книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

/ , = 4 - f e~ * s' d s'

N 'V

L =		exp {— [1 +	(1 + a)2](s2 — s.)2} ds.ds^
	^ ■	Я
	•о о
	V	V
I	“ —	exP {— [ H ” (1 + a)2] s? + 4 (1 + a) sts2—
* 3	Д/2
	0	0
		— [ 1 + (1 +	0+] S2 } rfSjrfs,.

Как указывалось выше, непрерывные КЭС работоспособ­

ны лишь при а				1; в этом случае
			/V	Л’
	_1_р			ехр { — 2 (1 + a)(s2 — + 2} ds2ds„
	,V2
		N N
	1 1*		exp {— 2 ( 1 + x)(s2 — + 2} ds,ds2— / 2,
	JV2
	о	0
				V
	Rff (0)			I NЯj exp {— aV} ds— 1 j2 +
				0
		N V
		j	J exp {— 2(1 + a) (s2 — s,)2} ds^ds^				(2.106)
		0	u
Введя	в	рассмотрение			функцию	Лапласа	Ф(г) =
У= -1 е	dt		и приняв во		внимание	равенство
о*

г

|ф (0 Л = г Ф ( г ) - 1— 0

90

найдем
	Vn ф(аУУ)	.	2 . , А -Ф [/2(1	+«)
R?i(0)	2 aN	1	- T Z V ъ V 2(\	+ a.) N
		[ _	e-2(l+a).V»

(1 +<*) N*	(2.107)

Сколько-нибудь приемлемая точность вычисления кор­

реляционной	функции		может		быть		достигнута			лишь
при N существенно большем 1;						в дальнейших оценках
всегда Ы ^ Б . При этом
ехр {— 2(1 + а ) А Ч - 0 ,				Ф [2 /2 (1			+	а)ЛГ]=* 1,
	Уп	ф (7/V)		— 1		1	"	"
Rff (0)		'	V'1' 1
		aЛ'				/ 2 ( 1		+ а) N
		№		ф (“Ч			,1*	,	У У г :	(2.108)
(1	a) N'1			a.N			Ч ~г		N
		- Ч 2
Отсюда получим, что
		О		Vк		Ф (a.V)
N —~\У2%/ / -		П								(2.109)
						аЛ'		‘П-
		(0)		2
На рис. 2.10 показаны кривые					N = N (aN),				вдоль	кото­
рых ошибка	en/Rffi0)		постоянна.			На	рис.		2.11 эти же

кривые пересчитаны в зависимости a = a(N). Из рас­ смотрения рис. 2.11 следует, что для любого фиксиро­ ванного Sn/Rffi0) существует оптимальное значение N 0pt,

91

при котором возможно допустить максимальную «естационарность режима управления а (а следовательно, и максимальное быстродействие замкнутого контура КЭС), не ухудшая при этом точности вычисления корреля­ ционной функции. На рис. 2.12 представлены графики зависимости степени нестационарное™ режима управ­ ления а и оптимальной длительности усреднения Nopt от требуемой точности вычисления дисперсии корреля­ ционной функции.

Приближенно можно считать, что отношение sn/Rfj{0) оценивает точность вычисления корреляционной функ­ ции для любых сдвигов г. Точную зависимость можно

было получить, рассматривая соотношение (2.102) и не предполагая /"(хд)= 0 . Последнее допущение было сде­ лано для сокращения математических выкладок и по­ лучения более ясных результатов. Физическое моделиро­ вание и практика показывают, что зависимости, приве­ денные на рис. 2.12, хорошо отражают связь степени нестационарности а и точности вычисления корреля­ ционной функции (а в более общем смысле — точности выполнения уравнений движения (2.56), (2.57) в непре­ рывных КЭС).

Введем разделение возможных режимов управления в непрерывных КЭС на типы, связав их со степенью нестационарности режима управления а.

Сильным квазистационарным режимом управления

будем считать	такой режим	управления, для которого
0< а< 10~ 3. В	этом режиме	управления уравнения дви-

92

жения (2.56), (2.57) выполняются с высокой точностью (если судить по рис. 2.12 — с точностью не хуже 10%). Для этбго режима при проведении статистических рас­ четов можно полагать, что спектральные плотности всех возмущений являются постоянными внутри полосы про­ пускания замкнутого контура непрерывной корреляцион­ но-экстремальной системы.

