книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

Совместное рассмотрение (5.101) и (5.103)			приводит к
равенству
QO	t	6)eJ“ (<~и	X
IV (0 = j \	и л» J ? w (t,
X J urw (t, и) е j“ (		и) du,	(5.104)

которое после преобразования переменных $, = £—&, ы,=

— t — и превращается в зависимость

С (0= Е Е С* С*/+‘	J St> (.)dm X
Х = 0 5 = 0	— оо

о

t

X \ ^ W{U t — u,)( —«1)r - i e - ^ rfu ,.

	Из определения параметрических		частотных
	стик (5.85) вытекают	следующие	соотношения:
	t		d**- * Ф (jw. t)
	w(t, t
			d ( - jw ) ^
	J
	X		аг~ьФ(\<л, t)
	\ w(t, t — «,)(—«j)r	5e ia>u'dUi
			d (jto)r—&

(5.105)

характери­

(5.106)

(5.107)

С учетом (5.106), (5.107) можно					переписать (5.105)
следующим образом:					Хф(—i^-.O -x
I** (t) =	SГ.	(т) dw V Сх tx а *
			x=o
	у Г с ^1			5Ф0ш, t)
	5 = 0
UD
	t	1 d	i")	-]"< £ (-№ o } x
—— oo { L"
1
х { [ '	+	5тЬ г]Гф(1(">0			(5-108)

170

Здесь введено символическое обозначение

Учитывая свойство сопряженных комплексных величин гую )г(—ju)) = |г(р )|2 и подставляя (5.108) в (5.100), окон­ чательно находим

М	оо	,Vv
v=C —оо		S ^ [*+ d а*о) 114Ф (j®. 0			S. (w) dm.
		1*=0			(5.109)
Аналогичным образом можно получить соотношения
				®I(j®. о
	i= 0 —оо р		~ 0
М	О"
+Е I q=0				$Xj (ш) dv -f
/= 0 —оо
V оо	Л',
Е:0 —ООJ	т=ЕIIоь ['+*«»> 4 ( j ® , 0			S.	(co)rfco. (5.110)
В формуле (5.110)			приняты следующие обозначения:
			00
	\		j Ь СО e-J”	d'z,

СО

—оо

Выразим теперь Е (t) через параметрическую частотную характеристику. В принятых моделях нестационарности

Ат, [х(*)] Вт, [ х (?)] + ABR,, [* (5), *(5)]

представляет собой полином 5 невысокой степени:

Q

Ат, [х ($)] Вт, [jc(6)] + ABR„ \х (6), * (Щ= £ с^ 8> (5-111)

а=О

где cs — коэффициенты многочлена, определяемые харак­ теристиками используемого поля (в частности, градиен­ тами нестационарности).

17»

Поэтому
<?	t
5 ( 0 = 2 С.	?)Л.	(5.112)
5=0	6

Искусственным образом (5.112) можно переписать в сле­ дующем виде:

Q	00	г t		J“ (t-D d\ dm.		(5.113)
E ( t ) = Y i	cs J S (to)	^	sw(t, t ) e
S
5=0	—00
Здесь 5 (ш) — дельта-функция.
Выше было показано,			что
I) е,ш(<-t> <&:			d		Ф (—-jw, t).	(5.114)
		t + d (—jco)

Подставив (5.114) в (5.113) и воспользовавшись извест­ ными свойствами дельта-функции, получим:

d (—jw) Ф(—К оjI а)=0	(5.115)
.Эта формула связывает E(t) с параметрической	частот­
ной характеристикой системы.
В случае произвольного оператора В подобным же
образом можно было бы получить выражение	для h.

Однако, при рассмотрении дифференциальной схемы КЭС во всех принятых моделях нестационарное™ /г = 0. При рассмотрении нестационарности по среднеквадрати­ ческому отклонению и спектру это происходит вследст­

вие того, что nif(x)= 0 в этих	моделях;	при рассмотре­
нии нестационарности по математическому ожиданию
Ч ^ = g rad m ,= const	и ^ =	0 .

Таким образом определяется точность КЭС при исполь­ зовании параметрических частотных характеристик Ф (jo>, t).

