книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

для любых п является монотонной по всем аргументам g , ср, гх, Гу и имеет ограниченную вариацию, произведе­ ние g4p является непрерывной функцией g и ф, то тем са­ мым соблюдаются условия применимости 1-й теоремы Хеллп (см. [59], стр. 359), допускающей предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса.

Поэтому

00	00
f...	f	g9P° (g, _?L	rx, r y) X
—00	—00	zn' zn~r’	*
X d g d f d r xdry = m°u(t).			(2.52)

В силу свойств предельного распределения /?°°(g, 9 ,

Гх,	Гу)					V	V
t,	t
				*я — г)р(гх,		Гу) drxdry. (2.53)
				^0»		^0
	Рассмотрим	интеграл
	00	00
	J	J	(-д>	2д — i) p n {rx,	ry)drxdry.		(2.54)
	— 0 0 — 0 0			’
	Будем предполагать,			что К (гд,	гд — У) — непрерыв­

ная функция Т, тогда в соответствии с 1-й теоремой Хелли возможен предельный переход под знаком интег­ рала в выражении (2.54) и

00	00
J		1л ~ г ) р п {гх,	гу) drxdry —*
— 0 0 — 0 0		’	*

0000

—j [ к ет(?д> *д — г)р°°(гх, Гу) drxdry = —00 —00

СО 00

=	[	Zz — f)p(rxt	rv)drxdry — m°u(t). (2.55)
	—со - 0 0	*»’	to

Из соотношений (2.52), (2.55) видно, что для любого фик­ сированного t

0 0	00
(0 *■ J	^К гф(‘2д, 2д l ) p n (rx, fy)drxdry,

— 0 0 — 0 0

70

т. е. для любого фиксированного t и любого е > 0 су­ ществует о/ такое, что для любого а„<^а*

		СО	00	f			.	!
т1П^ ) — J					(?Д’	Ад — 0 Рп ( г»	ry)drxdrу <		е.
	—	СО —	ОС			’		I
Пусть	t€£\te,	tm\, где			tm— произвольное		число; для лю­
бого t	величина		а* существует и является					конечной.
Найдем нижнюю грань a =						infa£ . Так как функция,			за-
					t S	Щ. tj

данная на отрезке, всегда достигает на нем своих верх­

ней и нижней граней, то ае существует и также являет­ ся конечной величиной.

Итак, мы доказали, что для любого е > 0 существует степень нестационарное™ режима управления такая, что

при а „ < а Е для	любого t££\t0, tm]
т ( 0 — $	| К „ И „	гд — 1')рп (Лх,	гу) dr Kdrу < е.
		t,	t ,

Аналогичным способом в предположении непрерывности момента

м I S (*д.) 8 (?д2) 9 («л, — 0 9 (=д* — ' )}

по г можно показать,		что
		00	00
K l		f f М (я (2Д1) 8 (Тд2) ? (2Д] —
	-	Ь	- «
— >) ? (2д, — Г)} X				(Г,:,	Гу) dr	dr y
				t, t
равномерно no	t„ A G [A- Ап].				сформулировать сле­
Полученные	результаты можно
дующим образом.
Теорема 2.1. Если К£1р(Тд, Тд—г) и момент М (g(zfll)X
X 8 (2Д.) 9 (2д, — /) f (2Д2 — / )}				являются		непрерывными
функциями г, то для		произвольных			чисел е ,;> 0 , е2 > 0

можно указать такую степень нестационарности режима управления а£, что для любых ап< а£ и A A. A G [А.

(где — произвольное число) с точностью соответст-

71

венно не хуже ем е2 выполняются равенства ОО 00

—00 —оо

00 00

—о —00

— »')9 (гя, — /■)} /?" (гх, Гу) drxdry.

(2.57)

На основании теоремы 2.1 при анализе квазистацнопарных режимов управления в непрерывных КЭС мож­ но пользоваться соотношениями (2.56), (2.57), которые выполняются с любой наперед заданной точностью, если только степень нестационарное™ режима управления ап выбрана достаточно малой.

