книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

Г л а в а 5

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ КОРРЕЛЯЦИОННО­ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ СИСТЕМ ПЕРВОГО КЛАССА ПРИ РАБОТЕ ПО НЕСТАЦИОНАРНЫМ ПОЛЯМ

5.1. М одели нестационарных полей. Определение статистических характеристик

возмущений при работе по нестационарным полям

Полное математическое исследование процессов управления, протекающих в замкнутых непрерывных КЭС, вызывает большие трудности, так как в непрерыв­ ных КЭС одновременно проявляются нелинейные эффек­ ты, нестационарность возмущений и контура управления и высокий порядок линейной части W(p). Полный ана­ лиз замкнутой КЭС может быть проведен на основе уравнений (2.72) — (2.81).

При исследовании установившейся точности управ­ ления в случае, когда КЭС работает по стационарным полям и все возмущения т), и v3- являются стационар­ ными случайными функциями, целесообразно использо­ вать аппарат спектральных плотностей.

Если ошибки КЭС невелики и работа в установив­ шемся режиме происходит на линейном участке стати­ ческой характеристики КЭС, то исследование устано­ вившегося режима (после линеаризации статической характеристики) сводится к обычной задаче исследова­ ния статистической динамики линейной непрерывной си­ стемы.

Если ошибки установившегося движения выходят за пределы линейного участка статической характеристики, то следует использовать нелинейные уравнения (3.22) — (3.32) или (3.41) — (3.51). При этом анализ статистиче­ ской динамики КЭС проводится (как это было сделано в § 3.3), методом, напоминающим в основных чертах метод статистической линеаризации [72, 75], с тем лишь усложнением, что статистические характеристики мето­ дической погрешности коррелятора н зависят от мате­ матического ожидания и дисперсии регулируемой ве­ личины.

В настоящей главе основное внимание уделяется действию пространственной нестационарности исполь­ зуемых случайных полей. Предположим, что инструмен-

150

тальные погрешности коррелятора отсутствуют; тогда из всех возмущений qu Vj лишь vi и vj отличны от нуля. Кроме того, будем считать, что датчик поля снимает

сигнал	в точке истинного нахождения объекта: xR(t) =
—x(t),	=y{t). Рассмотрим вариант одномерной

КЭС, структурная схема которой с учетом сделанных допущений имеет, согласно данным гл. 2, вид, показан­

	ный на рис. 5,1.			были		получены при усло­
	Уравнения	(2.70) — (2.81)
	вии, что математическое ожидание					используемого по­
	ля постоянно;	при исследовании				полей, обладающих
			т	v,	V}
	ABRf f [x (t),x (t)-A ]		F. Г J ,	V	I \	А
						т

Рис. 5.1,

нестационарностью по математическому ожиданию, эти уравнения нуждаются в уточнении.

Приведем (без доказательства) формулы для воз­ мущений т, \’ь V;:, справедливые и в случае непостоян­ ства т,(х):

т (t) = Ami (х) ^ Вт; (х — А) р (Д)dA,			(5.1)
	—00
v, (t) =	Amf ( x) Bf (х -	Д),	(5.2)
v3 (t) =	Bmf (х — Д) A f (х).		(5.3)
Здесь А= х—хп — рассогласование,		x = x(t),	р( А) —

плотность распределения А в момент времени t. Когда m/(x) =const (частный случай уравнений (5.1) —(5.3)),

справедливы выражения (2.70), (2.78), (2.80). Выраже­ ние для методической ошибки ц коррелятора сохраняет

прежний вид (2.74).

Корреляционные функции возмущений vt и vs в квазистационарном режиме управления определяются сле-

151

дующим образом:

Q .-= Amf ( x j Amj (х2) X

\AJ

х	j’Д2Я// (■*. — А, X; — А) р (Д) Й?Д,		(5.4)
	—00
	* * ) = A ' R a ( x lt Х л)	j Д т , (хг\— Д) X
	X'Brtij (лГ; — Д) р (Д) с?Д,		(5.5)
	00
ЛтДл:,)	( В т .}(х г — Д) A BR ff^Xj, jc, — Д)р(Д)йД -f-
	—00	*•
00
+ Лту(л:2)	f Bmf (x1— Д) A B R ff(xit х ,— Д)р(Д)<*Д,		(5.6)

где лг,=л:(^), л:2= 'х ( /2).

