книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

причем

а(^, t2)=zza^(tlt t 2)-\-a^(tx, f2)-|-

+ <*„(*„ *,) + аУи(*„ t2),

H tu	tt) = b1l{t„	ft) +	*„(*,,	*2) +
+ 6V3(^i. *»)+ &,„('«•			#*).
C(U>	ta)= c rl{tf	4) +	i’,I(^i»	^2) +

+ Cv,(^* ^ ) + c,lt(^i* ^)-

Рассмотрим дифференциальную схему КЭС, для которой

k (t)=		ви.	_dRft		Ux—X	(5.48)
' ’			ut=x	диг
•(О =	#//(■*,		ил=х—1		u%=x+l	(5.49)
			x + l) — Rff(x, x — l),
m (t) =	m.j (x) -j \mf (x +			/) — mf (x — /)]

dni)	dmf
- [ da U - = X + l	du

m4(0 (5.50)

U — X -l

Выражения корреляционных функций возмущений т), vi, V3 можно получить как частные случаи соотноше­

ний	(5.28) — (5.31),			(5.34) — (5.45)	после	подстановки
в них	вместо	А	тождественного		оператора, а		вместо
В — оператора		взятия первой разности с				шагом	21.
Конкретизируем выражения для k{t), е, т при раз­
личных типах нестационарное™.
Для поля, нестационарного по математическому ожи­
данию,
	k(t) =		2 R '„ { - l),
	8 = 0,						(5.51)
	т (t) =		21 \rrij (0)-4-*grad m f\ grad m/,
	v, Ф 0 ,			v, ф 0 .

При этом контур управления стационарен (k(t) = const), смещение статической характеристики отсутствует, воз­ мущение m(t) линейно нарастает, возмущение x(t) не­ стационарное.

Для поля, нестационарного по среднеквадратическо­ му отклонению,

k(t) = 2 R'qq(— t) (1 + xgrad o'/)2,	(5.52)
e (0 = 21 grad 0/ Rqq(t) (1 + x grad o/),	(5.53)
m(t) =0, vi = V 3 = 0 , х=т].	(5.54)

160

Таким образом контур управления нестационарен. Ко­ эффициент усиления k(t) изменяется по квадратичному закону. Смещение статической характеристики е(^) ли­ нейно возрастает. Возмущение т] нестационарно.

Для поля, нестационарного по спектру,

k V) =	[1 +		(х -	l) grad hf\ X
X			(2x	— /) grad h
— [1 (•*■~b 0 grad hi] R'qq			1 +	4	(2* + /) grad A,],	(5.55)
s (0 = R 44 \ l	+		(2 л: +		/) grad h,
— Rqq \t	+	- ! f	(2.x	— /) grad hi		(5.56)
m = 0,		vi=vs = 0,			x = r|.

При этом контур управления нестационарен, смещение статической характеристики изменяется во времени, возмущение ц нестационарно.

5.2. М етоды анализа корреляционно-экстремальных систем при работе по нестационарным полям

Как было показано в предыдущем параграфе, структурная схема КЭС, работающей по нестационар­ ному полю, имеет вид, изображенный на рис. 5.7. Коэф­ фициент усиления коррелятора k(t) может быть пред­ ставлен в виде многочлена от t :

k (t) — k0-f- ktt -)- ...

k^t ,

(5.57)

причем й обычно невелико. В частности, если поле об­ ладает нестационарностью по среднеквадратическому отклонению, то, согласно (5.52), й'= 2; при наличии не­ стационарное™ по математическому ожиданию -О1= 0.

Передаточная функция линейной части КЭС может иметь произвольный порядок:

W (р) = фтрт -\-bip-\- b0)[(anph -f-... -f-а,р -f- а0)> (5.58)

причем W (р) не зависит от времени, т. е. коэффициен­ ты at, bj являются постоянными величинами.

Детерминированные возмущения m(t) и e(t) описы­ ваются полиномами невысокой степени.

