книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

Подставив значения e(g, <р)	и c(gt, g2;	?,), вычислен-
б *	Л,	Л, /,

ные по формуле (2.22), в (2.23), (2.24) и произведя интег­

рирование,

получим следующие равенства:

СО

00

00

00

m u ( t ) =

j

J

j

j g ? p ( g ,

_ f , _ r x, r y) d gd f d r xdry,

(2.27)

—00—00 —00 —00

V

гд

r*

*

00

00

00

00

K Uu ( t „ t t) = j

J

J‘ . . .

j j g . g M X

—00 —00—00

X p ( g i , g , ;

?„

rXi, гХй; r!A, r Jd g 'd g zd - ftd K X

гД1' 2Д2'

2Д1~ ri'

2д3—

t*

U.

t-i

X d r xXdrx2dryldry2.

(2.28)

Здесь и в дальнейшем

используются

сокращенные обоз­

начения

zA =

<zA(t), ?Д1 = SA(t}), гд2 =

гд((2).

В формулах

(2.27),

(2.28)

p(g,

ср,

гх, гу) и p(g,,

£2;

?„

?2;

‘ Д’

г.

1

Д1'

аД2’ ‘ Д1

гД2 Г“

гХ1,гХ2, гУ1, гУ2)

представляют

собой

частные

случаи рас-

и, щ ц. <,

сматривавшейся

выше

плотности

распределения р(Х\',

Х ,\

. . . .

W ’

R‘\

X 1*, R1'

X1*) при соблюдении условий (2.25) и

W - r . t;,

тх ,

тт

ту

(2.26). соответственно.

Уравнения (2.27), (2.28) описывают поведение дву­ мерных непрерывных КЭС, работающих по стационар­ ным и нестационарным полям как в квазистационарных, так и в форсированных режимах управления. Эти урав­ нения справедливы для разных способов определения отклонения от экстремума; они учитывают преобразова­ ния полей, возникающие при приеме сигналов датчиком поля, а также при изготовлении и воспроизведении карт полей. В различных частных случаях уравнения (2.27), (2.28) могут упрощаться. Если случайные функции

GO

Ф ( £ п) и	МО. МО cfatiictiHiecKn				независимы
P ( g >	? ,	Гг, М ^	P ( g , ? )	/ М х, /-у),
2Д’ гд- г ,		л f	2Д' 2д - г	'•	t

P ( g u f t ;

2Д1' 2Д2’

= p ( f t . f t ;

7ДГ' гД2'

г д - г , ;

_ V

2Д1

?2»	^Х1>	? Х2» VI» ? У2) ---
2дг—'ai	б ,	П;	П.	t а
4*2)	Р 0	XI,	^Х2,	r y i , Г у г),
г‘' гд2- г а		6 .	М

и после элементарных преобразований, в процессе кото­ рых учитывается (см. [64J, стр 82), что

00

СО

j

j‘ g?P (ft

_? J dgd? — M {g (2 „) <p(?д — 0} =

— C O — 00

2 д* 2Д r

=

Kg9 (*д, 2Д

i ),

— DO

CO

00

OO

f

j

5

Jftft'P .ftP tei.

ft;

ZA1~

?,) dg,dg2d f,d f2 =

—00 —00 —00—00

Zfll'

ZA2’

ZA2—Га

= M fe (гд.) я (zM) ? (гД1 — r ,) f (2да — r,)},

получим следующие

соотношения:

00

OO

mu (t)=

j‘

jK gip(zA, 2Д— t )p{rx,ry)drxdPy,

(2.29)

—00—00

00

00

00

00

I

l l

J ^

(2дО § (2дг) 9 (2Д1

—00 —00 —00 —00

*2)} Рi^xi* Гх*') ^ур

drXldrХ2 drt/idty2,

(2.30)

tlf

ti,

ti,

12

Если^ кроме того,

поля g (гд), <р (za)

таковы, что для лю­

бых гД1, гД2, ги1, zП2

Z

совместное распределение

вели­

чин g [гД1], g [гД2],

9 [zU2],

<р[гП2]

является

нормальным, то

(см.

