- •§ 1. Аффинные системы координат
- •Простое отношение трех точек
- •Задание фигур в пространстве
- •§ 2. Прямая на плоскости Различные виды уравнений прямой на плоскости
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •§ 3. Уравнения плоскости в пространстве
- •Угол между плоскостями
- •Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Уравнения прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Общее уравнение прямой в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Расстояние между двумя прямыми в пространстве
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Угол между прямой и плоскостью
- •§ 5. Полярная система координат
- •Обобщенные полярные координаты
- •Решение нулевого варианта контрольной работы
- •Список литературы
- •305000, Г. Курск, ул. Радищева, 33
§ 3. Уравнения плоскости в пространстве
Плоскость в пространстве однозначно задается точкой и двумя неколлинеарными векторами. Пусть в О плоскость p задана точкой М0(х0; у0 ; z0) и неколлинеарными векторами и . Если М(х; у; z)– произвольная точка, то очевидно утверждение
М Î p Û ( . (1)
Если записать смешанное произведение в координатной форме, то получим уравнение плоскости
= 0. (2)
Уравнение (1) можно записать в векторном виде, учитывая, что векторы и неколлинеарные:
. (3)
Уравнение (3) можно записать в координатной форме
или (4)
Уравнения (4) называют параметрическими уравнениями плоскости.
Если определитель в уравнении (2) разложить по первой строке, то получим:
= 0.
Обратим внимание, что определители второго порядка одновременно не могут равняться нулю, так как векторы и неколлинеарные.
Раскроем скобки и, введя новые обозначения, получим уравнение вида
= 0, . (5)
Таким образом, всякая плоскость имеет уравнение вида (5). Покажем, что и любое уравнение вида (5) задает некоторую плоскость. Действительно, если, например, В ¹ 0, то левую часть уравнения (5) можно записать в виде определителя
= ,
т.е. уравнение (5) примет известный нам вид (2):
= 0.
Следовательно, уравнение (5) является уравнением плоскости, заданной точкой М0(0; – ; 0) и парой не коллинеарных векторов (– В, А, 0) и (0, – С, В). Итак, уравнение (5) является уравнением плоскости, которое называют общим уравнением.
Замечание. Если предположить, что А ¹ 0, то уравнение (5) определяет плоскость, заданную точкой М0(– ; 0; 0) и парой неколлинеарных векторов (– В, А, 0) и (– С, 0, А). Случай С ¹ 0 рассмотреть самостоятельно.
Уравнение плоскости, заданной точкой и нормальным вектором
Определение 1. Ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости, называют нормальным вектором данной плоскости.
Пусть плоскость задана в О некоторой точкой М0(х0,; у0; z0) и нормальным вектором . Если М(х; у; z) – произвольная точка, то очевидно утверждение
М Î p Û . (6)
Если записать условие перпендикулярности в виде скалярного произведения, причем в координатной форме, то получим искомое уравнение плоскости
= 0, . (7)
Сравнивая уравнения (5) и (7), замечаем, что коэффициенты уравнения (5) в О являются координатами нормального вектора плоскости.
Уравнение плоскости, заданной тремя точками, не лежащими на одной прямой вывести самостоятельно.
Можно воспользоваться известным уравнением (2). Пусть в О плоскость p задана точками М1(х1, у1, z1), М2(х2, у2, z2), М3(х3, у3, z3), не лежащими на одной прямой и М(х, у, z)- произвольная точка плоскости. Тогда уравнение плоскости p имеет вид
= 0. (8)
Угол между плоскостями
Пусть плоскости p и p1 заданы в О общими уравнениями
= 0 и = 0.
Тогда имеем их нормальные векторы, соответственно, и .
Две пересекающиеся плоскости образуют две пары вертикальных двугранных углов. Если найти один из этих углов, то остальные углы находятся непосредственно. Один из двугранных углов j между плоскостями численно равен углу между нормальными векторами к этим плоскостям.
Поэтому
cosj =
или
cosj = .
Как следствие ( = 900) получим условие перпендикулярности плоскостей:
= 0.
Так как свойство параллельности плоскостей равносильно коллинеарности их нормальных векторов, то получим условие параллельности плоскостей:
1. p Ç p1 ¹ Æ Ù p ¹ p1 Û Ú Ú .
2. p ¤¤ p1 Ù p¹ p1 Û = ¹ .
3. p= p1 Û = = .