книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

Искусственно случайный процесс						u(t) можно рассматри­
вать как	процесс,		протекающий			в схеме,		изображенной
на рис.	2 .8 , где		г (t) — векторная				случайная		функция,
заданная	плотностью			вероятности			р(гХ1, гХ2;		гУ1,	гУ2);
ABRff[zA(t), 2Д(t) — г] — нелинейное							<ь	t3;	t,,	t2
							преобразование; т—
постоянное (неслучайное) возмущающее воздействие;
т = (Arrij -f- тА) (Bmf -f- mu); ъ					q„	qs,	q„ v„ v2,		v3 и v4—
шумовые воздействия, соответственно равные
т) {t) = Af (гд) Bf (2Д— f) — ABRjf (2Д,								2Я — Г), (2.74)
		<7.(0 =		3/и(2д — V)Af(eA),					(2.75)
		9* (0 =		8/д (2д )5/(гд — Г),					(2.76)
		9з (0 =		д(гд) 6/ц (2Д— /),					(2.77)
		V, (0 =		(Лт/ +	т д) Д/ (гд — 7),				(2.78)
		V, (0 =		{Arrij +	m„) 8/д (2д -			г),	(2.79)
		vs{t) =		{Bm, + m u) Л/('2д),					(2.80)
		v4 (0 =		(Вт} - f та) 8/д (?д).					(2.81)
•	©	о					значения		поля	/ и
Здесь /,	8/ш	6/д — центрированные
помех 8/ш 8/д.
Докажем возможность представления
u(t) = F (t,		i ) -|- т -(- 7;(t) -f- qi (0 -j- q2 {t) -j- qt {t) -f-
	+	v, (0 +		v2 (t) -f v3(t) +			v4 (0 -		(2.82)

80

Определим математические ожидания	составляющих \
qu vj:
тт,(0 = м И / (?д) Bf (гд - г) —	(2Д, 2д— г)} =

00 00

=j 5 < М { Л / ( 2 д) 5/ ( 2 д- , ) / Г } -

—ОС — со

— A B R f f (£д, 2д — r ) > p ( r „		r„)d rxrfr1/ = 0;
mq {t)==mqi(t) — mq3(t) — 0 в	силу	некоррелированности
‘ §/д, 8/u; mVi(0 = mV3(0 =	mV3=	mVii(0 = = 0 — в силу

•• •

центрированности /, 8/д, 8/а. Поэтому

/и„ (/) =

(0

+ m =

j

j' ABRfj (?д, 2д — г ) Х

— 00 —

00

X Р (г*,

гу) йг,4гу + (Arrij +

т д) (£/пу + т ц).

*,

t

Э т о

равенство

совпадает

с (2.70).

Рассмотрим автокорреляционные и взаимно-корреля­

ционные

функции

составляющих

F, у, qu Vj.

Сначала

определим R ^ it,,

t„)\

Rm {ti,

*.) = М{[Л/(ёД1)Я /(г Д1 — r,) —

-

ABRi t (zAl,

2Д1 -

r,)j [Af (гда) Bf (гД2 — r2)—

ОС

00

0 0

0 0

- A B R j t ^ ,

z*a- r 3)J} =

J

J

J

J {M [Af (2Д1) X

— 00 —00 —00 —00

X 5 / ”( 2 Д1 -

/у ) Af ( 2 д г) 5 / ° ( 2 д 2 — r a) / r „ r a] -

-

A

B R } f

{ г Я 1,

2 Д1

r,) A B R f f

(2д2,

2д2— F2) } X

ХР(гх.. г*2; Гу,, ry2)drXldrxtdryidry2.

и.

/,

Как

и ранее,

предполагаем,

что

для любых г,, га, г„

240

Z

совместное

распределение

случайных

величин

6 - --27

81

f(z,), f ( z a), f			(z,),	f( z t)		нормально; поэтому
					00	CC 00		00
					j	j	j		?« )X
					— 30 — 00 — GO — 30
		X ^ R j i (=Д1 —				г 1.	ZAz — rs) +		ABRu ( 2 д „
			2 Д2	1	''n) ABRfj ( 2 д 2 , 2 д ,				/ , ) ] X
		Xp(rxi,			rXi;	ru„	ru„)drxldrX2drVidrva.
			U.		t2'.	U,	t2	управления выражение для
В квазиста ционарном режиме
R ^ it,,	ta)	упрощается:
			Ry\H^1» ^2) — ^ Rff(zД1>2Дг)Х
	00	30	ЛМ** — г> 2Д2 — г)р(':х, Гу) йг*с1гу+
X	j	J
	—00—00							и .	Л !
	00	00
+•	^	j А£/?//(гД1,				ЛД2	Г) ABRff (2Д2> 2Д1 О Х
					Х р (гх,		>'у)drxdry.		(2.83)
						о,	ц

Найдем автокорреляционные функции других возмущений.