Уравнения (2.56), (2.57) выведены исходя из усло­ вия близости закона распределения случайного процес­

са I (t) в квазистационарном режиме управления к пре­ дельному, определяемому равенством (2.48). Поэтому при рассмотрении других закономерностей квазистационарного режима управления приближенно можно счи­ тать, что закон распределения задается уравнением (2.48). Все утверждения, полученные на этой основе, будут выполняться с той же точностью, с которой спра­ ведливы основные соотношения (2.56), (2.57). Это за­ мечание многократно используется в дальнейшем при

а

конкретизации выражения дляКц"(^, t„).

В случае, когда траектория движения za(t) стацио­

нарна	по отношению к нолям	g(zH) и	cp(zn),	а сами
поля	£ (гд), cp(zn) таковы, что для любых гдi,			гД2, zni,
Zn2e Z	совместное распределение	величин	£ (гД1),	g{zдг),

(p(zni), q>(zia) нормально и, следовательно, можно вос­ пользоваться уравнением (2.31), (2.57) превращается в следующее равенство:

00СО

—?д2— 1:)Рп (гх, ry)drxdry +

00	00
j	j {К„(*д,. Г Д1	0 К г(?(2д.>, 2д2 I) -f-

—00—00

72

		2дг Л)Кг(р(2 д2, 2д,			РП(Гх> Гу)Ж
						Л»	t\
		X d r xdry — 2rrfm2v *K					(2.58)
Используя	известные		соотношения
К		M =	**) + «О*
	Kgg(z,,		zJ-= Rgg(z,,	- г) +	/и9>
	Kw (?„		>2) = ^ w (2„	z„) +	m j,
где	K„(Z„ **) = # „(£ ..
Я**	**)= М А" (М — т 1" (*•)] [«(*>) — «*“" (Щ г
^gg (z„		?*) =	М {[g (г,) — mg] [g (zs) -			mg\},
Rn (z, -		z,) =	M {[<p (?,) — m j [? (*,) -			т ф]}
— автокорреляционные функции процесса						u(t)	и полей

g (zA), ? (zn); /?ет= М {[g (z,) — /ng] [?(£,) - т ф]}—взаимно­ корреляционная функция полей g(zs) и <pvzu), получим

выражение корреляционной функции									/?	"(f,, t2):
							00		00
			* * )= # „ [z Alt				'2Дг]	])"	j
							—00 —00
		— г,		ёД2 — Г ) р (гх, Гу) drxdrу +
							Л
	00	00
Н”	j	J		2 Д1		7 ) ^ £ ф ( г Д2» '2 Д2				i ) p n ( f x ’ г у ) Х
	—00 —00				00	00
		X drxdry +							2д2—О X
					J	j
					—00 —00
		ХЯет(*м.			2Д1—Ори(^, rv)drxdry —
							tif	ti
*)	П ри	вы воде ф орм улы				(2.58)	так ж е ,		как	и	при вы воде все»,
остальны х		уравнений		дан н ого		пар аграф а ,		из	условий стационарности
траектории		£д (/)	по	отнош ению к			полям	£ ( г д ),		qp(zn) используется
лиш ь	постоянство		м атем атических ож и дан и й						те к		т
											7а

		J	J^'^(^-2Дд ’*»		2пД. — О Рп X ,			Гу) d r xd r y X
	—00 —00I						л,	^
		00	00
	X	j	f	(X,. X, — ') р п О'х,				Гу) d r xd r y +
	—00 —со						3>	а
	00		00
X	т[	f	f R	(гД1 — Г, 2Д2 -		/■) рп(г,,			Гу) fir:X	y X
	- » - »				00	00		*"	tl
+ ^	X g (2 д,> 2 Д1) + т вт ф J					j { Я е т ( г д„ X — г ) +
					—00 —00
	X	Rgv (2дг> СД1			■')} Х Х>		ry) drxdrу -|-
			g<?			^1»	t\
			00	00
X	mgmy |		J	j Rgifi^nzi ?-д2		7)p n(fxi			ry) drxdry
		L—00 —oo						1’	1
		OO	0 0						4
	—	f	f	(2д2> X — 0 PnO'xi Гу) drxdry l .						(2.59)
	- 0 0		- S o				*"		J