11— 527,

161

Особое внимание при исследовании отдельных видов нестационарности следует обратить на корреляционную функцию воздействия х, которая имеет вполне опреде­

ленное строение:								*а) т д&) +
		t2) =		a{tu tt)-\-b(tu
		+ c{tu			**)[/п;|(*,) +			3д(М]-			(5.59)
Здесь				L
	a (tu t2) =			S щ (t,)			(/,) <pi (ts — if,).				(5.60)
				i= 0
				M
	ь {tu	Q	=	£	pjuop,& ) y j& - * ,) ,						(5.6i)
				/=0
	* ( ^		U) =		S t, (*.)Tv(4)tv & - * .)•						(5-62)
					v = 0
Функции	ft,	'/j,	зависят				только от		разности		(t2— t,)
и выражаются		через			корреляционную функцию Rqq ста­
ционарного поля q(x),					участвующего				во всех моделях
нестационарности,			и	через			производные			Rqq. Функции
щ (t), pj (t)	и уу(0		во		всех		моделях		нестационарности
являются	полиномами t				невысокой			степени.		Введем обо­
значения
				я»10 =		2 Лр^р»					(5.63)
						р=о
				? i W = 2							(5.64)
					A’v
			Tv (0 =			2	IV " .				(5.65)
					n=o

Хотя анализ воздействия нестационарных случайных процессов на нестационарные системы является слож­ ной математической задачей, для решения которой раз­ работаны лишь приближенные методы исследования (причем применение даже этих приближенных методов

162

связано с использованием вычислительной техники и с громоздкими вычислениями), исследование влияния нестационарное™ полей на динамику КЭС представля­ ет собой относительно простую задачу ввиду низкого порядка полинома k (t) и многочленов ai(t), fij(t), yv (t), что обусловлено принятыми моделями нестацио­

нарное™.

Возможны два метода аналитического решения этой задачи [168]: первый связан с использованием аппарата весовых функций нестационарных систем w(t, 5); при использовании второго метода оперируют с пара­ метрическими частотными характеристиками ФО'ш, i) нестационарных систем. Рассмотрим последовательно оба метода.

Метод исследования, основанный на использовании весовых функций w(t, |) . Через w(t, |) обозначим им­ пульсную переходную функцию контура управления, по­ казанного на рис. 5.7, под которой будем понимать ре­ акцию в момент времени t предварительно невозбужден­ ной системы на дельта-функцию 8(t—g), действующую в момент времени g. Из условия физической возможно­ сти системы

w(t, g )= 0 при t<%.

(5.66)

Определение весовой функции нестационарной си­ стемы представляет собой достаточно сложную задачу. Имеются различные приближенные итерационные про­ цедуры вычисления w(t, |) . Нахождение w(t, g) суще­ ственно облегчается, если нестационарная система полу­ чается в результате замыкания стационарной системы, описываемой передаточной функцией W(p), обратной связью, содержащей переменный коэффициент усиления k(t) (именно к такому типу нестационарных систем от­ носится контур управления, изображенный на рис. 5.7).

В этом варианте весовая функция замкнутой неста­ ционарной системы может быть рассчитана следующим

образом.

Обозначим через Ф (р, t) параметрическую переда­ точную функцию системы, представляющую собою пре­ образование Лапласа для w(t, £) относительно перемен­ ной т = t —

Ф (р, t ) — J до (t , S) е_р

(К.

(5.67)

6

11*

163

В [168] для рассматриваемого варианта получено пред­ ставление Ф (р, t) в виде ряда:

Ф {р, t) = Фо(р,	t)+(T>2(p, t)+ ...,
	(5.68)

причем первый член ряда определяется соотношением

Фо{Р, t ) = , |- k (t)W(p) ’

(5.69)

а следующие члены находятся из рекуррентной зависи­ мости:

	Фэ+Лр, 0 = Фо (р,		t)	'dk	d .	,	..
				-dtdF*i(P>			O'
___i_ cm j p _							(5.70)
		(р, t) -f-	,	(—1f	d*k	d®	- , , '
2!	d t 2 d p 2		+	~ ' W “			ф*{р'

Поскольку степень fl многочлена k(t) невелика, то урав­ нение (5.70) содержит в правой части малое количество слагаемых, что облегчает вычисление Ф ^^ р , t). После того, как Фj(p, t), j —0, 1, 2, ... найдены, по формуле (5.68) определяется Ф (р, t) и как обратное преобразо­ вание Лапласа вычисляется весовая функция

C + 100

* )=	2ST		f ф {р, t)zpit-"dp.				(5.71)
			с—/ос
Математическое ^ожидание				mA(t)	и среднеквадрати­
ческое отклонение зд(г!)			ошибки	регулирования Д (t) свя­
заны интегральными соотношениями с w(t,						(см.,	напри­
мер, [168], стр. 244):
t			1) \т (6) + s (Щ <&,
тА ( t ) = \ w		(t,					(5.72)
бt	t						(5.73)
al (0 — \ j		w (*’ *)w		u)	(u> 5)dudL
0	0				m(£),	s(S),
Подставив в (5.72),	(5.73) выражения
из (5.27), (5.33), (5.46), получим:
f
mA (t) = j	D(t,		t)mA®d& +		E(t),		(5.74)
Од (t) = jjG {t,							(5.75)
о

164

где

D (t, E) =			— и> (t,		6)Amf [x (E)] В			,	(5.76)
		t					x = x (\)
E (t) —		f w (t, E) {Amf \x (E)] Вт, [л* (E)] +
			+ ABR„\x(l),			*(E)]}dE,			(5.77)
					t	u)c(E, u)du,
G(t,		t) =		w{t, E) ^w(t,					(5.78)
t	t		E) w (t,		и) [a(E,		b (E, и) mA(E) +
H(t) — ^ w		(t,				u) +
о	о	+		с (E,	и) m\ (E)] dud\.				(5.79)
Таким образом				вычисление		математического		ожида­
ния mA(t)	и	среднеквадратического					отклонения		зд(/)

свелось к решению системы интегральных уравнении

(5.74) , (5.75). Согласно соотношениям (5.66), (5.76),

(5.78) ядра этих интегральных уравнений подчиняются условиям

D{t, I)=G(t, !)= 0 при l > t

(5.80)

и следовательно, уравнения (5.74), (5.75) являются ин­ тегральными уравнениями Вольтерра. Из теории инте­ гральных уравнений известно, что если

ОС	t	ОС	t
\ d t ^ D s(t, Е) (/Е < 1 и		j* dt ^ G2 (t,		Е)<iE <	1,
о	б	0	0
то решение системы уравнений			(5.74),	(5.75)	существу­

ет для любых /; это решение единственно, и его можно найти с помощью метода последовательных прибли­ жений.

Если градиенты нестационарное™ поля f(x) невели­ ки, то возможно упрощение соотношений (5.74), (5.75),

исходя	из следующих соображений. Формулы (5.74),
(5.75)	искусственно представим			в следующем виде:
	тА(0 =	t	Е) тА \t — (t — Е)] dl - f Е (t),
		\D {(,
		О
	А (0 =	J G(t,	Е) з2	Е)] dE + Я (0.
		0

165

Ядра этих уравнений пропорциональны весовой функ­ ции w(t, |) . При тех же значениях t—g, для которых w(t, 1 ) ф 0 (и, следовательно, D(t, g) и G(t, g) отлич­ ны от нуля), математическое ожидание и дисперсия ошибки в случае малых градиентов нестационарности меняются несущественно. Поэтому приближенно можно записать

mA( t ) ^ E ( i ) / I 1 -	\D(t,	6)Л ),	(5.81)
I \	о	/
=	\o {t,	? ) ^ j	(5.82)

В силу тех же причин m^{t) и т\ (t) можно вынести изпод знака интеграла в уравнении (5.79). Тогда

t	t
Я ( П = |	[w(t,		и)а(Ь,	и) dud\ -f- тА (t) X
о	о	t
	t
X f		\w(t, ?)щ(^, и) bit., u)dud&-\-
	0	0	t
		t
+	m\(t) ^		ftw(T Z)w(t,	u)c(b, u)dud%.	(5.83)

o' 6

Метод исследования, основанный на использовании параметрических частотных характеристик d)(jw, t). По­ нятие параметрических частотных характеристик введе­ но в [169, 170]: оно является обобщением понятия ча­ стотных характеристик стационарных систем. Если в ста­ ционарной системе отношение процесса в установившем­ ся режиме к комплексному гармоническому воздействию

е,ш<. представляющее собой частотную характеристику

системы <D(jco), не зависит от времени, то в нестацио­ нарной системе это отношение, называемое параметри­ ческой частотной характеристикой Ф(]’са, t), з а в и с и т от времени.

Математически CD(jco, t) выражается через весовую функцию w(t, g) следующим образом:

t
Ф (jco, t) = f w (t, %) e-Jt“ lt~l) d%	(5.84)

6

166

или
Ф (р, 0 =		* — 0) е_ lwf>db.		(5.85)
Чтобы найти	<D(jco, t),	составим	дифференциальное
уравнение для	структурной схемы,		приведенной на

рис. 5.7. Уравнение прямой цепи определяется переда­

точной функцией (5.58),		оно имеет следующий вид:
dmK		dma			dv
dtm	dt	dt™ '			bx~dt
— bDV:	dnb	i	dA I	A	(5.86)
	dtn	~Tai ~dt~TaоД-
Здесь £ = m + e+ x.	Коэффициенты		a,,	в	соотношении
(5.86) не зависят	от времени. Воспользовавшись урав­
нением цепи обратной связи
	v(t) =k(t) A(t)				(5.87)

иправилом Лейбница для вычисления производных

	высших порядков от	произведения		двух функций, п о ­
	л у ч и м
	d h _	г в	d,l~ 6k (t)	d*A	(5.88)
	dt1	2 j 1	dt1-*	dt9 ‘
		6=0

Подставив (5.88) в (5.87), найдем дифференциальное уравнение замкнутой нестационарной системы:

A	i ^	+	- • .- M J(0 7 J7 + i4o(0 Д=
	=	b„	af"1?	4г+&„С,		(5.89)
где
Ai(t) — at - f ^	bj+iclj+. dik (t)			i = 0,	1,..., m,	(5.90)
!=0
	Ai = a-i, i = m-\-\\......				n.

Поскольку степень & многочлена k(t) невысока, то лишь несколько первых производных d>k отличны от

нуля и лишь первые & коэффициентов А0, А„ ..., Ай за­

висят от времени. Это облегчает процедуцу определения параметрических частотных характеристик.

167

Введем обозначения

	Л уЧ 0 =			S Л и (0(Н п fe>				(5-91)
				т
		в (Н =		Ц bt ОЧ”1-*-				(5.92)
				i= 0
Тогда,	согласно	[92],	точное значение				Ф (р,	t) опреде-
ляется	равенством
	£ s !	d*A(\u>,	t)		t)	=	5(jco).	(5.93)
		d (jo>)s		dt‘
	я=0

Вслучае, когда Ф(]со, t) слабо зависит от времени (что,

вчастности, имеет место при малых значениях градиен­ тов нестационарное™), решение (5.93) может быть най­ дено методом последовательных приближений [92]. Ну­ левое приближение ФоОЧ t) параметрической частот­ ной характеристики ®(jco, t) получается из соотношения

(5.93) в результате пренебрежения	зависимостью Ф
от t:	t),	(5.94)
ФоСч t) =fi(jco)M (jeo,

т. e. нулевое приближение есть частотная характеристи­ ка системы с «замороженными» коэффициентами.

Воспользовавшись выражением для нулевого при­ ближения, представим (5.93) в виде

Ф (jo), t) = Ф0 (ja>, t)		1	d sA (jw, t)	й“Ф (jeo, t)
	A (jto. t)	s!	d (jeo)8	dt•
		S=1		(5.95)

Теперь можно перейти к методу последовательных при­ ближений, разработанному Заде [169]. Подставляя в правую часть (5.95) ФоОЧ t) вместо ФО'ю, t), полу­ чим ®i(jco, i) и т. д. В качестве q-ro приближения пара­ метрической частотной характеристики можно принять значение

	о =	ф. о -.
				s= \
	4 / rfM(jw, t)		d*Ф9_, (jw, t)	(5.96)
	A	d (j6>)8	di‘

1C8

где c])9_i(jи, t) есть (q—1)-е приближение ФО'со, i). Условия применимости метода последовательных приб­ лижений к определению (Т>(jto, t) для заданной частоты входного сигнала о> можно считать выполненными, если для любого значения t в рассматриваемом интервале времени

2п

		Ф ( jco, t		+		— Ф (jco,			t)		(5.97>
				Ф (jco,		t)
Используем параметрические частотные характери­
стики	для	вычисления			входящих				в	формулы	(5.81),
(5.82)	выражений E(t),				H(t)		и интегралов
						t
			/,(< )= Г G(<,					ЦД,			(5.98)
					о
					<
			/„ ( 0 =					Е)<я.			(5.99)
					о
Рассмотрим		сначала		I t {t).			Подставив			(5.78),	(5.62) и.
(5.65)	в (5.98), можем записать
				N	ЛГ„ Л/у						(5.100)
		/ . < 0 = 2			£	£ 1 г „ г .г/Г (0 .
где				v = 0	| х = 0	г = 0
		t	t
							и)		{u — S)dud\% (5.101)
	I*r (t)= j*		j*w (t, %)w (t,
		6	о
Введем в рассмотрение					спектральные					плотности 5ф (со)г
						ОО
		S* ,W = 4 ?				j t . M		e - 1"’ * .			(5.102)
Тогда					ОО
		t (« —«) =					(®) eJ“
					J	\				><*».	(5.103

—ОО

169»