[65], стр

78)

справедливы следующие равенства:

м {ё (?д.) g (2Я>) ? (,?д. ~

Г) ? кд2 — ' г)} =

= Kgg (2Д1, 2Да) Kw (? Д1

гД2

т2)

+ Кв9 (2Д1, гД1 — /',) Kg9 (?Д2, гД2 — Г2) +

~f" Kg(p (5 д ,,

2Д2

- / 2) Kg9(ZA2, 2Д1

I ,)

—

2m g (2Д1)

(еда)

(ед, — Г,)

( г Д2 — Г,)

(2.31)

61

	Кии К,. t») =
I—0000I —0000	—0000sKeg (*Дs1. 2Дг)К99 (2Д1 гп 2 Д2 ' 2) X

X P (rxu tu

00 00

y'N «i -6

-00 —00 —оо —00

ГX21 Гуг, rV2)drxldrX2dryidry2 + *з‘> и. и

>2дГ	^l) Kg(f(ZA2, Еда Гг) Р{rXIг Гхг,
	t\*
00	00 со 00

Л/1, ryJ d r xtdrX2dryidry2 +

^

j

J

j Kg4,(zSl, гД2 — F2) X

—оо —оо —оо —оо

Х К я (гИ1 '^Д1 — ri) p{rx\> r-x2i ryi»^г) drXldrX2dryidry2

от

+

4'

i.

i.

^1*

^1.

^2

— 2mg (zAl)mg (zAS)

VAJ00

00SA/

00

Wоо

j

J

J

J m, (2Д1— Г,) m, (2Д2 —

—СО—00—оо —оо

—>,) p (rn , r„;

rtfl, ry2) drXidrX2dryidry2.

(2.32)

П»

Ш Н»

В случае стационарных и стационарно

связанных в про­

странственном

смысле полей,

когда

Л е((Д 2 д, Ь д ---- 0

=

K g v (

г)»

K g g ( '2 fll,

2 Д2) = ; /Cgg ( г Д2

, Д1),

Кц,9 ( 2 Д1

Г1> 2 Д2

^ — K w (2 Д2

г д1 >2 " Ь ' А

K g(j) ( г Д1, г д 1

^ i ) =

K g9 (i ])»

K g(j( ( 2 дг>

2 Д2

^ г)

—’ K g(p(

/"г), К е т ( г Д1, ?Д2

^г) =

К „ ( 2 дз

2 Д1'г)»

K g 9 (2 дг> 2 Д1

1 1 ) —

K g(p ( г Я1

г Д2

/ , ) ,

та (2Д1) =

Щ (гД2) =

т8, mv (кД1 — г,) =

m9 (zA2 — г2) = т ф,

возможны дальнейшие упрощения:

00

00

пги (0 =

j

j

Кв9 (— /;)

(j>, ry) dr*drv.

(2.33)

—00 —00

00

00

00

00

Kuu >^2) — J

^

j

jj Kgg (гД2

еД1) Kw (12д2

2Д1

—00 —00 —00—00

— »2 +

', )

P (rx„ r „ ;

ryi, ry2) d rxld r X2dryidry2 +

H,

t„

H,

/,

62

+ И 1				1'
—00—00 —00—00
	00	0O	00	00
X drXldrxtdrVldry3 + j		j	J	f
	— 0 0 — 0 0 — 0 0 — o o
^ ^Д2	) P if x\j ^T2i ry i» ^уг)
	Л,	*2,		f,t /a

ГХ2>r’jiy rm) X

U\ tu t ,

(сДа —X, -

d f Хх<1гX2dt'y-idfy1

			- 2 m V ,			(2.34)
где	7\ = Г ft), r2 = / ft),		г = r (t).
	Интересно отметить, что даже при стационарных
полях g(zn), (p'(zn) процесс u(t) на выходе					коррелятора
не	о б я з а т е л ь н о	оказывается		стационарным.			Это
зависит еще от вида траектории				zR{t) и от характера
изменения рассогласования r{t).
	Когда rx(t),rv {t) являются детерминированными функ­
циями и их плотности			распределения р (гх, гу), р (гХ1, гх„\
rvi> ryz) вырождаются		в	8-функции	t	t	t„	t,C
				(вообще		говоря,	это
^1»	^3

предположение несправедливо для замкнутых непрерыв­ ных КЭС), математическое ожидание сигнала на выходе

коррелятора равно		корреляционной функции Kglf(>У, в этих
условиях
		(0 =	Kg„ [— /“(0],	(2.35)
Kuu ft >4 ) =	Kgg [2дз		гД1] Kw [гД2 2Д1 г ft) -{-
+ * ft)] + КЙФ[ -		г (Л)1 Kg9 [-Г ft) ]+ К ет [Е-д ft) -		?д ft) -
— г ft)l	1?д ft) — 2 Дft) — Г (/,)] — 2т2ml .			(2.36)

2.3. Уравнения движения непрерывных корреляционно-экстрем альны х систем первого класса в квазистационарном режиме управления

Принцип действия непрерывных КЭС во многих случаях может быть объяснен и доказан лишь для спе­ циального класса режимов управления, получивших название квазистационарных.