172

5.3. Пример расчета простейшей корреляционно­ экстремальной системы, использующей поле, нестационарное по среднеквадратическому отклонению *)

Рассмотрим простейшую корреляционно-экстре­ мальную систему, линейная часть которой представляет

собой интегрирующее звено			с	передаточной функцией
W(p)=bofp. Структурная
схема такой	системы по­
казана на рис. 5.8.			£	At
Исследуем работу диф-				р
ференциальной		схемы
КЭС, использующей по­				k(t)
ле, обладающее нестаци-
онарностью	по	средне­		Рис. 5.8.
квадратическому		откло­
нению.	(5.52) коэффициент усиления статической
Согласно

характеристики коррелятора является многочленом вто­ рой степени от t:

k { t ) = 2 ( \ + n V i ) * R 'qq{— /),	(5.116)
где n = grad(T/, V — скорость движения,	R qq(x2—xi) —

корреляционная функция исходного стационарного поля q{x), 21— расстояние между считывающими элемента­ ми дифференциальной схемы КЭС, x=Vt.

Смещение нуля статической характеристики корреля­

тора e(t) линейно нарастает во времени:
		e(t) =2nlRqq(l) (1+nVt).					(5.117)
Коэффициенты a(ti, t2), b(ti, t2), c(tit t2) корреляци­
онной функции методической ошибки
R ^ V i,	t2) =	a(tlt t,) +	b{tu	t2)mA{t1)-{-c(tt,
							(5.118)
определяются		уравнениями		(5.34)— (5.36),		в	которые
надо подставить вместо А оператор					тождественного пре­
образования,		вместо В — оператор			взятия	первой раз­
ности с шагом 21.
*) В	§ 5.3	приведены	результаты,		полученные		совместно
с В. И. Шихером.

173

П о с л е п р о в е д е н и я н е о б х о д и м ы х п р е о б р а з о в а н и й	п о ­
л у ч и м :

a ( t it t i ) = R j } \ { x 1, x s) \ R f f ( x , - f - / ,								X j - f - / ) —
— R f f ( x i			If x 2 - \ - l ) — R u { x l - \ - l , x 2 — / ) - f -
Л - R i f i X		i	— l ,	x 2 — /) ] +		[ / ? , f ( X	l t	X 2 - f / ) —
— Rff(x» x2-l)}\R/f(x2, Xl + l ) - R n (x2, x,-/)];
										(5.119)
b ( t u t i ) = - R „ ( x l, x * ) \ ( ^ ~								dRff	\	___
								du2 Ju1~Xi~\-l
(	dRjf	|	dRff	\	/	dRff	|	dRif	\	Wj—ДГ3H-/
v	d a ,		du2	Ju^xi-i	^ dut			du2	j	Ul= Xl+i~^~
I f dRJ:u		,	dR„	Utf=x2+l	'				'	U.j=X*—l
								x » + i) —
»[ dut		!	du2	Ui=x%—1
							dRff
R f d x rf - V - / ) ] ( 4 ^									Ui-x, )
					U\—X2		дао
					H2~Xj*f-/				U i= x t— l

+ [ R f f ( x 2, x - f / ) — R i f ( x	, x , — 1)\ fldRff
dRff	I
du2	« , = * ,
	иг=х2—l

Ul=*l

R%—X2^rl

(5.120)

d' Rff	1 о d'Rff
c ( t u ^ 2) — 2 R f i (x n '^2)	dalda2
da'f

	d ‘R f f \					/ d ' R f f		d2Rff
	da2		j Ul= Xl +l			du.		duxda2
	uu2
4 d' Rff			7U,=Xi +l				d2Rff	I diRff
	\			/	d>Rff
.2	I		+	\	du \		duxda2	du2
du\	J u l=Xl +l
	Uf^Xr-l				2
	f d' Rff			,		d*Ru	d*Rff	\
	V	ou.				d u xdu2	da,2	/«,=*,—l
								Ui—Xz+1

U i - X r — l

« а= * а— Г

+

+ " 2~ ' № f / (X "		+	0 — R f f { X„ x 2 — / ) ] X
d sRff			. d 2R f f	I	u
dui	Ut— xa		dai
				L = *	,
	U2—Xi-j-l			«а=дг,—/'
+ 2 f ^ l ± \	ju,=x,		HR,,		X
V du2			du2	иг=?х,—1
	U 2—	X 2'\ml

174

Ui—X2			dRjj_		+ [^7/ (Л'2> *1 +		0 —
			даг	U- Xi )
wa= J ct+l				Ui—Xx—r
- % (*2) л:, -		/)]	du\		VRff		(5.121)
					du-2 Wi-Xx
				U X= X x
				Wa=JCa+/	и2—х2—1
Корреляционная функция Rff(xu x2) нестационарного
поля связана	с корреляционной				функцией Rqq(x2—Xi)
исходного стационарного поля зависимостью:
Rtf{x1,		х2) =	(1 +nxi) (1 + nx2)Rqq(x2—xi).				(5.122)
Будем считать,		что
R 44(x 2 — лу) =				ехр {—а2(х, — л:,)2}.			(5.123)
Совместное	рассмотрение уравнений					(5.119) — (5.123)
позволяет вычислить коэффициенты a(ti, t2l)							b(th t2),
c(ti, t2).						точность КЭС
Предположим, что grad 07 невелик и
можно оценивать по формулам					(5.81),	(5.82).	Исполь­

