книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

Из рассмотрения зависимостей, представленных на рис. 3.8, очевидно, что в некоторых случаях квазистационарные режимы управления не являются наиболее выгодными и следует стремиться к форсированным ре­ жимам. Однако, чрезмерное увеличение безразмерного коэффициента усиления х (и степени нестационарное™ а) приводит (вопреки графикам рис. 3.8, полученным в предположении квазистационарности режима управ­ ления) к увеличению ошибок управления и постепенной потере работоспособности КЭС.

Эти весьма тонкие эффекты постепенной потери рабо­ тоспособности КЭС при увеличении а не укладываются в рамки развитой теории «вазистационарных процессов управления; в силу своей сложности эти эффекты можно исследовать только с помощью цифрового или аналого­ вого моделирования.

Г л а в а 4

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭФФЕКТЫ УПРАВЛЕНИЯ В НЕПРЕРЫВНЫХ КОРРЕЛЯЦИОННО-ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

4.1. Исследование переходных процессов методом фазовой плоскости

Нелинейные эффекты управления, имеющие место в непрерывных КЭС, могут исследоваться известными методами, сведения о которых содержатся, например,.

Рис. 4.1.

в [78, 87, 89]. Цель настоящей главы состоит не в раз­ работке какого-либо нового метода исследования нели­ нейных эффектов управления, а в рассмотрении конкрет­ ных проявлений нелинейности статической характеристики коррелятора на примере простейшей корреляционноэстремальной системы, описываемой нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка, и

120

отыскания возможных способов борьбы с нежелательны­ ми проявлениями нелинейности {68, 69].

Структурная схема простейшей двумерной КЭС была описана в § 3.3 и показана на рис. 3.3. Продольный и боковой каналы в непрерывных КЭС оказываются вза­ имосвязанными.

Рассмотрим только продольный канал, для чего во всех соотношениях положим г/ = 0, Ду = 0; с целью сокращения записи индекс „х“ у операторов Лх. Вх

величин Fx, тх, -цх, q.., qXt, q^, v^, vVj, v^, v^, SVX опустим.

Исследуем лишь движение по математическим ожида­ ниям. Будем считать все инструментальные погрешности коррелятора равными нулю (<7i= g,2= g ,3= v 1= V2= V3= = \’4= 0) и предположим также, что за счет выбора до­ статочно малого коэффициента усиления КЭС k осуще­ ствляется сильный квазистационарный режим управле­ ния, в котором методической погрешностью цможно пре­ небречь (г]~0); кроме того, положим 6К= const. Структурная схема КЭС при этом упростится и примет вид показанный на рис. 4.1. Под величиной А в силу сделанных допущений теперь следует понимать матема­ тическое ожидание ошибки измерения координат (в обоз­ начениях § 3.3 А = т 4 К)).

Уравнение движения КЭС запишется следующим об­ разом:

- k [ABRf, [хя (0, *д(Г) - А] + т + - ^ ) . (4.1)

Разделив обе части соотношения (4.1) на скорость дви­ жения V и перейдя к пространственному аргументу х= = ( Vdt, получим

dA ___	{АВ	^	4] I Н-	(4.2)
d x	I	о2	з 2

здесь, как и в § 3.3,

x = k 2cs2/V, a2=Rf f ( 0), n = m + 6V/k.

Пусть L— некоторый интервал, такой, что на нем с боль­ шой точностью соблюдается равенство:

dA __ A ( x + L) — Л ( х )			/ 4 З ч
d x	L	'	\ • )

L определяется как пространственной структурой поля f(x), так и степенью нестационарности а режима управ-

121

ления; в частности, в сильном квазистационарном режи­ ме управления можно выбрать L равным радиусу корре­ ляции р поля f(x).