63

Сформулируем условие квазистационарности режима управления. Рассмотрим последовательность вероятно­ стных пространств {Q, @, Рп}, заданную последователь­ ностью согласованных семейств плотностей распределе­

ния	Р ( х 1'	2 ’		“ 3
	'д'	Z	,	Т
Пусть		число		а	[0, оо];		найдем множество Саточек ю
таких, что		если ю ^ Са, то для любых tk,							£г G £
	V	('*) -			('.)]* +	[*4Ш(*д) - *4,о ('«)]*			а.	(2.37)
					*'д(0	+
где	скорости		x \(t), у'A(t)				определяются траекторией
движения <гд(0-				Са принадлежит а-алгебре					©. Зафикси­
руем	п	и рассмотрим				множество Qn			таких	а, что
Рп (Са) = 1. Найдем					число ап,			равное нижней грани зна­
чений а, взятой				по множеству Qn
					ап =	inf		а,		(2.38)
						■е?»

и будем называть «„ степенью нестационарности режи­ ма управления, соответствующего семейству

z .	х [\		х 1; ,	х ;)1 .	(2.38а)
	Z	.	т	т
а*		н»	х’	у

Степень нестационарности ап имеет простой физический смысл. Из определения следует, что если для некоторого семейства (2.38а) степень нестационарности равна

то это означает,	что с вероятностью 1 скорость г /			изме­
нения отклонения г по пройденному пути
	« =	( 0 + ^ ( 0	Л
не превосходит	ап, а	максимальное	значение г /	рав­

но cin. Такой физический смысл степени нестационарно­ сти используется в дальнейшем для доказательств.

Введем несколько определений. Траекторию >zA(t) бу­

дем называть стационарной по отношению к полям g']zfl], f (zn), если для любого постоянного г случайный процесс

Я[гд(Л1 \

является стационарны м , т. е. для

W A t ) - ? ] )

64

любого т и любого Г
р ( Х \ ',	Х 1: ) = р { Х \ \	Х‘3),	(2.39)

где R = {r, г...... г).

in раз

Начальное отклонение г(/0) будем называть статисти­

чески независимым от полей g(zn), <p(zn),					если		для лю­
бой последовательности координат £'Д1>...					z .;	<zUI...... 1п[
и любых чисел		х а„ ....		x2if
р ( Х \\ X 2\l	x ai, x tl) =	p ( X li,	X h) p ( x ai, x tt),				(2.40)
V	to, to	Д	Z	u
		Z ,
где t0 начальный момент		времени,		p (x si’, x it)—плотность
распределения	начального			to>	to
		отклонения r {t0).

Докажем вспомогательную лемму. Будем рассмат­ ривать последовательность семейств плотностей распре­ делений

		{Р- ( х 1;,		х\2 ,			х ‘з ,	x 'i)},
		Z .		7,		,	Т ,	Г ,
			д’		гГ		ж’	Ь
ооладающих специальными свойствами.
1.	Для	любого п
		р"(Х\',	Х 1)‘	=		р°°{Х\', Xi*),			(2.41)
		Z .	Z	"		У	Z .	Z„
		М >	/				v * “i
		д	п				Д
Физически		это означает,		что			для любого п поля g(z%)
и cp(zn) обладают неизменными свойствами.									г (to) и поля
2. Для любого п начальное отклонение
§ (zH),	и ф'(гп) статистически						независимы,		причем
		РП(х и ,’ х „ ) ^ Р ( х зР х м)-							(2.42)
		to,	to				to,	to
3.	Последовательность				степеней нестационарное™ а„,

соответствующая последовательности семейств плотно­

стей распределения {рп (X'1,	Х!,*,	Хд, Х^)}, стремится
7 . ,	К	Т ,
Д	"
к нулю, т. е.	■0 .	(2.43)
п-+0