Последнее слагаемое в выражении (2.59) равно нулю, так как в квазистационарном режиме управления в со­ ответствии с формулой (2.48)

			X X ,	ry)=	рп (гх)		Гу).
			i1»			ti,	(ч
Окончательные уравнения для m'n{t) и R*n(il,								t2) имеют
следующий вид:
		0 0	0 0
ти	0)=-	j	JRg4 (X	2д — Г) рп(г„ Гу) drx dry f rngm4,
								(2.60)
R uuOl> 0) — Rgg ( 2 Д1,				2 Дз)	j" f^KpXl Г,			2д2
					~oo —oo
				oc		oo
	О P " X , r y) d t xd t у X				j"		2 Д1	' ) X
				—00 —00
	Х Х ( г Д!, 12 Д2 — О Х Х ,						r y ) d r xd r y -\r
00	00					11,	<i
+ j	J ^	X	, X ~ 7';) # е т ( Х »			,2д — 0 p n ( r x, r v ) d r xd r y
—00 —00

74

		ОС		00
		f		\ ^(Х.. ?д>—y)Pn(rx, ry)drxdry X
		— ОС —		00				^
	X	00	00		( 2д,,	Z„—f)p»(r„		ry) dr^r,, -f
		j	| ^
	—oc —oo						*2’	*2
		oo		oo
+	tnl	J		j	(?д. — '■> 2„a -		/') Pn ( r x,		ry) drxdry -b
		—00	—	00				11	^
						OO	00
+	m~v Rgg(Zto'				*л,)+ /nem9 j1 J {^(2д„ 2Д2—n-b
						— 00 —	00
		+		/?e<f('?»		X. - 0 }XX*,		ry)drxdry.		(2.61)

Рассмотрим общую структурную схему двумерной непрерывной КЭС, к которой могут быть сведены прак­ тически все варианты непрерывных КЭС. Эта схема

Рис. 2.6.

показана на рис. 2 .6, где приняты следующие обозначе­ ния: f(zn) — исходное случайное поле; Ах, Вх, Ау, Ву — линейные операторы каналов х и у; б/дж(2д), бfпж(zп)^ б/Д!/(2д), dfny(zn) — ошибки измерения датчика поля и ошибки воспроизведения поля в блоке памяти в кана­ лах х и у. Рассмотренная схема является частным слу­ чаем более общей схемы двумерной КЭС, приведенной на рис. 2.4.

Операторы Ах, Вх и Ау, Ву в зависимости от кон­

кретного вида КЭС	имеют	различный физический
смысл. Например, операторы		Ах, Ау могуг учитывать
сглаживание сигнала	датчика	поля, обусловленное рас-

75

крывом диаграммы направленности антенны приемного устройства; под операторами Ах, Ау можно также понимать специальные преобразования сигнала датчика поля, такие как дифференцирование этого сигнала, вре­ менное сглаживание и т. п. Операторы Вх, Ву могут отображать дифференциальный съем сигнала в блоке памяти, как это имеет место в дифференциальной схеме непрерывной КЭС; специальные преобразования (выход­ ного сигнала блока памяти, вводимые для ликвидации «больших» отклонений и др.