Будем считать, что для любых							zu,	zA^ Z совместное
распределение случайных величин							о		о	о
							f(zA),		bfK(zA),	8/u(zu)
является		нормальным.		Тогда,		используя			закономерности
нормального распределения,					нетрудно			установить,		что
			■AaRtf (zД1>		ос	со
V »	ОБ									O X
			Х р О'х,		Гу) drxdry,					(2.84)
				t„	о
			RqJ t ,	^				S)X
	00	00
X	f	\R Rjj{zA\		^да		O p O*’ ly)drxdt'y,				(2.85)
	—oo—oo							ti
				t-i) — Rrh(zAi>^дг) X
	X	OO	00	г, zД2						(2.86)
		j*	J Riux (2Д1			i)p(rx, ry)drxdi'y,
	—00 —OO						6"	6

82

		СО		00
* ,Л	+ тяУ	[	jB~Rff (^д, — Г,
?Д2— ?) Р {гу:,		—00 —00				(2.87)
		Гу) drxdry,
			00	00
**) = ( A m f + т л Т			J	J
			\	{ R u n (2д, —
		— 00 —ос
~	г, 2д2 — /■) /7(г.г,		Гу) б?глг/гу,			(2.88)
^v3v3^i>	) ==( ^ mf~hmll)~A2Rff(z^,				zns),	(2.89)
	^) = ( 5 т / +	оти)2/?дд(гД1,			гД2).	(2.90)

Взаимная корреляция наблюдается лишь между возмуще­ ниями v, и v3. Все остальные взаимно-корреляционные функции случайных процессов F (t, z), n(t), q^t), vj(i) no различным причинам равны нулю:

^ = 0 в соответствии с определением возмущения

^Fq2’ RFq3’

’

Равны

нулю в силу

взаимной некоррелированности

/, 8/д> 5/ц

и статистической

независимости

вектора

г и

/, S/д, 8/п

в

квазистационарном

режиме

управления;

V *

^ ’1»*’ ^?1»1 ’

^<7|VJ ’ **„•

’

Rq^* ^(?2v3 »

R ^ Z q ^

Z

q ^ Z q ^ K

,

РЗВНЫНУЛЮB СИЛУ С В О Й С Т В

совместного

нормального

[распределения;

Rqq , Rqq3 .

Я9а?з равны нулю в [силу

некоррелированности

/, 5/д,

8/и

и нормальности совместного

распределения

/,

8/д,

8/„;

^v,va >

-

Я

• * .л -

равны

нулю в

силу

некорре­

лированности /, 5/д, 8/„.

и

ftViVi(f„ f2):

Определим RViV3(tit t2)

RV,V3 (*.. *a) = И « / +

mA)(Bmj +

mu) M {Bf (zKl —

—

О

) л

/ ( * д а ) } =•■

(Ami +

+

д а и )

X

00

00

о

X

j

]‘М{В/(2Д1

r ) A f ( z ^ } p ( r x, ry) drxdry =

—

О С

—

0 0

(Amf + mA)(Bmi-\-tna)

f

fABRfJ (zM, гД1 — г) X

—00 —00

(2.91)

X p ( r x,ry)drxdry.

*u

и

6*

83

Аналогично находим

ЯV3Vl (ty, U) = (Amf + тА){Вт, -f ma) X

OO00

xj j ABRfi(zM, 2Д2 — Г)р(гх, r^)drxdry. (2.92)

—00 —oo

1’ ’

Суммируя соответствующие автокорреляционные и взаимно-корреляционные функции случайных процессов

F(t,r), 7\(t), qi{t), Vj(t) найдем, что функция

Я««(*„ t2) — RFF (tlt t2)-\- R ^B t, t2)-]- Rgiqi(tt, t2) -f-

+ R q r tS * "	4 ) “Г	4 ) +
+ ^vIv3(/i> ^) + ^ V3Vl(^» ^) +	^ V3,3(^. ^) +	^v4v.(^» *2)

в точности совпадает с соотношением (2.71).

Проведенное выше исследование доказывает воз­ можность перехода от аналитических зависимостей (2.70), (2.71) к структурной схеме, представленной на рис. 2.8.

Обсудим кратко физическую сторону полученного структурного представления. В непрерывных КЭС по­ лезной составляющей выходного сигнала блока пере­ множения является ABRffcEA(t), zji(t)—г], связанная с отклонением Р нелинейной зависимостью. В случае

стационарности траектории zA{t) по отношению к полям
g(zA) и	<p(zn)	выражение ABRff[zA(t), za(t) —Р] пред­
ставляет	собой	с т а т и ч е с к у ю х а р а к т е р и с т и к у

этой нелинейности.

