- •§ 1. Аффинные системы координат
- •Простое отношение трех точек
- •Задание фигур в пространстве
- •§ 2. Прямая на плоскости Различные виды уравнений прямой на плоскости
- •Угол между прямыми на плоскости
- •Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •§ 3. Уравнения плоскости в пространстве
- •Угол между плоскостями
- •Расстояние от точки до плоскости
- •§ 4. Уравнения прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Общее уравнение прямой в пространстве
- •Расстояние от точки до прямой в пространстве
- •Расстояние между двумя прямыми в пространстве
- •Взаимное расположение прямой и плоскости
- •Угол между прямой и плоскостью
- •§ 5. Полярная система координат
- •Обобщенные полярные координаты
- •Решение нулевого варианта контрольной работы
- •Список литературы
- •305000, Г. Курск, ул. Радищева, 33
Угол между прямыми на плоскости
Определение. Углом между прямыми называется наименьший из двух смежных углов, образованных этими прямыми.
Для решения вопроса о нахождении угла между прямыми достаточно заменить прямые их направляющими векторами и находить острый угол между векторами.
Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы общими уравнениями в прямоугольной декартовой системе координат О :
ℓ1: = 0,
ℓ2: = 0.
Направляющие векторы этих прямых имеют координаты 1(В1, – А1) и 2(В2, – А2). Пусть угол между прямыми равен . Тогда
cos =
или
cos = . (7)
При решении задач часто сталкиваемся с нахождением угла между прямыми, когда прямые ℓ1 и ℓ2 задаются уравнениями с угловым коэффициентом (не забываем, что прямые ℓ1 и ℓ2 не параллельны оси Оу):
ℓ1: ,
ℓ2: .
Если переписать эти уравнения в общем виде, то получим
ℓ1: = 0,
ℓ2: = 0.
Соответственно, их направляющие векторы 1(1, k1) и 2(1, k2), и формула (7) принимает вид:
cos = .
Более интересна формула для угла между прямыми ℓ1 и ℓ2 :
= .
Действительно, , (см. рисунок). Тогда один из углов между прямыми ℓ1 и ℓ2 : = | |. Так как
= | | = | |,
то
= .
Замечание. Если ℓ1 ℓ2, то – не существует и = –1.
Взаимное расположение двух прямых на плоскости
Пусть прямые ℓ1 и ℓ2 заданы общими уравнениями в О :
ℓ1: = 0,
ℓ2: = 0.
Вопрос о взаимном расположении двух прямых можно решить алгебраическим путем, а именно, исследуя решение системы линейных уравнений
Как известно, система имеет единственное решение только в единственно случае, когда коэффициенты при неизвестных не пропорциональны
. Следовательно,
1. ℓ1 ℓ2 ℓ1 ℓ2 .
2. ℓ1||ℓ2 ℓ1 ℓ2 ( ).
3. ℓ1 = ℓ2 = ( прямые совпадают).
Расстояние от точки до прямой
Пусть прямая ℓ задана общим уравнением в О :
ℓ: = 0.
Нормальный вектор прямой имеет координаты: . Выберем произвольно точку М0( ) и найдем расстояние от точки М0 до прямой ℓ.
Из точки М0 опустим перпендикуляр на прямую ℓ и обозначим основание перпендикуляра М1( ). Так как М1 ℓ, то = 0 и
С = – ( ). (8)
Искомое расстояние равно |М1М0|. С другой стороны || и, следовательно, угол между ними равен или 0, или .
Поэтому:
( , ) = | | | |cos = | | | | = | | .
Запишем полученное равенство в координатной форме.
Имеем:
( .
Поэтому, учитывая (8) получим:
( , ) = = = .
Учитывая, что скалярное произведение векторов может быть отрицательным, будем рассматривать его по абсолютной величине и находим
| | = | |,
|М1М0| = . (9)
Знак трехчлена Ах + Ву + С
Пусть прямая ℓ задана общим уравнением в О :
ℓ: = 0.
Нормальный вектор прямой имеет координаты: . От произвольной точки прямой ℓ откладываем представитель вектора .
Как известно прямая ℓ разбивает плоскость на две открытые полуплоскости, которые обозначим и , причем полуплоскость содержит отрезок .
Тогда, как нетрудно заметить, если точка М( ) расположена в полуплоскости , то угол между векторами и будет острый. Если точка М расположена в полуплоскости , то угол между векторами и будет тупой. Рассматривая скалярные произведения этих векторов, получим:
Если точка М расположена в полуплоскости , то ( , ) > 0.
Если точка М расположена в полуплоскости , то ( , ) < 0.
Записывая 1 и 2 в координатной форме, получим:
М > 0,
М < 0.
Учитывая, что точка ℓ, (см (8)) получим:
М > 0, (10)
М < 0. (11)
Таким образом, строгие неравенства (10), (11) являются уравнениями открытых полуплоскостей. Если неравенства нестрогие, т.е.
≥ 0, (12)
0. (13),
то они являются уравнениями полуплоскостей (вместе с граничной прямой ℓ).
Пример. В прямоугольной декартовой системе координат на плоскости заданы точки: А(2; −1), В(−1; 3), С(4; −5).
1) Составить уравнения прямой АВ в канонической, параметрической и общей формах. Определить координаты ее нормального вектора.
2) Определить угловой коэффициент прямой (АС) и отрезки, отсекаемые ею на осях координат.
3) Найти косинус угла между прямыми (АВ) и (АС).
4) Найти длину высоты треугольника АВС, проведенной из вершины С и составить уравнение прямой, содержащей этот отрезок.
Решение. 1. Прямую (АВ) можно задать точкой А(2; −1) и вектором , тогда каноническое и параметрическое задания данной прямой будут выглядеть следующим образом:
(1)
и
где R. (2)
Из канонического уравнения (1) равносильными переходами получим ее общее уравнение:
,
. (3)
Из уравнения (3) найдем координаты нормального вектора этой прямой: .
2. Аналогично пункту (1) можно получить общее уравнение прямой (АС): 2x + y − 3 = 0.
Откуда
y = −2x + 3.
Следовательно, угловой коэффициент этой прямой k = − 2.
Уравнение прямой (АС) запишем в виде: 2x + y = 3 и, разделив обе части уравнения на 3, получим
.
Мы получили уравнение прямой в отрезках. Отсюда находим точки пересечения прямой с осями координат: , B(0;3)
3. Для нахождения косинуса угла между прямыми (АВ) и (АС) используем следующую формулу:
,
где –угл между прямыми, k1, k2 – угловые коэффициенты данных прямых. Во второй части задания мы нашли k2 = −2.
Общее уравнение прямой (АВ) получено в первой части задания:
4x + 3y − 5 = 0, откуда и k1= .
Следовательно,
.
Итак, .
4 .
Длину высоты можно рассматривать как расстояние от точки С(4;−5).до прямой (АВ): .
Т
H
Следовательно, .
Итак, |CH|=0,8.
Прямую (CH) можно задать точкой С(4; -5) и нормальным вектором . Поэтому −3 ∙(x − 4) + 4 ∙(y +5)=0,
3x - 4y – 32 = 0 – уравнение прямой (CH).