Подстановка (4.3) в (4.1) превращает (4.1) в рекур­

рентную зависимость вида:
Д„+1 =	дn - * L		| АВ	^ [ * , (0.хд(0 - М				+	(4.4)
			п		О, 1,2,
где Дп= Д (х ),		Дп+1= Д (х + 1), Д0= Д (0 ).
Исследуем движение в дифференциальной схеме КЭС.
В этом варианте			А — оператор			тождественного преоб­
разования,	В — разностный оператор,						т — (т/ + тя)тл и
А п - и	А„	pelf					+	О	(4.5)
		П-	+		/ и д тп , J _ SV_				(4.6)
		и2		а	а	' х	V'
Возмущение [(т / + т д)/а] • m ja,						обусловленное			матема­
тическими	ожиданиями			ошибок датчика				поля Ш/ + т д и
системы воспроизведения					поля в блоке памяти				тп, дей­

ствует так же, как ошибка 61/ определения скорости. Поэтому далее возмущение р иногда называется приве­ денной ошибкой измерения скорости.

Рассмотрим стационарное поле, корреляционная функция которого обладает ложными экстремумами и имеет вид:

	Rff(Д) = з2е a!Aicosf3A.			(4.7)
Для этой корреляционной функции радиус			корреляции р
равен
	_ Vл	—р2/4а2		(4.8)
	2а
После подстановки (4.7) в (4.5) найдем
5n+1 =	— xA^[e {Sn	Е) cosA(Sn — г) —
— е_<5п+' )2 cos A (Sn -j- s)] -j- xN			,	(4.9)
здесь N = aL,	A= p/a, s = al
	5 = aA =	e~?‘/4u‘		(4.10)

122

т. е. 5 представляет собой ошибку регулирования А, вы­ раженную в единицах радиуса корреляции.

Движения рассматриваемой корреляционно-экстре­ мальной системы во многом определяются видом нели­ нейной статической характеристики КЭС

F(S«) _	Rft (А, - /) -	Rff (А„ + l) _
О 8	б 2
— ( S — s )*	— ( S + е ) а
= е я cosA(Sn — е)—е		” cosA(Sn + s), (4.11)

которая зависит как от корреляционной функции (пара­ метр X), так и от расстояния между считывающими го­

ловками е. Статическая характеристика КЭС для корре­

ляционной функции, описываемой уравнением								(4.7),		по­
казана	на рис. 4.2		(кривая		1 соответствует			X— 2,		е=
= \ ! У 2, а кривая 2 — Х=2,					е = 2 ) .	А,—0),		то	знаки
Если	параметр		X мал	(например,
статической		характеристики			и отклонения		совпадают.
В этом	случае существует е д и н с т в е н н о е							положение
равновесия.		При отсутствии			возмущения ц (ц = 0 )					кор­
реляционно-экстремальная					система	всегда		приходит
в положение		S«, =	0. Если	параметр		X достигает			боль­
ших значений (например,				Х =2), могут возникать					более
разнообразные движения.				В этом случае			статическая
характеристика коррелятора					(кривая	1 на рис. 4.2)				при

положительном отклонении 5 имеет области как поло­ жительных, так и отрицательных значений, чему соот­ ветствуют два различных возможных положения равно­

123

весия. В зависимости от величины начального рассогласования S0 КЭС может либо придти в нужное положение равновесия 5сх> = 0 (захватить главный экст ремум— максимум корреляционной функции (4.7)), либо захватить ложные экстремумы корреляционной

функции. Далее будет рассматриваться лишь корреля­ ционная функция вида (4.7) для значения Я = Р /а = 2.

На фазовой плоскости с осями S„, 5 n+J изобразим зависимость

Sn+i = <Р(Sn) -- Sn — xN [е {Sn 0 cos Я (S.n — e)—

- e " <s» + 6)ao ^ ( S n -|-e)] + x N - ^ .