Возмущения qi, <72, q3 можно рассматривать как инструментальные погрешности, обусловленные ошибка­ ми датчика поля и ошибками, возникающими при воспро­

изведении поля в блоке памяти.	Помехи vi, V2, vs, \ч
обусловлены нецентрированностью	исходного поля f(z)
и математическими ожиданиями	тя и тп возмущений

б/д, б/п, а также случайными составляющими возмуще­ ний 6/д , б/п- Если исходное поле центрировано (mf = 0), а математические ожидания ошибок датчика и системы

воспроизведения	отсутствуют, то		все v3	обращаются
в нуль.		возмущение ц является ме­
По физическому смыслу
тодической погрешностью.		Оно	возникает	вследствие
того, что время	вычисления	корреляционных функций

■84

в непрерывных КЭС конечно. Даже в том случае, когда

поле	f (г) измеряется		датчиком		поля	без	ошибок
(^дд = 0, т д= 0),		воспроизведение			поля в	блоке памяти
осуществляется идеально			(Дпп = 0,		ти= 0),	а математи­
ческое	ожидание	поля f	равно	нулю, на		непрерывные
КЭС	все равно	воздействует		методическое			возмуще­

ние Г) (t).

2.4. О допустимой степени нестационарности режима управления

Доказанная в § 2.3 теорема 2.1 носит качественный характер. Согласно этой теореме можно считать, что уравнения движения (2.56), (2.57) выполняются с лю­ бой точностью, если только соответствующим образом выбрана степень нестационарности режима управле­ ния а. Однако связь степени нестационарности а и точ­ ности выполнения соотношений (2.56), (2.57) пока не выяснена. Ниже будет показано, что степень нестацио­ нарности а является весьма важной характеристикой при рассмотрении динамики непрерывных КЭС. Многие предельные показатели непрерывных КЭС, такие как: достижимая точность управления, длительность переход­ ных процессов, допустимый уровень различных инстру­ ментальных погрешностей и т. п. — в конце концов определяются допустимой степенью нестационарности режима управления.

Поэтому весьма важно установить связь степени нестационарности а и точности, с которой выполняются уравнения (2.56), (2.57). Для строгого решения этой за­ дачи необходимо было бы рассмотреть общие уравнения движения непрерывных КЭС (2.23), (2.24), что довольно сложно. Поступим иначе. Для частного случая найдем теоретическую связь степени нестационарности а с ошиб­ кой выполнения равенств (2.56), (2.57); затем сопоста­ вим теоретические результаты с данными физического моделирования и на этой основе проведем качественное разделение процессов управления в непрерывных КЭС на несколько различных возможных режимов управ­

ления.

Рассмотрим движение в разомкнутой системе, приве­ денной на рис. 2.9. В отличие от схемы, представленной на рис. 2.7, здесь после блока перемножения включен фильтр, осуществляющий операцию вычисления «сколь-

85

/ [ХцМ-гЦй в У	7	u(t)	7 Sи(t}d t	tuft)
/	\		>t-T
	' 9[хдft!]
f	e	w
	Рис. 2.9.

зящего среднего». Включение подобного фильтра в той или иной форме необходимо в любой непрерывной КЭС, так как в КЭС операция вычисления корреляционных функций производится при помощи усреднения сигнала произведения по времени.

Будем считать, что ноле f центрировано и стацио­ нарно, корреляционная функция поля определяется ра­ венством

R f f (X) = RfI(0)e-a'x\

(2.93)

датчик информации движется равномерно со скоростью

V (хяу ) = Vt), процесс			r(t) является		детерминирован­
ным и r(s) -изменяется			линейно: r(s)= r(x n) —гх'(хд—5).
При	такой	постановке	задачи	степень	нестацпонарно-
стп	и равна	гх', поэтому можно		записать /"(s)=r(xa) —

—а(хд—s). Будем считать операторы А и В тождест­ венными; тогда назначение схемы, приведенной на рис. 2.9, состоит в вычислении корреляционной функции Rfi(X). Выходной сигнал фильтра w можно рассматри­ вать как функцию пространственной координаты хд:

I	Ъ
) = JL	f / («) / 15 + г (.Уд) - а (л:д — s)] ds, (2.94)

K - L

здесь L=VT.

Математическое ожидание сигнала u(x) на выходе блока перемножения определяется следующим образом:

ти(хя) = М {)[хл(/)] / [хд (t) -f г (t)]} = Rff [г (хд)].

