книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

рованным степеням усреднения (фиксированным £«)• Если же степень усреднения gn плавно менять от наи­ большей в начальный момент до нулевой в конце пере­ ходного процесса, то общая диаграмма допустимых на­ чальных отклонений получается как огибающая к диа­ граммам, соответствующим фиксированным £ (см. рис. 4.19), а установившееся значение ошибки Soo опре-

140

делится по окончании переходного процесса, когда сгла­ живание уже не осуществляется, Soo будет такой же, как на рис. 4.13.

Чтобы во время ликвидации больших начальных от­ клонений скорость отработки рассогласований равня­ лась максимально допустимой по условию квазистацио­ нарности, требуется менять коэффициент усиления в за­ висимости от In- Изменения коэффициента усиления должны быть обратно пропорциональны максимумам статических характеристик, приведенных на рис. 4.17.

Переходные процессы на фазовой плоскости выгля­ дят точно так же, как и при реализации алгоритма «сходящихся головок» (см. рис. 4.11, 4.12), если коэф­ фициент усиления k в зависимости от степени сглажи­ вания выбирается так, чтобы скорость отработки была максимально допустимой.

Итак, сравнивая два возможных алгоритма ликви­ дации больших начальных отклонений в одномерных КЭС, следует отметить, что при использовании алгорит­ ма усреднения сигналов блока памяти требуется авто­ матическая регулировка коэффициента усиления и сте­ пени сглаживания; этот алгоритм эффективен лишь при малых величинах возмущения ц. Поэтому предпочтение следует отдать алгоритму «сходящихся головок» *>.

4.3. Алгоритмы ликвидации больших начальных отклонений в двумерных непрерывных КЭС

В предыдущих параграфах этой главы рассматри­ валась динамика процессов нелинейного регулирования в простейших одномерных корреляционно-экстремаль­ ных системах. Все эффекты, описанные в § 4.1, прису­ щи и двумерным системам (нелинейное влияние ошибок определения скорости, возможность выведения системы из синхронизма при некоторой величине ошибки, воз­ можность захвата системой ложных экстремумов и

*)

Э тот вы вод

получен в

предп олож ен ии ,

что

корреляционная

функция

поля Rtf (А )

описы вается

уравнением

(4 .7 ).

Е сли

ж е

Rft(А) довольно четко

р асп адается

на

два

слагаем ы х

R t / i А )

и

Rft"(A):Rff(A)=Rft'(A) +Rtt"(А ), им ею щ их

сущ ественно

различны е

радиусы

корреляции

(т. е. поле f{x)

со д ер ж и т

ярко

вы раженны е

вы сокочастотную и

низкочастотную

пространственны е

составл яю ­

щ и е ),

то

алгоритм

усредн ен ия

данны х

м ож ет

им еть

ряд преим у­

щ еств.

141

трудности при ликвидации больших начальных откло­ нений). Но движение в двумерных КЭС сложнее и раз­ нообразнее, чем в одномерных. В частности, сильно про­ является взаимная связь между каналами, например, рассогласование в боковом канале уменьшает коэффи­ циент усиления в продольном канале. Сложнее обстоит дело и с нахождением алгоритмов, позволяющих ликви­ дировать большие начальные отклонения.

Алгоритм усреднения сигналов в блоке памяти мо­ жет быть использован в двумерных системах, только усреднение теперь надо проводить по некоторой области в координатах хп, Уп, например, но площади круга ра­ диуса R, причем радиус крута усреднения R в течение

переходного процесса уменьшается до нуля. Этому алго­ ритму и в двумерном варианте присущи все те недо­ статки (в усиленном виде), которые отмечаются в одно­ мерном варианте. Алгоритм «сходящихся головок» не­ посредственно не может быть использован в двумерных системах, но он может быть применен с некоторым усложнением: сближение головок по одной координате

должно	быть дополнено	поисковыми движениями по
смежной	координате, как	показано на рис. 4.20.
В настоящем параграфе рассматривается специфи-
ческий метод (пригодный		для двумерных экстремаль­

ных систем) определения отклонений от экстремума и алгоритм ликвидации больших отклонений, предназна­ ченный для его реализации.

Считывание данных из блока памяти производится не дифференциальным способом, а посредством прида­ ний считывающей головке блока памяти вращения с до-

148

статочно высокой частотой ©. Центр вращения находит­ ся в точке хл, Уп, а радиус вращения равен R (см. рис. 4.21). Координаты считывающей головки из­ меняются по гармоническому закону:

xr= xn+ R cos ю/, yv = y„+ R sin со/.