К слабым квазистационарным режимам управления

отнесем те режимы, для которых 10~3< ct< 10-2. В этих режимах управления также с достаточной точностью выполняются уравнения движения (2.56), (2.57) (если судить по графикам рис. 2.12, то точность составляет (10 ... 25)%- При теоретических исследованиях слабых квазпстационарных режимов можно использовать полу­

ченные в § 2.3 соотношения (2.70), (2.71). При рассмот­ рении воздействия возмущений нежелательно считать их белыми шумами, необходимо более точное описание спектральных свойств возмущений.

Форсированными режимами управления назовем ре­ жимы, которым соответствует степень нестационарности

10_2< а < 1 0 _1. Уравнения движения (2.56), (2.57) в фор­ сированных режимах выполняются уже неточно (соглас­ но рис. 2.12 ошибка eJRff(0) достигает (25 ... 55)%- При теоретических исследованиях еще можно использо­ вать уравнения (2.56), (2.57) для ориентировочных рас­

93

четов, но результаты этих расчетов необходимо уточнять путем моделирования или экспериментов.

Если степень нестационарностп режима управления

превышает 10-1, то	непрерывная	КЭС постепенно
(с дальнейшим увеличением а) т е р я е т с в о ю			р а б о ­
т о с п о с о б н о с т ь .	Приведенное	разделение	процес­

сов управления в непрерывных КЭС в известной степени является условным, но оно полезно, так как показывает, какой достоверностью обладают расчеты, выполненные на основании уравнений движения (2.56), (2.57).

С целью проверки теоретических результатов было проведено физическое моделирование по схеме, приве­ денной на рис. 2.9. Исследовалась дифференциальная схема непрерывной КЭС, т. е. в качестве оператора В рассматривался разностный оператор, а оператор А предполагался тождественным. Снимались статические

характеристики дифференциальной схемы для различ­ ных степеней нестационарностп. Результаты моделиро­ вания показаны на рис. 2.13. Они подтверждают най­ денную теоретическую зависимость .между степенью нестационарностп режима управления и точностью вы­ полнения уравнений движения (2.56), (2.57). В частно­ сти, статическая характеристика, соответствующая сла­ бому квазистационарному режиму управления (а = = 2,5 • 10—3) , отличается от характеристики, соответст­ вующей стационарному процессу (а = 0), в рабочем диа­ пазоне отклонений г на (25... 40)%.

94

Г л а в а 3

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ СХЕМА НЕПРЕРЫВНОЙ КОРРЕЛЯЦИОННО-ЭКСТРЕМАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ ПЕРВОГО КЛАССА

3.1. Вывод уравнений корреляционных функций возмущений в дифференциальной схеме КЭС

Известно, что в системах экстремального регули­ рования могут использоваться как поисковая (5], так и

беспоисковая (дифференциальная) [6] КЭС определения отклонения от экстремума. Применительно к корреля­ ционно-экстремальным системам определенными преиму­

Рис. 3.1.

ществами обладает дифференциальная схема, так как она более проста в реализации, а главное, в случае поисковой схемы КЭС в силу большой длительности вычисления корреляционных функций поисковые сигна­ лы должны быть очень медленными, что приводит к значительному увеличению длительности переходных процессов в КЭС.

Рассмотрим дифференциальную схему непрерывной КЭС. Канал х будем называть продольным каналом управления, а канал у — боковым. В дифференциальной схеме сигналы в блоке памяти снимаются в четырех точках, отстоящих от координаты zn на некоторое фикси-

95

рованное расстояние ± /, а затем с помощью функцио­ нальной схемы, приведенной на рис. 3.1, образуются раз ности этих сигналов, чем и объясняется название «диф­ ференциальная схема».

В продольном канале

фд;(^п) = /(Яп + /, Уп) f (Xп I, Уп),

(3.1)

в боковом канале

фу (Zn) = / (Хп, Уп+ О —[(Хп, Уа~

(3.2)

т. е. оператор Вх для продольного канала имеет вид:

Bxf{z„)=f(x„ + l, ya) —f(Xn—l, Уп),

а в боковом канале

Bvf(zn)=f(Xn, ya+ l)—f(xn, Уи—l).