(4.12)

Тогда, если по оси абсцисс отложить некоторое предыду­ щее значение ошибки регулирования S n, то на оси орди­ нат можно получить последующее значение S„+i; затем, отложив на оси абсцисс полученное значение «Sn+i, на оси ординат можно найти следующее значение Sn+2 и таким

124

образом шаг за шагом построить весь переходный про­ цесс. На рис. 4.3 описанное построение проведено для

е = 1 /1 / 2, Я =2, х=0,02, iV= 10 при р	= 0.
Для облегчения построений удобно	провести биссект­

рису dd'. Пусть начальное отклонение 5о=1, тогда, со­

гласно	графику фазовой траектории, приведенной на
рис. 4.3, последующее значение Si = 0,8; отложив Si =
= 0,8	на оси абсцисс, находим S2=0,6. То же самое по­

строение можно проделать быстрее, если в точке а, соот­ ветствующей 5о=1, провести горизонтальную стрелку

до пересечения с биссектрисой в точке Ь, а затем в точ­
ке	b провести	вертикальную	стрелку до	пересечения
с	кривой (pfSjJ	в точке с.	Продолжая	этот процесс

далее, определим всю траекторию движения при на­

чальном отклонении		S o = l. В	установившемся	положе­
нии равновесия в этом случае			S x — 0. Если	выбрать
начальное	отклонение S0= l,8 ,		то в установившемся по­
ложении	равновесия	5<х> = 3,2,	т. е. система	захватит

ложный экстремум — ложный максимум корреляционной функции (4.7). «Водоразделом» между этими двумя по­ ложениями равновесия является начальное отклонение

S0= l,5 ,	чему соответствует, согласно (4.8), Д0—4,6р.
Итак,	если корреляционная функция Rff (Д), кроме
главного	экстремума — максимума, имеет ложные экс­

тремумы (максимумы или минимумы), то желаемое по­ ложение равновесия Д<х,= 0 может наступить лишь при условии, если начальные отклонения Дс не превосходят некоторого предельного значения. Предельным значе­ нием До является как раз то значение, при котором ста­ тическая характеристика меняет знак (ср. кривые 1 на рис. 4.2 и рис. 4.3).

В рассмотренном случае допустимое положительное начальное отклонение S* = 1,5, а установившееся значе­ ние S отсутствует (5^ = 0). В силу симметричности графика f (рис. 4.3) допустимое отрицательное начальное отклонение S_ = — 1,5.

Оценим теперь влияние возмущения ц. При положи­ тельном значении ц график функции S„+1 = <р(S„), сог­ ласно (4.12), поднимается вверх на величину хЛф.'т2. На рис. 4.4 изображен график S,1+1 — <p(S„) для значе­

ний параметров	s = l / | / 2 ,	Я =	2,	х = 0,02, N = 1 0 ,
|а/т2 = 0,1. Точки	пересечения <р		с	биссектрисой 1-го

125

координатного угла теперь изменились (по сравнению с рис. 4.3), а следовательно, изменились и положения равновесия: появилась установившаяся ошибка £^=0,05;

допустимое положительное начальное						отклонение			S +
уменьшилось до		1,42, в то		время		как	допустимое
отрицательное начальное отклонение					возросло (S~ = —
-	1,72).
	Увеличение S~ и уменьшение S~^				объясняется				сле­
дующими причинами. Если начальное					отклонение S0-< 0,
а	возмущение р >• 0,	то	р действует		благоприятно,				вы­
зывая движение системы к положению равновесия;								в этом
случае вырабатываемый			системой	сигнал		коррекции			сов­
падает по знаку с возмущением р. Если же							50' > О и р >
> 0 , то возмущение		р	стремится		увеличить			ошибку
регулирования S; в результате S+ уменьшается.
	Поскольку установившееся значение ошибки S								и до­
пустимые начальные		отклонения		S*	и S~		графически

126

определяются в точках пересечения функции f ( S n),					за­
даваемой соотношением (4.12), с биссектрисой				1-го ко­
ординатного угла,		имеющей уравнение 5п+1= 5 „,		то	S^,
S*,	S~ являются	решениями уравнения Sn = 9 (Sn), кото­
рое	после элементарных преобразований		приводится к
виду
	ехр {— (Sn — е)2} cos Я (Sn — s) —
	— exp {—	+ s)2} cos A(Sn + s) =	ц/32.	(4.13)

Левая часть этого соотношения есть не что иное, как статическая характеристика F(Sn)fs3\ следовательно, отклонения S^, S*, S~ можно графически находить при

пересечении статической характеристики горизонталь­ ными линиями, проводимыми на высоте р/з2.