Функциональные преобразования сигнала, осущест­ вляемые в каждом из каналов коррелятором совместно

с	датчиком поля и	системой	воспроизведения поля
в	блоке памяти, могут	быть представлены			структурной
		схемой, изображенной на рис. 2.7,
		где для	упрощения		индексы ка­
		налов не указаны.
		Будем предполагать, что слу­
		чайные функции /, 6/д, bfn взаим­
		но некоррелированы. Математи­
		ческие ожидания величин /, bfR,
		bfn обозначим rtif,		тя, та и будем
		считать	их постоянными.			Выход­
		ные сигналы операторов А,				В обо­
		значим $(z) = A f(z),			ty (z) — B f ( z )
		соответственно;		сигналы		полей
		g(z«), (p'(zn) , поступающие на бло­

ки перемножения, получаются из одного и того же ис­ ходного поля f(z) путем линейных преобразований этого поля операторами А и В в каналах датчика и блока

памяти и	последующего			«зашумления»			этих сигналов
.аддитивными помехами 6/д(7д) и bfn(zn), т. е.
g (2Д) = &(2Д) - f 5fд'(гд) = Af (2Д) +							5/я (гд),		(2.62)
ср (ёи) -		ф (?„) + 8/ц (zu) = B f (cu) +					5/„ (zu).		(2.63)
Ввиду предполагаемой				взаимной		некоррелированности
случайных функций /,			8/д, 8/и
R g g . ( * A K		'2 д2) ~	R ^	( 2 д „	12да) -ф- ^ д д (~ д ц			2д,)>	( 2 . 6 4 )
^ Ф ф (2 1И>		2 ш ) ~		(с ш>	2 иа) +	R u n ( 2 m>		2 ii2)>	( 2 . 6 5 )
		^ф(2д, 2и) = Лвф(?д,				г и).			(2.66)
Здесь Rm,	Rrm— корреляционные					функции помех б/д
и bfn.

76

Для линейных операторов операция математического ожидания и действие самого оператора коммутативны, т. е. для любой случайной функции y(z) и любого линейного оператора С М {Сy{z)) — C М {у (z)}.

На основании этого свойства

	— М {& (z)} =	Amf,
(*.. *,) = М (z.)ft(za)} -			A*R„ (z„		г2);	(2.67)
^ ) =	М{ф(2,Ж ^ )} =		5 2% (2 ,,		z2);	(2.68)
= М	(*,) ф (г2)} -	.4 5 %		(z„ г2).		(2.69)
Требует специального пояснения				смысл	операторов

А и В при воздействии их на некоторую произвольную

функцию	у {z1, Z2) двух	аргументов,	например,	на
Rff(zu Z2).	Запись Ay(zu	гг) означает,	что оператор	А

действует на у (г1, 22), рассматриваемую как функция первого аргумента zi, в то время, как запись Ву(г 1, 22) означает, что оператор В действует на y(h, гг), рассмат­ риваемую как функция стоящего вторым аргумента Z2. Произведение операторов АВ (и ВА) имеет следующий смысл. Запись АВу{ги гг) надо трактовать так: стоящий вторым оператор В действует на 2/(21, 22), рассматри­ ваемую как функция второго аргумента Z2, а затем оператор А, стоящий в произведении первым, действует на By{zu гг), рассматриваемую как функция первого

аргумента.		операторов	ясен
Из	определения произведения
смысл	квадрата операторов А2 и В2.	А2у(г 1, гг) обозна­
чает,	что сначала оператор А действует на у (г 1,		гг),

рассматриваемую как функция второго аргумента, а по­ том оператор А действует повторно на функцию Ay(h, гг), рассматриваемую как функция первого аргу­ мента. Такой же смысл имеет запись B 2y(zi, гг)-

С учетом	соотношений (2.64) — (2.69)				получим
	00	СО
m „ (f)=	J	|Д 5 % ( 2 д, 2 д— Г) р(гх,			гу) drxdry +
— ОО — СО
		- f (Д/п/ +	/пд) ( 5 т / + т и),		(2.70)
		00	00
Ruu{ti,		t2) = j"	^ ABRjf(2Д1,	2Д1	O X
		—00 —00
XABRffi 2 Д2, 2 д2 — i)p(r-,				ry)drxdry —