Операторы ЛЛ, Ау считаем тождественными. Рассмотрим работу дифференциальной схемы непре­

рывной КЭС при движении по траектории гд(^), стацио­ нарной по отношению к полям g(zR), <p(zn). В этих условиях (для продольного канала х)

Axmf = mr, Вхт, = 0,	т= {т,; + т:х)т1и	(3.3)
AxBxRif(zд, 2Д—г) = R fj(xa, ух; хд + 1—гх, yA—rv) -
R f f ( x д , уЯ, Я д	I гх, У я— гу) =
= Rff(rx—l, rv) —Rff(rx + l, Гу),		(3.4)
AxBxRif(zxu 2д2—r )= B xRff(xд1, yAi; хдг—гх, удг		гу) —

= Rff (хяи Ули x& + l—rx, у&—гу) —% ( я Д|,							г/д4;
ЯД2—t—rx, yx2 —rv) = R fi(X + l—rx, Y—Гу) —
—Rff (X—l—rx,					Y—ry) ,		(3.5)
AxBxRff(zM, 2д1—г) ~ BxRff (яД2, ум; яД1						гх, г/дi	гу) =
= Rff{xД2,		Уя2’, ЯД1 +		/	Гх, 1/д1	Гу)
Rff{Xд2, Уя2\ ЯД1	I	Гх,	у	ry) —Rf i (X		1 + гх,	Y-{-ry)
—Rff (X + / + гх,					Y + г у ) ,		(3.6)
BxZRff {Zxl---г,	2д2		}') ~ B x[Rff(xД1			Гх, уД1	Гу,
Я д г + 1— Гх,	yx2— ry ) — R ff{ X x i— rx,					У я \— Гу\

Хд2— I— Гх, У м — rv)] —Bff{Xxi + l— гх, Уд1— Гу\

Х м + 1— Гх, У м — Гу) — R ff ( Я д 1 — / — гх, Уд1— гу;

96

х д2 - \ - 1		гх,	г/д2	ry) —Rff(xni-j-l—rx, г/Д1— ry\
Хдг l		гх,	г/д2	ry) + R^f(Xдi—/—гх,			г/д1—гу,
	Хда—/—/■*, у ^ —Гу) = —Я,}(Х—21,						У) +
		+ 2Rjf (X, Y ) - R ff(X + 2l, Y).							(3.7)
Здесь Хд	2д(^), Zfl!			2д(^1), 2д2=		2д(^2)>	==ЛСд (^) >Хщ=
= *д(М>	*д2= Хд(4),			Уд~Уд^),		Уд1 ~ У д ^ 1) ,		Уд%— Уд(Ь),
л=Хд2	дгД1, Y= г/Д2—*/Д1.					г)		продольного
Статическая			характеристика
канала	дифференциальной				схемы непрерывной				КЭС
определяется следующим образом:
	Fx{t, г) —Rff(гх—/, гу) —Rff{/x~Yl,						Гу)',		(3.8)
аналогично для бокового канала
	Fy(t> r ) —Rff(rx, ry				I)	Rff (гх, ry~\~l).			(3.9)

Математические ожидания величин Fx, Fy:

	ОО	00
m p ^ { t ) ~	j*	§ \ R f f ( r x	U Гу)	R f f { r x - \ - l ,
	—оо —со

	ry)\tо (г,,	гу) dr	dry
00	t,	t		(3.10)
	оо
^	J [ ^ / / (r.,	ry	1)	Rff (rx, ry -1-

—00 — 00

+l)p{r„ ry)drxdry

t, t

J

Из (3.8) — (3.10) следует, что в непрерывных КЭС продольный и боковой каналы взаимосвязаны, так как между ними имеют место перекрестные связи. При ма­ лых отклонениях гх, гу эти перекрестные связи слабы, а в области больших отклонений гх, гу они приобретают существенное значение.

Определим корреляционные функции различных воз­

мущений, действующих в продольном канале х.

ОО 00

t2) =	j j [Rff(rx — l, Гу) —
	—00 —00
Rff (Гх + 1, ry)X p (rx, Гу) drydrу —		f	f [Rff (rx—l, ry)
л.	и	J	C.

7—527

оо

ос

— Rff {Гх + U Гу)\р (гх,

Гу) drxdrу J

£ [Rff (rx — I,

гу)—

*’

1

—00—00

~Rf f ( r x +

l, Гу)\р(гх,

ry)drxdry.

