3∙0 + 7=21>0.

Таким образом, уравнением необходимого полупространства будет неравенство: 4х+ 3у -3z +7 > 0.

Аналогично мы находим уравнения остальных открытых полупространств, содержащих данный тетраэдр: 34x + 15y + 6z – 56 < 0, x + 1 > 0, 4x + 3y + 4z − 14 >0.

Следовательно, внутренняя область тетраэдра будет задаваться следующей системой неравенств: