книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

6V

a

f

Рис. 3.5.

обеспечивается точное описание нелинейного преобразо­ вания, однако при этом возникают некоторые трудности

с выполнением уравнения			(3.85).			[72, 75]),
Поэтому,	«ак	это часто и делается (см.
воспользуемся критерием			равенства средних			значений
и дисперсий	выходных сигналов			точного	нелинейного
F{А) и приближенного линейного F*(А) преобразований
mF(t) =		mFt(t),	t) =	RFtpt(t,	t).	(3.86)

Из уравнений (3.76), (3.86) получаем выражения коэф­ фициентов ho, h i:

h0(mt, Ot)=mF(t)/mt,	(3.87)
K{mu 3t) = у Rff(t, 0 / 3o	(3.88)

Значения mF(t), RFF(t, t) в рассматриваемом случае оп­ ределяются по формулам (3.41). (3.42).

Если провести расчет контуров управления по мате­ матическому ожиданию mh{f) и по случайной составляю-

о	ошибки, а	затем	полученные		зависимости
щей Д(^)
зд(/) рассмотреть совместно с				соотношениями
(3.87), (3.88), то образуется замкнутая				система четырех
нелинейных уравнений		с четырьмя неизвестными /гс, Л„
т&(0> ад (0> решение		которой	и определит		переходные
процессы в простейшей КЭС			1-го порядка.		Однако даже
в этом	простейшем	случае	исследование		переходных

процессов является достаточно трудоемким и связано с привлечением средств вычислительной техники.

ПО

Остановимся лишь на рассмотрении установившегося

режима,		возникающего		при		f —	oo ,		когда mA(t), ад (() и,
следовательно,			/г0( т ;, a,),		h1(mi,		з,)		стремятся к некото­
рым постоянным значениям.
Обозначим limmA(t)-=mA, iimзд(() = зд. Из уравнений
		<->оо				/->эо		выражения для опре­
(3.41), (3.42) (3.87), (3.88)					получим
деления		коэффициентов		передачи в					установившемся ре­
жиме :									й2 (/ид — /)2'
К	К >	Зд) =	;			ехр
									1+ 2а*в|
			У~1 2й2а
			— ехр	Г	в 2( и г д + / ) г
							2й2Зд		(3.89)
Л. (т	д. Зд) = “ 1						ехр		2а2 (ягд — /)2
			У 1+ 4а2^						1 4д2ад
			2 ехр		2а2/и				2а2/2 +
					1	X -
						4

+

1

X ехр

		2д2 (/яд + /)2
	ехр		1 .____ !
		1+ 4а23д j		1+ 2л2зтХ
	см	т		2а2 (ml + /2)
		<3	— 2 ехр		+
	1+ 2я23д			1+ 2
	+	ехр	2дг (.-ид + /)2		(3.90)
			1+ 2агад

Здесь з2 = /?,/(0). Рассматривая установившийся процесс, протекающий в схеме, приведенной на рис. 3.5, а, найдем

mAh0 (тА, Зд) = W /k + т.

(3.91)

Исследуем статистическую динамику схемы, изображен­ ной на рис. 3.5 б. Поскольку передаточная функция от

оо

|iK	А	равна k/(p kht),	то
		00	k2	S	(ш) du>,	(3.92)
		Ц -	k?h;
где	S	(ю) — спектральная плотность				о
					возмущения р.
		г'г*

111

Предположим, что в КЭС осуществляется квазиста-

ционарный режим управления. Тогда, согласно данным

о

§ 3.2, возмущение ц. можно считать белым шумом и, переходя в (3.92) к интегрированию по пространственной

частоте Q=<ofV и учитывая,						что		S	(Q) =	VS^ (<«), по­
лучим:
2_		Г	У ( ° )							<3-93>
д	V 4	I	(khJV)2 +	Q?
	(°) =		5^(0)Н- 2		s		(0) +		2	(0). (3.94)
				i-	1	‘" 1			<=1
Коэффициенты		передачи		h0,h n			а	также		спектральные
плотности	S^(0), 5 (0) зависят						от		расстояния 2 /между

считывающими элементами дифференциальной схемы КЭС»

Статическая характеристика F(Д) для корреляционной функции поля, определяемой выражением (3.33), имеет вид:

F (Д) =* з2 {ехр [ - а2 (Д — /)2] — ехр [— а2 (Д +/)2]}, (3.95)

и, следовательно, коэффициент усиления коррелятора дифференциальной схемы kK в области малых отклоне­ ний (Д~0) определяется так:

= 4таЧе~аЧ\	(3.96)
д=о

На рис. 3.6 приведена характеристика F(A)/o2. Величину / целесообразно выбирать исходя из усло­

вия обеспечения максимума kK. Это косвенно гаранти-

112

рует и наименьшее воздействие возмущений. Выбранное по указанному правилу расстояние / назовем оптималь­ ным. Поскольку

dl	= 4rV (1	2а2/2) е—и‘Н
то из условия максимума		0^	находим
	al0pt =	1/1/2~	(3.97)
или, если учесть (3.38),
	lopi = У2Ы р.		(3.98)

В дальнейших расчетах предположим, что радиусы кор­ реляции поля / и помех датчика и блока памяти 6/д, 6/п

равны	'.между	собой (р =	рд—Рп). Введя обозначения:
		X = mjp, е = тд/р,		(3.99)
ДЛЯ I =	10р( получим
	’l’l(0) =	2 ^ р ^	• е —	X
			V2{1 + пе2)
х Ц [			- 2 е х р [ _ ^ ] +

+ е х р [ - < ^ « + '>’ ])).

•5,.„< °> = 2= Ч к = ^ ) .

а2	а2
Д	"п

=°2

=0,

5 (0) =	23-р	(от# + «я)2
5	(0) =	2з<р		,
		( т 1		а2 4
S (0) = 2а4р			-2 — 4
>л'	'	\	°2	°2

(3.100)

(3.101)

(3.102)

(3.103)

(3.104)

(3.105)

(3.106)

(3.107)

8— 527

113

Здесь	rrif, тд,	тп — математические ожидания	поля f,
шумов	датчика	поля 6 /д и блока памяти 6 / п;	сгд, оп —

среднеквадратические отклонения шумов датчика поля и блока памяти.

Рассматривая

соотношения

(3.89) — (3.91),

(3.93)

совместно,

придем к равенствам:

F t (Я, в) =

mf + m* 3 - _

V

(3.108)

И

Р,{Х,е) =

х \

(3.109)

где

\ = &VjV— относительная

ошибка

измерения ско­

рости; x = k e 2I V — безразмерный

коэффициент усиления,

Fi (Я, е) — V\ + (я/2)е*

ехр

(1 ^ л /2 \ — I)2

2 + ле2

“

“

P i

( У л/2Я + 1 )а

(3.110)

2 -f- ле2

2 + «-

_ F* (Я. «) .

F*(*. £)

М * .«) ’

(3.111)

(*,s)

1

1

(Vk/21 — [)2

Vl

— —-,ехо

Г_(у *

4- Л5

[

1 -f- ле

— 2ехр

W2)Я2

. ] + е х р [

1 -)- ле2

1 -(- ле2

1___

)Ауп

(1/л/2\— I)2

+ т ^ \ ехр

1

+ (л/2)е2

- 2

= х р [ - ^ Ш

- ] +

=

х р [ - 4 ^

Ш

^ ] | ;

(3.112)

3

4

2 v * .( ° )

+ 2 s , . v (0)

=

е

‘

i=1

'

2s4p

+

И 2(,+»-)

(еХР[~ ■(П +

^

' >’

] ~

2 - р

[ - ^

]

+

е

х

р

[ - <

^

’] })-.

(3.1,3)

Система уравнений (3.108), (3.109) является замкнутой относительно неизвестных Ян е . Можно избрать следую­ щий способ решения уравнений (3.108), (3.109). Для рас-

114

F2^0,002

0,001

0,00025

0,00004

О	0,2 0,4 0,6 0,8		1,0	1,2 1,4	1,6	jf -
		Рис.	3.7.
сматриваемого		уровня возмущений зд/з,			зи/з,	(т,-+ т д)/з,
т и/з, y — bVfV в координатах l = m j р,					е = зд/р построим
два семейства		кривых Fx(Я, е) =		const и ^		(Я, s) == const.

На рис. 3.7 такое построение проведено для достаточно высокого уровня помех, когда

Зд/з = зп/з =	0,5;	/пд)/з = /иц/з =	0,2;
	8V/V =	0,005.
Теперь задаваясь конкретными значениями безразмер­
ного коэффициента	усиления	х и выбирая из	семейств

{F,},	{/•"„} соответствующие (в смысле соотношений (3.108),
(3.109)) кривые Fx и		F2, в точках пересечения выбран­
ных	кривых получим	величины m j р, зд/р, соответствую­

щие заданному безразмерному коэффициенту усиления х . Например, значению х = 0,8-10'2 соответствуют Fх—0,67, F„ = 0,000064 и две пары возможных установившихся значений:

Подобным образом можно рассчитать установившиеся значения тА, зд и для других х . Следует отметить, что

вследствие нелинейного	характера управления	одному и
тому же значению х	соответствуют д в а	возможных

установившихся режима. Вопрос о том, какой именно установившийся режим наступит в КЭС, может быть решен при рассмотрении переходных процессов и на­ чальных отклонений системы.

8*

115

Если начальные отклонения не превосходят некоторо­ го предельного значения, то система приходит в область малых установившихся значений; если же начальные отклонения превышают этот предел, то наступает уста­

новившийся режим с большими значениями тА и

Подробнее этот вопрос рассматривается в следующей главе.

На рис. 3.8 показаны зависимости т д/р, ^д/р от х,

рассчитанные по указанной методике в предположении, что начальные отклонения были невелики и в КЭС на­ ступает установившийся режим с малыми ошибками. На этом же рисунке приведена зависимость полной ошибки управления Дп, под которой понимается

(3.114)

С увеличением коэффициента усиления k математиче­ ское ожидание ошибки КЭС падает, а ее случайная со­ ставляющая возрастает. Полная ошибка управления имеет минимум ДПтгп при к = 3-10“2, равный 0,175 р. Однако э т о т минимум не всегда может быть достигнут.

Дело в том, что зависимости зд/р, т д/р от х получены

для квазистационарного режима управления в КЭС, а условие обеспечения некоторой определенной степени нестационарное™ а режима управления ограничивает сверху возможные значения безразмерного коэффициен­ та усиления х. Поэтому может случиться, что не вся область, приведенная на рис. 3.8, соответствует заданной

степени нестационарное™ и, следовательно, не		во всей
области кривые этого рисунка верны.	выясним,	отчего
Чтобы разобраться с этим вопросом,
в данном случае зависит а. Степень	нестационарное™

режима управления определяется не только характером установившегося режима, но и всем переходным процес­ сом (в случае постоянного коэффициента усиления k).

Возможны различные подходы к определению а.

о

Поскольку случайная составляющая Д изменения сдвига между реализациями, ввиду ее знакопеременное™ и вы­ сокочастотное™, оказывает меньшее мешающее воздей­

ствие на вычисление	оценок корреляционных	функций
в корреляторе, чем	регулярная составляющая	т А, то

условие обеспечения заданной степени нестационарно-

116

сти а можно (в первом приближении) записать в виде:

шах	dmt	< а.	(3.115)
	ds
Переходя в уравнении (3.115)		от временного	аргумента

t к пространственному s ( d s = V d t ) , считая скорость дви­ жения V постоянной и предполагая, что система рас­ считана на работу в диапазоне (—Атах, Атах) с учетом соотношений (3.76), (3.79), (3.81), получим

шах dm,ds

Здесь

§X’ '

т -f —k— f- шах | h0(ms, ts) ms| J < a.

4m a x ’ 4max^

°°>

(3.116)

ms = mA(s), ts= 5a(s).

Так как шах | h0(ms, as) ms |,

m ,c z :(— Д	Д	)
8 '— 4	m a x '	m a x '
»,£(-«. oo)
согласно (3.89), меньше
		шах|й0( т 8, 0 ) т ,|
		tTls£=- ( А т а х , А т а х )

(см. рис. 3.6), то усиливая неравенство, условие обеспе­ чения заданной степени нестационарное™ (3.116) пере­ пишем в виде

kfV {т + bVJk -f- шах | h0(ms, 0) tns |} a.	(3.117)
m«e(-4m„*> 4шОК)

Если максимально возможное отклонение Атах, на которое рассчитывается КЭС, не превосходит значения Дэ, при котором функция h0(ms, 0) ms достигает экстре­ мума, то

шах | h0(ms, 0) ms \ = a2 (exp [— a2 (Amax — ms & - * maX’ 4ma*>

- If] — exp [— a2 (Amax - f /)2]};

если же Дтах> Дэ, то необходимо найти экстремум функ­ ции | ho(ms, 0)ms| по ms.

Рассмотрим последний вариант. Можно показать, что условие максимума \ho(ms, 0)/ns| имеет вид:

дэ/р + У2Ы = (дэ/р - У Щ ) ехр (К^Дз./р). (3.118)

Решая (3.118), получим Дэ = 0,95 р и m axj /г0 (т м 0) т8\=

= 0,89г.	т р Щ — Д , Д		)
	5	т“*
Подставляя полученные	результаты в	(3.117),	найдем
х < (а — WjV)	mf +rms /ип	+ 0,89 .	(3.119)

Уравнение (3.119) определяет границу сверху для безразмерного коэффициента усиления КЭС. Поскольку

из условия устойчивости х всегда должно быть поло­ жительным, то в рассматриваемой простейшей КЭС сте­ пень нестационарное™ а никогда не может быть меньше относительной ошибки измерения скорости.

На рис. 3.8 показаны границы форсированных режи­ мов управления со значениями ai = 2-10~2 и ct2= 4-10“2. Если в КЭС обеспечиваются форсированные процессы управления с a i^ 2 * 1 0 -2, то для таких режимов дости­ жимая точность характеризуется величиной Дптгп = = 0,23р.

При этом случайная составляющая методической ошибки коррелятора еще не играет существенной роли (Зд =0,11р) и полная ошибка управления определяется

118

исключительно влиянием	неслучайных возмущений WIV
и т ( т д = 0,215р).
Если же в КЭС обеспечиваются форсированные про­
цессы управления с «2 =	4- 10~2, то достижимая точность
управления составляет	Ааmin = 0 ,1 75р, причем влияние

случайных и неслучайных возмущений становится оди­ наковым.

Длительность переходных процессов в КЭС определя­ ется выбранной степенью нестационарное™. В частно­

сти, если рассматривать	переходные	процессы		в зоне
линейности статической	характеристики		F,	когда
/?/т(Д—l)—Rff(A + l ) ^ k KA,	и считать,	что	l— lopt, то

контур управления, приведенный на рис. 3.4, описыва­ ется передаточной функцией инерционного звена с соб­ ственной частотой

ш0 = } С 2 ^ ( Ь 7 р).

(3.120)

Временная длительность переходных процессов при этом

составляет величину 3/о>0= 3 |/е/2гс(р/£з2); пространст­ венная же длительность регулирования Lp определяется следующим образом:

Lp = 3 У~е[2т.р/V. ««(2/и) р.

(3.121)

Зависимость Lp/p от безразмерного коэффициента усиле­ ния х также приведена на рис. 3.8. Если а = 2 -1 0 “2, то Lp=120p; если же степень нестационарное™ режима управления увеличить до а = 4-10~2, то пространствен­ ная длительность процесса регулирования снизится до

Lp = 53p.

Проведенный анализ простейшей КЭС показывает, что пространственные спектральные свойства поля (опре­ деляемые радиусом корреляции р) являются тем естест­ венным масштабом, в котором измеряются достижимая точность КЭС и длительность переходных процессов. Чем более высокочастотным (в пространственном смыс­

ле)	является поле, тем короче длительность переходных
процессов и выше достижимая точность системы *>.
что	*> Здесь, однако, следует сразу же оговориться: вывод о том,
	длительность переходных процессов определяется исключитель­
но	радиусом корреляции	поля, справедлив	лишь	для	движения
в зоне линейности. При		наличии больших	начальных		отклонений
длительность переходных		процессов определяется,		главным обра­

зом, заданной степенью нестационарное™ режима управления а и величиной начального отклонения. Это будет показано в следующей главе.

119