(4.29)

Сигнал fn(xr, г/г), снимаемый считывающей головкой па­ мяти в точке (хт, г/г) мгновенного положения головки, подается на синхронные детекторы продольного и бо­ кового каналов, где умножается соответственно на

cos©/ и sin©/, и усредняется фильтрами W${p), выде­ ляющими средние (за период развертки) составляющие г х, zy произведений

zx == coswt■fa(xT, yT),			Zy =	smmt-fil(xT,!yT).		(4.30)
Далее	сигналы zx, zv вместе с			сигналом датчика поля
(я(х, у)	подаются на	блоки	перемножения продольного
и бокового каналов.		Выходные сигналы этих блоков
	ux=zxfn(x, у),		Uy=zyfa(x,		у)	(4.31)
складываются с сигналами			датчиков		скорости	V*, Vy.

143

После интегрирования сумм Vx+ux, Vy+ uy получаются

координаты	блока памяти	t
	t
•*п = -*По +	j*(V x - \ - u x) d t ,	у и — УП9-\-^ (V y - \ - u y) d t . (4.32^

Устройство съема данных в блоке памяти назовем модуляционной головкой. Получим уравнения статиче­ ской характеристики модуляционной головки. Поскольку в данном случае нас не интересуют вопросы точности, будем считать, что из блока памяти и от датчика ин­ формации данные о поле f(x, у) поступают без оши­ бок, т. е.

/п(*г, Уг)=}{хт, г/г), /д(х, y)=f(x, у).

Преобразования, которым подвергается сигнал блока памяти в схеме с модуляционной головкой, можно за­ дать в виде произведения нескольких линейных опера­ торов:

— оператора Bi круговой развертки с радиусом R и частотой а», преобразующего функцию f(xm Уп) в функ­

цию ф!(хш уп):
		яМ*ш yn)=Bif(xn, yn)= f(x a+ R cos Idt,
				yn+R sina>0;			(4.33)
— операторов В			В	умножения		на ’гармонические си-
гналы,		преобразующих функцию				фДХш Уп) в	функции
Фх		Уа), Фу> (-*-nt Уп)'-
	ФJ(*u . Уи) =		В	(ха, уа) — cos mi • ф, (х„, у а) =
		— COSwt-f(Xn -\-RcOSwt,				Уа -\-R sin wt),	(4.34)
		Ф„,(*п, Уп) =	B J , ( Ха , уа)		=	sinW-ф, (хп, уа) =-
		— smmt-f(xa -j-Rcosmt,				уа + R sin mt);
— операторов В^,			\В	[временного усреднения			сигналов
за	период круговой			развертки,	преобразующих		сигналы
ф*. ФУа		в сигналы ф„ фу:
	Ф* (ха, Уа) =		Вху хг(ха, уа)		=	ф^ (*п, уа) =
		= cos <0 t-f(x* + R cos mt, уа + R sin mt)					^ ^
	Фу (-*-■> Уп),—		В	( Х л , у а) — ф^ (-^П, Уа) —
		= sin Ы• / (л:ж-ф- R cos mt, ул -f- R sin®t )

144

Соответствующая структурная схема приведена на рис. 4.22. Полные операторы воспроизведения сигналов продольного и бокового каналов блока памяти равны

В< = В,А ,В,. В-= А А А

Оператор А преобразования сигнала датчика поля в схе­ ме с модуляционной головкой является тождественным..

Рис. 4.22.

Воспользовавшись формулой (2.72), определим ста­ тические характеристики продольного и бокового ка­ налов:

F x = cos<ot-Rff(x, у, x n-\-R costot, уа -j- Rsmtot) =

= cos<ot-Rff (Ax — Rcoswt, Ay — R sin tot)	^ ^
F y = $ina>t-Rff (x, y; x a -\-R cos Ы, yn -j- R sin to/) =
= sin tot-Rff (Ax — R cos со/, Ay — R sin to/)’
Частота круговой развертки в схеме с	модуляцион­

ной головкой выбирается настолько большой, чтобы за

период развертки	ошибки определения координат Л*,
Ду практически	не изменялись. Поэтому Rff(Ax—

—R cos cat, Ay—/?sinco/) можно разложить в ряд Фурье (за период разложения принимается период развертки)

Rff (Ах — R cos <ot, Ау — R sin <»/) =
00
= -^--4" J j( a n cos/гео/-|-&n sin ««>/).	(4.38)
n=1

11—

627

145

Коэффициенты Фурье ап, Ьп определяются по известным формулам:

	1C
ап =	^	— Rcost, Ду — R sin5)cos nbd£,		(4.39)
6П= - ^ -	Г/? ,/(Дх — iRcos£, Ду —		sin S4 sin /г S c/£.	(4.40)
После умножения R f f ( A*—jR c o s g ,			Av—Z?sin£) на cos (at

и sin (at в соответствии с формулами (4.37) и временно­ го усреднения по длине одного периода получим: Fx= = ai/2, Fy= bi/2. Следовательно, статические характери­ стики продольного и бокового каналов схемы с модуля­

ционной	головкой	можно	определить следующим об­
разом:
* — 2тГ	\	^ cos	— R sin $) cos Ш.
			. (4.41)
\ — 2^Г	j" ^ //	— %cos	ду — Я sin &) s'n ^

Пусть поле / (л, у) изотропно и его корреляционная функ­ ция определяется равенством

'Rti(A*,Av)=32e aS(A* + V ,

(4.42)

где a2 — дисперсия поля f(x, у), р — радиус корреляции

поля f(x, у), а= ~[/~л12р. Частным случаем корреляци­ онной функции (4.42) для одномерного поля является

(3.33).