Описанное построение выполнено на рис. 4.5. В ре­ зультате такого построения, кроме S^, S*, S~, удается

также найти все возможные положения равновесия, соответствующие ложным экстремумам корреляционной

функции. Как следует из рис.	4.5, для значения р=0,1з2
наряду с 5^ = 0,08 возможно	положение устойчивого

равновесия S ^ — — 2,5, соответствующее минимуму кор­ реляционной функции.

127

Если возмущение р достигает заметных значений (0,15сг2< р< 1,05 а2), то существует только две точки пе­ ресечения статической характеристики с горизонтальны­ ми линиями, проводимыми на высоте р/сг2.

Одна из этих точек (ей соответствует меньшее по модулю значение 5) определяет установившееся значение ошибки Sm, другая — допустимое положительное началь­

ное отклонение 5^. В этом случае допустимое отрица­

тельное начальное отклонение	— со, т. е. любые
	Д

отрицательные начальные отклонения будут отработа­ ны системой, так как возмущение р, имеющее в рассма­ триваемом варианте значительную положительную ве­ личину, вызовет движение системы в область положи­ тельных ошибок регулирования S и таким образом лик­ видирует любое отрицательное начальное отклонение.

На рис. 4.6 изображены фазовые траектории для s = = 1 /]/2 , Я = 2, я = 0,02, ЛЯ= Ю, р — 0,5а2, подтвер­ ждающие сделанные выводы. На этом рисунке показа-

128

ны траектории движения для трех начальных отклоне­ ний 5о= —2; 0,8; 1,4. Первые два начальных отклонения

So= —2 и 5 0= 0,8	корреляционно-экстремальная систе­
ма отрабатывает	и приходит	в положение	равновесия
Soo= 0,25. Третье	начальное	отклонение 5 0=1,4 оказы­
вается непосильным для системы: в этом			случае воз­

мущение р выводит систему из синхронизма, положения равновесия не существует и ошибка S со временем не­ ограниченно возрастает в результате действия возмуще­ ния р.

Существует предельное значение помехи р = 1 ,0 5 за (см. рис. 4.5), при котором уравнение (4.13) имеет един­

ственное решение Sx = S* — 0,65. Фазовая траектория

движения, соответствующая предельному значению р = = 1,05а2, изображается кривой 1 на рис. 4.7.

При р = 1,05а2 установившееся значение ошибки5,» = = 0,65; любые отрицательные начальные отклонения от­ рабатываются системой, положительные же начальные отклонения, превосходящие 0,65, КЭС отработать не в состоянии, так как вырабатываемый сигнал управле­ ния не может скомпенсировать возмущения р, а значи­ тельно усилить этот сигнал нельзя, потому что нару­ шается условие квазистационарности режима управле­ ния. Если возмущение р превосходит предельное значе­

ние, т. е. р >	1,05а2 (см. кривую 2	на рис. 4.7),	то не су ­
щ е с т в у е т	никакого положения	равновесия.
Аналогично выводу формулы		(3.19) можно показать,

что условие обеспечения заданной степени нестационар­ ное™ а режима управления в данном случае имеет вид:

х < [а — &VfV\	mf +	тл тп	+	шах	F(А)	(4.14)
	а	а
				=(—00,00)
Поскольку (см. рис. 4.5)		шах	(F (Д)/з2)=1,05,			то из
	4 ^ ( —'00, so)

(4.14) находим

х < [а — bV/V]

trif + /Яд т„	+ 1,05]. (4.15)

Рассмотрев совместно уравнение (4.15) и требование р ^ , 1,05а2 с учетом (4.6), придем к выводу, что КЭС мо­ жет скомпенсировать относительную ошибку измерения скорости 6V/V не более, чем

9—527

129