зуем подход, основанный на применении весовых функ­ ций. Известно (см. [92]стр. 825), что линейная неста­ ционарная система первого порядка, описываемая диф­ ференциальным уравнением

	a, W - § r + ao(Ol/ =				&i					(5.124)
имеет весовую функцию вида
	/	/	К ( I )	6 .	( £ )	а 0 й )		d%	Ьг (I)	X
	!	\	я , ( ? )	я , (Б ) ‘ я , ( | )					. в. (I
	(t, 5)= ■				. ГДо
W			X ехр			(1	йт,	, при
					) ах
			О,		£			при t < ?.
										(5.125)
Движение в рассматриваемой системе подчиняется
уравнениям
			d^ =	b0iB +		-n -v),				(5.126)
			dt							(5.127)
			0 =		k(t)b..

175

Подставляя (5.127) в ^5.126), находим

4 £ - + М (0 Д = М в -Н ),

(5.128)

т. е. в рассматриваемом случае

а , = 1, a0 = b0k(t), 6, = О, b0 = b0

и

б.ехр^ - " ' » 1 0 [(1+ДУУ

И*. 6) =

. О,	при f < L
	(5.129)

На ЦВМ проводились расчеты точности КЭС в пред­ положении, что КЭС работает по полю рельефа, обла­ дающему нестадионарностью по среднеквадратическому отклонению. Считалось, что исходное стационарное поле

имеет_дисперсию		а92 = 300 м2		и	радиус	корреляции	р =
— У л/2а=2	км.	Расстояние		21	между	считывающими
элементами	блока	памяти выбиралось равным У 2/а =
= 3,2 км, задавалось			К=200 м/с,		7?0 = 2,7	-10-2 1/с.	зна­
Из соотношений			(5.119) — (5.123) определялись
чения a(ti, t2), b{tu			t2), c(U,	h).	Далее	численным	ин­

тегрированием по формулам (5.77), (5.78), (5.83) вычи­ слялись функции E(t), H(t) и G(t, 6), а затем из ра­ венств (5.81), (5.82) находились mA(t), aA(t).

Таким образом, для различных значений n]= grads/ рассчитывались зависимости среднеквадратического зна­

чения ошибки Дп(7) = l/^/Пд (0 + з2д(^) от времени. Функ­

ции ДпЦ) монотонно на­ растают и при чрезмер­ ных длительностях рабо­ ты по нестационарному полю КЭС может поте­ рять работоспособность. Потеря работоспособно­ сти происходит по одной из следующих двух при­ чин: либо степень неста­ ционарное™ режима уп­ равления превысит допу­ стимую величину, либо

176

отклонения в системе настолько возрастут, что КЭС выйдет на нелинейный участок, где коэффициент усиле­ ния статической характеристики резко уменьшается, и КЭС станет по этой причине неэффективной.

Зависимость допустимой длительности 5 работы КЭС по нестационарному полю от grad а, приведена на рис. 5.9. Кривая 1 определяет допустимую длительность 5 исходя из условия, что ошибки КЭС станут равными

радиусу	корреляции исходного нестационарного поля
(Дп= р);	кривые 2 и 3 соответственно определяют допу­

стимую длительность из условия существования в КЭС форсированного режима управления (а = 0,05) и из условия, что КЭС подходит к границе потери работо­ способности (а = 0,1).

Глава 6

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ ЦИФРОВЫХ КОРРЕЛЯЦИОННО­ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СИСТЕМ ПЕРВОГО КЛАССА

6.1. Использование теории статистических решений для определения оптимальных алгоритмов работы цифровых КЭС первого класса

В случае применения ЦВМ для решения задач сов­ мещения реализаций появляются широкие возможности использования новых, более совершенных алгоритмов обработки информации, чем дифференциальная схема КЭС, таких алгоритмов, которые позволили бы обойти трудности, присущие дифференциальной схеме, и тем самым решить задачу ликвидации больших начальных отклонений, обеспечить работу системы по нестационар­ ным полям и пр. [67]. Полное теоретическое рассмотре­ ние цифровой КЭС, работающей по алгоритмам теории статистических решений, означает исследование динами­ ки замкнутого импульсного контура управления, кото­ рый содержит ЦВМ, выполняющую сложные логические

операции.