5— 527

65

Условие (2.43) характеризует режим управления. Рассматривается последовательность режимов управле­ ния, обладающих все большей квазистационарностью и в пределе стремящихся к стационарному режиму управ­ ления (квазпстационариость режима управления тем выше, чем меньше степень нестационарностн ап) ■

В этих условиях справедлива следующая лемма. Лемма 2.2. Пусть траектория движения является ста­

ционарной по отношению к полям £ (гд), ф'(гп) и после­ довательность семейств плотностей распределения

{рп ( х \ ,	х ;\	х ;\	х;;)}
обладает свойствами (2.40) — (2.43).			Тогда рп сходится
к некоторому предельному семейству
С1	х-	xs ^	)
	7.

п случайный процесс

/Т? {‘Д(0J

I ?[?д(0 - ? ( 0 ]

I Гх (О

V v(0

соответствующий этому предельному семейству плотно­ стей распределения, является стационарным.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для любых фиксированных чи­

сел

12, 13,

I ,,

Х п1 . . . ,

л'з 1 >

•••’ x 3 i3>

X4 i>

х Аи\ любых

фиксированных

координат

ТД1, ..., 2Д(. ;

.; t . ,

..., t . \

t

у 1

...,

t

.

и любого

e >

0

сущест­

It*’

xw

1 xis’

,

y it

вует

ne такое,

что для

любого

« > я е рп (Х‘{ ,

Х‘,\ Х 3 ,

,

7 ~

Т ,

Д

И

SC

Х^) =

0, если

только

среди

х 3,, ...,

x 3j

или

х 41,

...,

х г

т у

числа: х 2к,

х и

либо

x im,

x iS

таких,

что

имеются два

( x 3k— Л'3г | > s

либо

|л',т — x.ls | > s.

Данное утверждение вытекает из условия неограни­ ченного убывания степени нестационарное™ ап; оно лег- G6

ко доказывается

от

противного.

Отсюда

следует,

что

предельные

[плотности

вероятности

р00(X‘l,

Х [‘,

X'* ,

Z „ .

X ,

Т

,

Д

И

X

X 4) отличаются

от

нуля

только в точках лт31—А',„—... =

т

У

— х 4и = х^.

Поэтому

справед­

= x 3i3^ x s'> х ц — х ^ =

ливы следующие утверждения:

V

■^2 ’ *^*31 ’

■^'32» Х4\)Ф 0

(2.44)

Z п :

txl, tх2\ *У1

лишь для х31 = Хзг',

V . .. . г

р °°(х ‘;

(2.45)

J ■Л\1П Л11< х и ) ф 0

Z . .

V

'хГ

'„I-

*Ы2

лишь для л41 — х 42\

/700 (Х*1,

Х'*\

x sl,

Л',,; х41,

х42) ^

0

(2.46)

*«■

^х \ ’

*х2‘ *У\’

*У2

лишь для Хз1 = х32

и ^41 = ^42

одновременно и т. д.

С помощью

простой

проверки

нетрудно убедиться,

что соотношениям

(2.44)— (2.46),

... , а также условиям

согласованности

распределений

удовлетворяет

лишь

предельная плотность вероятности

р °°(Х\х

х 1: ,

х 1-

Х?) =

р00(X

V4*

,)Х

А2 ,

' д’

Г

X 5 (Х12

-Hi^

^ (X3i3

"Hi) ^(-'-12

-Hi) • ■• ^ (-^4/,

Хц).

Из условия неограниченного убывания степени нестацио­ нарное™ ап следует, что

P°°(Kl > х 2 ’ x u,	x il) = p'*(Xil',	Х'П л-31. x j . .	(2.47)
'д’	'д’	^0>

Дополнительно, учитывая статистическую независимость начального отклонения r(t0) от полей g(za), q>(zn), по­ лучим предельное семейство плотностей распределения:

р°°(Хh1	х;\ Х^, Х ^ ) = р а (К>	К ) р { Х п \ Х41)Х
Z ,	Z	и, и
X 8 (Хз2	-^ л ) ••• ^	X |l) ••• 8 ( ^ i , Х ц)"
о		(2.48)
		67

В квазистационарных режимах управления (при ап— ^0 ) постепенно пропадает статистическая связь век­ тора отклонения г и полей g(zp) и <p(zn); в пределе (при а<х, = 0 ) такая связь отсутствует.