77

ос	ос
— J	J ABRff [2Я1, 2Д1 — г) р {rx,					ry) drxdry X
— 0 0	— 0 0				ь	1
00	00				Гу) drxdrv +
X J	J ABRn (zM,			гЛа — >) Р (гх,
—00 —00				3’	8
	00	00
	X J	J Л5/?/; ('2Д1, 2д2			г)Х
	— 00 —ос
X ASRff(zn , zM — Y)p(rx, ry)drX/'y+
				б
			ос	00
+ ^ 2^//(2 д,.		2Д2)	j	| 5 2^ ( г Д1		Г, 2 Д2 X IX
Х р (Гх,	Гу)</глс?Гу +		A " R !} (2Д1, X.)		f	f tfUii(X.
/1,	/1				J

■r)p(rx,

Гу) d r xd r y X

<„

Л

Х ^дд(2ди 2Д2) J"

Г, 2Д,

г) X

—oo —oo

X P V x i

Гу) d r xd r y - f - ^?дд (*2Д1,

2 ДЗ) X

00

00

л.

X

f

f /?!,„ (2д> — Г,

2Д2— О Р (Гх,

Гу) d ry d r У +

J

J

л,

—00—00

00

00

+

(Amf + /пд)2 f

СB2Rfi (J,, — г, 2Д2 — г) X

—00 —00

X

Р (''л,

''у)сМ гу +

(Anij +

т д)2

f R ilu (2Д1 — F,

гД2 — ; ) Х

X Р (Гх,

—ОС

гда) +

r y ) d r xd r y - \ - { B m j

- \ - m n)- A 2R , j { z M,

11»

+

(B m i +

" О 2

(2я,,

2Д2) +

(Л/П/ + m a) (Brtii - f

00

00

+

mn) j

^ [ A B R f f (2Д1, 2 Д2 — 7) +

—00 —00

2 Д1— 7)] p

(2.71)

+ A B R f f

( r x,

ry) d r xd r y.*)

t ..

*.

7г),

*) Во всех дальнейших записях вместо обозначений mun(t),

Ru*{t,,

Рп (гхгу)

используются

обозначения

mu (t),

Рцц(7,, 7г),

Р (Г * . Гу).’

t,

t

78

В формуле (2.71) тл и тп означают математические ожидания помех 6fA и б/п- Попытаемся, применив искус­ ственные приемы, перейти от аналитических зависимо­ стей к структурным схемам. Обозначим

F(t,

T) =

ABRfl-[zA(t), 2Д(i) — Г]

(2.72)

Математическое

ожидание

случайного процесса

F (t, f)

равно

00

00

trip( £ )

ASR./ i ( £

д ,

а. д

- i ) р {гXI fу) drydfy,

— 0 0 — с о

*

^

а ковариация

KF/r(^,

t2)

определяется

соотношением

'

ОО

00

00

00

2Д1— Т\)Х

KFF(*->

*s)=

J

J

j

— ОС — 00 — 00 — 00

X A BRsf{zA. 2 Д 2 — г2) р(гХ1, гх.,\

гу,,

rVi)drXldrX2dryidry2.

11»

t 2»

^j ,

t j

В квазистационарном режиме управления

с точностью

всех полученных ранее уравнений можно считать

Р { Г х п

^:*2!

^уг)

Р (г.г>

Гу) 8 (Гя„

ГХ1) Ь ( г У2

Гу,)

Ц ,

<а;

Ц ,

t-i

Л ,

<,

И

о о

о о

КррУи 4 ')=

f

^

(г'д,,

2Д1 — /) Х

— ОС — 00

X ^ B R f f i z ^

д2

11,

г у ) drxdry.

Л

Корреляционная функция

процесса

^(f,

/") определяется

равенством

^FF

К/г/г (^i 1 ^2) * ft^F

(^2) —”

ОС

00

ZM—OX

= J

fABRft(Zm> 2 д , —l^ABRffiZto,

—00 —00

CO

00

X P (rxt

ry)drXry

-

j”

j" ABRff ( ' 2 д ,

2 д ,

7)X

”

1

—-00 —00

0 0

0 0

Х

р (г х, ry)dt X r y

^

f ABR/f (гД2,

2д2

г) X

**— 0 0 — 0 0

Х р (Гх,	rv)drxdry.	(2.73)
и.	и

79