/а,

tt

В

квазистационарном

режиме

упоавления,

когда

р{г Х9

гу) == р(г ,

Гу),

Rppit,,

t2)

не

зависит от интервала

^1,

t<i,

/2

разности

(t2— t,),

эта величина совпадает с диспепсией

Rff(rXI — l,

гУ1) — Rff (rXi - |- 1, гУ1);

RFF(tlt

t3) =

(

[Rft(rx— l, ry) — Rf f (rx + l,

ry) f p

(rx, ry)drxdry —

—00 —-oo00

'•>

00

00

j

j [Rff(rx — l,

ry)—Rf} (rx-\-l,

ry)\p(rx, ry)drxdry

-00—00

где

~

D\Rff{rxl

l, ryi)

Rjj(rx, + /,

ry,)\,

(3.11)

rx =

rx {t),

rxl — rx(t,),

•Уl Гу{^)-

Корреляционные функции

других

возмущений

опреде­

ляются

следующим образом:

V

»

Q =

Rff(X,

Y)\ —Rf f (X — 21, Y) + 2R„(X,

Y) —

OO 00

-

R

i f {X +

2l,

У)] +

J

j‘ [/?,/ ( X

- / +

rI> K +

ry) -

—QD—00

~ Rff (X + 1+ rx, Y -|- ry)\ [Rff (— X — / +

rx, — Y-\-ry) —

Rff (— X -\-l -\-rx, — У - f Гу)] p (rx,

ry) drxdry, (3.12)

R4l4l&, Q = Rff(X, Y)Run(X, Y),

(3.13)

Q =

Rm(X. Y ) [ - R f f { X ~ 2 l ,

Y) -f-

+ 2R„(X,

Y ) - R „ { X

+ 2l, Y)},

(3.14)

RMt(fu *,) =

Ядд(Х, Y) Run(X,

Y),

(3.15)

RHV, (*„ Q =

{.щ + mAf

[— Rff (X — 21,

Y) +

+ 2 %

(X,

Y) -

Rff (X + 21, Y)},

(3.16)

98

	(0. 0	) =	(W/ + Щд)2/ ? u u		(*. У ) .	(3.17)
			t2) =	m l R ff(X,	Y),	(3.18)
		(0.	k) =	ml R M(X,	Y),	(3.19)
			0) +	^ v,Vl(0. 0) =
=	{nij + ma) ma ^	J \Ri} ( — X — / +			rx, — Y + rx) —
	—00 —00
--- R i f	( ~ X + ^ + Гг)	---	У +	Гу) + R f f (X --- l -\~Г X)		^ + Г / ) —
	— Rff{2(.-\-l-\-rx, Y			ry)\ p (rx, ry)drxdry.		(3.20)
				h, 11

Аналогичным способом можно найти корреляционные функции для возмущений, действующих в боковом ка­

нале к э с .	вариант	одномерной	КЭС,	положив
Рассмотрим
Y=ry = 0, rx= r,	drx= dr.	При этом	формулы	(3.8) —

(3.20) несколько упростятся. Статическая характеристи­ ка КЭС примет вид

F ( r ) = - R ,f(r - l) - R ff(r + l).

(3.21)

Математическое ожидание и дисперсия -выходного сиг­ нала нелинейного элемента станут равными

тр (0 = J [R <](г — /) — Rij (г + l)]p (г) dr,			(3.22)
	—оо
	00
RPP(tu	0) = J \Rff(r — t) — R ff (r-\-l)Y p{r)dr —
	—00	1
— |	f [ R f f (Г — 1) — Rff (r + /)] P (r) rfrj	=
	°°= D [Rff (r, - /) - Rff (r, + /)].		(3.23)

Автокорреляционные и взаимно-корреляционные функ­ ции различных составляющих будут описываться соот­ ношениями:

R „ ( О,	0 ) = Я	W [ -	R f f (* -	21) + 2R f f (X) -
			00
-	Rff {X +	201 +	\ [ R f f (X -		1+	r) -
			—00
-	Rff (X + 14- r)] [Rff ( -			X -	/ +	r) -
	— Rff {— X + t + r)\p(r)dr,					(3.24)

7*

99