Определим теперь семейство плотностей вероятности

предельного случайного процесса Е(ш, t). Воспользовав­ шись формулами (2.22), (2.48), получим следующее соотношение:

e°°(X j\

Х*‘ , X*’ ,

X j< ) - /? (X j\

Х ‘п

p(x3l,

X J X

ТГ

V

X

ТУ

X'V- W - *

х а) •

X ^ (х33

а 31) ... 5 (a 3(-s

а 31) 5 (-V42

-^4 1 ) ••• ^ (X4i,

(2.48a)

В этом соотношении, так

же как и в двух последующих,

R =

(f, г,

...,

г} *а Г= ( Х*Л.

Si О раз

\*^41 /

Зададим произвольное смещение по оси времени

на ве­

личину т,

тогда

е°° (Xj1 ,

х ‘%

х ;\

х ;‘ у = р ( х х .

х у ) х

r g+ t,

Ту +t,

Tx +t,

Ту +Т,

2Д (*g+ х),

Z ^ ( t y + x ) —R

X

PtiX31’ X4l)^ 0^32

-^3 1 ) ••• K(x3ia

X3l) ®iX42

tot

t0

I

| -

х41)...5 (л:4.» -Х 4,).

(2.49)

Здесь

Ts +

T =

( У +

т>18о+

T> У

+

x)'

7\

+

^ =

— { у + т> У +

'с- •••> У

+

т}>

Tx +

Z =

{tx1 +

'C>

tx 2

+

T ,

. . . ,

- j - т }

,

Г у

- | -

X =

— {X +

T> Х +

т» ••••У +

х}-

Если траектория движения zA(t) стационарна по отноше­

нию к полям g(zA) и <f>(izu),					то правую часть				соотноше­
ния (2.49) можно записать так:
	р (X1; ,		Х‘а)	р(х„,		л-41) § (л-32 — л-„)...
	W	’ 2д (<9		) - «	<0.	у
			-*"3l).^ (.-^42!			А41) . . . 6	-	^ 4 .);
е 00 (X j* ,			х ;%	х ; 4) =		е 00 (X j1	Y h	Y*a	V*< \
							» ^ 2 * ^ 3 » ^ 4 )>
V * -	^ + t,		7*+ Т’ ги+т			X	Г	т ,	Г,
							*9 ’	ж'	V

68

т. е. предельный процесс g (со, i) является стационарным. Лемма 2.2 доказана.

Итак, установлено, что квазистационарность режима

управления означает близость случайного процесса c,(t) к стационарному. Для реализации квазистационарных режимов управления необходимо уменьшать степень нестационарности ап. Для этого требуется, чтобы про­ странственная длительность переходных процессов от­ работки отклонения г в непрерывной КЭС намного превосходила длину пространственного интервала, не­ обходимую для надежного вычисления взаимно-кор­ реляционной функции полей g-(z„) и <p(zn). Такая трак­ товка квазистационарности режима управления не про­ тиворечит другой известной трактовке этого термина, употребляемой в теории непрерывных систем экстре­ мального регулирования (см. [4]), для которых квази­ стационарность означает медленное протекание процес­

	сов в рабочем контуре управления по сравнению с по­
	исковыми движениями.									а
	Определим математическое						ожидание
										т п (t) и кова-
		а	t«)	случайного			процесса			«(/), соответст­
	риацию К
	вующие	различным степеням нестационарности
			0 0	0 0	о о	0 0				r„ ?y) X
	n i j	(t) =	J	j	f	J g'fpn(g,		?,
			— C C — O O — 0 0 — 0 0				V гд-г'			*■ 1
					x dgd<?drxdry,					(2.50)
						0 0	0 0			X
							J g i g №
						— C C	— o o
	y p n(gi,		g2;	<p,			rXi,	r,;2;	гУ1, гy„) X
		2д.’	гД2;	гд,ГГ>'		гД2- ^ :	U,	U\	u,	\

X d g . d g j^ d fjr ^ drX2dryidry2.

Зафиксируем t и рассмотрим первый из этих интегралов. Поскольку схема и свойства интеграла Стилтьеса могут быть без труда распространены на многомерный случай, функция распределения

	S V	Г Х	гу
-• Г у )	= \ $	1"	( Рп
^ д ' 2д г> ** ^	—оо —оо —ос —оо			г д . 2Д г,
гХ1	ry)dgd<?drxdry.			(2.51)
t.	t

69