Подставляя (4.42) в (4.41) и переходя к безразмер­ ным величинам

146

получаем

		^	=	2V exp b		( s	^ +	^ +	s 2) } x
		я
	X	| exp {2s (S x cos I +					Sy sin E)} cos EdE
	•—я								..	(4.43)
	Fy -		2^ e x p { - ( S 2x + ^					+	s2)}X
		Я
	X |	exp {2s (Sx cos E-j-Sy sinE)} sinEdE.
Чтобы выяснить одно						интересное			свойство	модуля­
ционной головки,				образуем		разность FxSy —~FyS x:
	F,S„ — F,,Sy				2°Г ехр { - ( S s2 +				S2 + s’ ) X
X	Г exp (2s (S x cosE+ Sy sinE)} (Sy cos E— S xsinE)dE =
	%)
=	s r eKp			+	s h+	•*)) i		j exp ^2s (s *cos ?+
								— я
	-f- Sy sin E)} d [2s (S x cos E+							Sy sin E)j = 0,
следовательно,			FX[SX= Fy[Sy. Обозначим это отношение
через	k, тогда
				Fx=	kSx, Fy =			kSv.		(4.44)

При совместном рассмотрении (4.43) и (4.44) получим следующее равенство:

k	о2	ехр { —	( S ^ + S £ + «•)}	exp {2s (S* cos E
			Su
	2д
			4- Sv sin E)} sin EdE.	(4.45)

. i**

147

Займемся вычислением интеграла, вхадящего в (4.45).

Согласно		[91]
		J exp {2s (S x cos 5 -f- Sy sin £)} sin			=
		—it
		Y s \	- S2 + 2 J S . S ; ' -	V S 'i - S i -	2jS scS ,
	J’	-----------------	f i t	t -----------------		x
	x	/, (2s V S2 + S* ) = - * “ «/, (2«S),				(4.46)
где	S = |/ S 2 +		S2 — полное отклонение, /, — цилиндриче­
ская	функция 1		рода (модифицированная функция			Бесселя
I рода)
Подставим (4.46) в (4.45) и найдем
			k = — -S [e-^+ ^/S ]?/, (2eS).			(4.47)

Принимая во внимание выражение (4.44) для статиче­ ских характеристик Fx, Fy, приходим к выводу, что Fx, Fv пропорциональны соответственно отклонениям Sx и

Рис. 4.23.

S y, причем коэффициент пропорциональности k зависит только от величины полного отклонения S. Поскольку характеристики обоих каналов абсолютно идентичны, то достаточно рассмотреть статическую характеристику какого-нибудь одного канала.

148

Для	определенности	положим, что 5 W= 0,		S X=S; то­
гда в соответствии с (4.44) и			(4.47)
	F{S) = — зге_(Я’+в,)/ 1(2eS).			(4.48)
Статические характеристики			модуляционной	головки —
F(S)/o2,	рассчитанные	для	различных е по формуле

(4.48), приведены на рис. 4.23.

При больших значениях аргумента модифицирован­ ная функция Бесселя /i(2eS), согласно [91], определяет­ ся так:

выражение статической	характеристики	приобретает
вид:
F(S)h* =	e - {S- e)'l4]fsS.	(4.49)

Рассмотрение рис. 4.23 приводит к выводу, что с увели­ чением относительного радиуса развертки е рабочая часть статической характеристики смещается в область больших отклонений, причем величина вырабатываемого сигнала коррекции F н е з н а ч и т е л ь н о уменьшается с ростом е. В этом состоит преимущество использова­ ния модуляционной головки по сравнению с применени­ ем алгоритма усреднения сигналов блока памяти.

Схема с модуляционной головкой позволяет доволь­ но просто разрешить задачу ликвидации больших на­ чальных отклонений в двумерных корреляционно-экстре­ мальных системах по крайней мере при рассмотренном характере корреляционной функции. В момент включе­ ния системы нужно задать радиус развертки R заведо­ мо превосходящим возможные начальные отклонения До, а затем медленно уменьшать R. Вместе с уменьше­ нием R будут отрабатываться обе составляющие Ах и Ау полной ошибки А. Скорость изменения радиуса раз­ вертки R'x должна быть достаточно мала, чтобы не на­ рушалось условие квазистационарности. Поэтому долж­ но выполняться неравенство

|Д 'х |

(4.50)