Для реализации предлагаемого способа, так же как и в дифференциальной схеме КЭС, необходимо наличие какой-нибудь г р у б о й и з м е р и т е л ь н о й с и с т е м ы , выдающей приближенные координаты хп, уп и состав­ ляющие скоростей Vx, Vv движущегося объекта. В блоке

12—527

177

памяти должна быть записана карта используемого поля f(z). Эта карта хранится либо в блоке памяти ЦВМ (в этом случае целесообразно составлять бинарную кар­ ту для уменьшения объема запоминающего устройства), либо записывается на ленте и развертывается затем лентопротяжным механизмом. При записи поля в памяти ЦВМ вводится дискретизация по координате Л/.

Поясним идею предлагаемого способа. Рассмотрим сначала идеальные условия, когда датчик информации движется равномерно и прямолинейно вдоль оси х и

&L

/

/_______

1

1

л

ft А	ft У/,	ft АА
ill	' "—V”
	II	si«"
		ftl
i ti 1!	....
	_|_

ч___

—1	Л >
ft т	\
	л
	—1

\(2т+1)61

J

■ 1

1

1

к

Рис. 6.1.

измеряет поле без ошибок, скорость движения также определяется без ошибок. Пусть координаты ха, Уп, выдаваемые грубой измерительной системой, отличаются

от координат датчика Хд, ул	на отклонения		гх= хл—хт
гу= Уп—Уп и пусть выбрана	длина L = NA.l		реализации
сигнала датчика, поступающего в обработку.
Алгоритм обработки сводится к следующему. Вокруг
координат Хп, уа строится квадрат		со стороной (2 т +
+ 1)Д/, как это показано на	рис. 6.1.	Величина тЛ / вы­

бирается такой, чтобы заведомо перекрывать возможные ошибки грубой навигационной системы гх, гу. Из блока памяти извлекается реализация длиной L = NAl, закан­ чивающаяся в первой (верхней, левой) клетке просма­ триваемого квадрата, и сравнивается по определенному

178

критерию с реализацией, поступающей от датчика. За­ тем рассматривается следующая реализация из блока памяти, заканчивающаяся во второй клетке первой стро­ ки, третьей клетке и т. д., пока не будет просмотрена вся первая строка. Далее перебору подвергается вторая строка и т. п., пока не будут исследованы все реализа­ ции, заканчивающиеся в любой из точек рассматривае­ мого квадрата.

В результате перебора выбирается та реализация, которая более всего (по определенному критерию) по­

хожа	на реализацию датчика.	Координаты клетки х*,
у *, в	которой эта реализация	заканчивается, принима­

ются за координаты движущегося объекта. Образуются разности х*—хи, у*—уп', эти разности умножаются на коэффициенты усиления цепей обратной связи и таким образом формируются сигналы, поступающие в грубую измерительную систему для ее коррекции.

Мы рассмотрели последовательность выработки сиг­ налов коррекции в один из рабочих тактов ЦВМ; точно так же вырабатываются сигналы коррекции и в после­

дующие моменты времени.			Как повлияет		на	процесс
коррекции	отличие	условий	от	идеальных?	скоростью
_ Если датчик поля двигается				с переменной
V (t) по	некоторой	криволинейной траектории				zR(t),

а измеритель скорости определяет составляющие Vx, Vy без ошибок, то это обстоятельство приведет лишь к пре­ образованию физического поля f(z), связанного с про­ странственной координатой 2, в некоторую отличающую­ ся от него временную функцию /ЦдЦ)], однако разверт­ ки во времени поля датчика и поля блока памяти будут одинаковыми и никаких дополнительных трудностей в получении сигналов коррекции не возникает.

Иначе сказываются ошибки измерения скорости бЩ-, 6ЕУ грубой измерительной системой. Они приводят к то­ му, что из блока памяти и от датчика сигнала поступа­ ют непохожие друг на друга реализации. Например, реализация из блока памяти может оказаться растяну­ той по отношению к реализации, поступающей от дат­

чика. Ошибки SB*, bVv	непосредственно сказываются
на точности определения	координат х *, у*\ при малой

величине этих ошибок коррекция осуществляется пра­ вильно. Подобным же образом действует и обратная связь в замкнутых цифровых КЭС, что выливается в уже исследовавшееся в гл. 2 условие квазистационарности

12* 179