(2.95)

В непрерывных КЭС в соответствии с их принципом действия величина ти должна получаться на выходе

фильтра за счет усреднения по времени. Однако относи­ тельное смещение реализаций, определяемое степенью нестационарное™ а, нарушает основное требование, налагаемое на процедуру вычисления корреляционных функций: постоянство сдвига г между реализациями. Поэтому сигнал w(xд) на выходе фильтра отличается от т и(хд) на ошибку е:

s = ®(л-д) — ти (а д) =

=1г [ f (s) f Is + г (хд) —a (л'д ~ S)Ids —Rff V (-*д)]•

xu~L

(2.96)

Чтобы найти второй начальный момент sz величины s,

который примем в дальнейшем за меру полной ошибки определения корреляционной функции Rtf (г), вычислим

математическое ожидание mw и второй начальный момент wz сигнала w на выходе фильтра:

т ш (а-д) = М —	I" f ( s ) f [ s + г (ад) — а (а д— s )] ds =
[	X\~L			!
Xл
= 7 7 j М { / (s) / [S +			Г (Ад ) -	Ж(д:д — 5)]}ofs =
*д-Л
= ■ 7 7 j	R i t V (А'д) — a (Ад — 5) l d s
X*~L
	I
4 = m» + i = - - M 7У f			f / ( s . ) / [ s , + r ( Ад) —
	l	Лд-;-
— а (Ад — s,)j f (ss) f [s2+			г (Ад) -	а (*д — sa)J ds.ds, =
		M {f(s,)/[5,-f Г (Ад) -
— а (Ад — s,)j f (Ss) f		[s2 -j- г (Ад) — а (Ад— s2)]} ds.ds,

(2.97)

87

Предположим, что f (s,), f(s.J, f (s„), f(s4) подчиняются

совместному нормальному распределению для любых s,, s2, s„ и s.,. Тогда на основании (2.31)

м {f (Si) / f«, + г (лд) - « (лд — «,)] f is2) f [s2 + г (хд) -

- а (*д - «*)]} =		Rff V (Л'д) -		а (хд - s.l] R ff fг (хд) -
— а (хд -	s2)] +	Rff (s2 — s,) Rif [(l+a)(s2 — s,)] +
+ Rff [s* —	+ г (хд) -		а (хд -	s,)] Rff [s2 — s, — г (хд) +
и		+	*(Хд — s,)],

+ XT j

^ Rff(s2~ s t)Rff\(\-{-a)(s2 — s1)}dslds2-{-

Xд X.д

— а (хд — s2)]Rff [s2 — s, — г (хд) + а (-'-'д — s ,)]c?s ,g?s2. (2 98)

Проведем	замену переменных под знаком			интегралов
5 = Х д — 5*,	s, = хд — 4 * ,,		s2= Хд — s*2 и	несколько
упростим выражения (2.97),			(2.98):
		L
	mw(Хд) =	J Rff [г (Хд) — as*] ds*,		(2.99)
		о

L L

+ as*,] ds*lds*2*

(2.1100)

88

Определим			теперь		е~:
			еп= м iw W —Ru V (-^д)}3 =							—
			— RSf [г (л:д)]{2mw(хд) — Rff [г (лгд)]}.								(2.101)
Подставив			(2.99),		(2.100) в (2.101),				придем	к равенству
				= Rii (0) {(Л -				с"'’)2 +	/ 2 + /,},		(2.102)
здесь
					V
				h =	- у ^	ехр{—(v—as,)2}^,,					(2.103)
		VЛ'
/. =	Л?*~J	j	е хР {—		I 1+	( ! +	^	2J(s2—	s,)2}^ ,fif5 2,		(2.104)
	о	о
		Л =		т^г\	\ ехР{—			(! +	a)s. +	v]2 —
				KjОv*о
				— [si “г (1 "Ь а) s2 "f 'v]"} rfs,ds2,							(2.105)
где	s,= a s* ,;			s2= a s* 2;		v =	ar(xfl), N = aL.
Поскольку				согласно		(2.93)		радиус корреляции			поля р.

под которым понимается величина р =

равен У%/2а, то v = ( V %f'2){r (лд)/р), yV=(l/ii/2)_(L/p), т. е.

v и N представляют собой относительные' значения сдвига г(хд) и длительности усреднения L, выраженные в единицах радиуса корреляции.

Ограничимся рассмотрением случая г(лгд)= 0 , т. е. выясним, как влияет степень нестационарности режима управления а на точность вычисления дисперсии поля

Rfi(0). Для г(лд) = 0 выражения (2.103) —(2.105) упро­ стятся:

89