На практике встречаются различные типы нестацио­ нарное™: может изменяться математическое ожидание поля, его дисперсия или спектральные характеристики. Рассмотрим эти три типа нестационарное™ и получим м о д е л и н е с т а ц и о н а р н ы х п о л е й (модели не­ стационарное™). Для количественного описания эф­ фекта нестационарное™ введем градиенты нестационарности. Модели нестационарное™ соответствуют про­ стейшим случаям, когда градиенты нестационарное™ постоянны. Все модели нестационарных полей получим из некоторого исходного стационарного поля q(s).

Нестационарность поля по математическому ожида­ нию. Модель процесса, обладающего нестационарностью по математическому ожиданию, показана на рис. 5.2.

Нестационарный случайный процесс	f{x) получается
в результате сложения стационарного	случайного про­

цесса q(x) и линейно-возрастающей детерминированной функции х grad тпр

	f(x) =q(x) +х grad rtip			(5.7)
Типичная	реализация	поля	f(x)	приведена на
рис. 5.3, где	т / ( 0 ) — значение математического ожида­
ния поля f(x)	при х=0. Взяв математические ожидания
от обеих частей равенства		(5.7),	получим следующее

152

равенство:
mf (x) = mq(x) +х grad irif,	(5.8)
где mq(x) = m /(0 )— математическое ожидание	стацио­

нарного поля q{x) \ grad mf показывает скорость нара-

хдгас/mf

№f(x)

Рис.	5.2.
стания математического		ожидания; т.	е. dm.fldx=
= grad mf.	Корреляционная	функция поля
	Rff(x1, x2) = R qq(x2—Xi).		(5.9)

Нестационарность поля по среднеквадратическому от­ клонению. Модель такого процесса показана на рис. 5.4. Нестационарный случайный процесс f(x) получается

в результате умножения стационарного случайного про­

цесса q(x)	на линейно-нарастающий множитель	(1 +
+ х grade/),	где grad о/ — градиент поля f(x) по	сред­
неквадратическому отклонению сг/:
	}(х) = ( l +xgr ad Of)q(x).	(5.10)

Типичная реализация случайного процесса, обладаю­ щего нестационарностью по среднеквадратическому от­ клонению, приведена на рис. 5.5. Корреляционная функ-

153

ция процесса	f(x) имеет вид:
Rff(xi,	х2) = (1 +xi grad Of) (1 + x2grad of) X
	X R qq(x2—Xl).	(5.11)

Среднеквадратические отклонения о, и oq процессов f(x) и q(x), согласно (5.11), связаны зависимостью:

Of(x) = (1 +х grad Of)oq{x).

(5.12)

Поскольку процесс q(x) предполагается стационар­ ным, то од(х) не зависит от х: oq(x) =Oj{0) и

O/(x)/oj(0) = 1+х grad о/;

(5.13)

grad О/ показывает, во сколько раз увеличивается сред­ неквадратическое отклонение при увеличении расстоя­ ния х на единицу:

d \ ' t (x)/af (0)] _ grad	(5Л 4)
Математическое ожидание поля q(s)	в этой модели	бу­
дем считать равным нулю, тогда и
m.f(x)= 0.	(5.15)
Нестационарность поля по спектру. Поскольку		для

нестационарных функций понятие спектральной плот­ ности не существует, то необходимо строго оговорить смысл рассматриваемой модели.

Пусть имеется стационарное поле q(s). Полем, не­ стационарным по спектру и соответствующим исходному полю q(s), назовем поле f(x), обладающее следующим

свойством:		с постоянной	скоро­
если двигаться над полем f(x)
стью	(x=Vot), а над полем q ( s ) — с линейно изменяю­
щейся	скоростью (s = Vot + 0,bV't2) ,	то развертки	полей
f{x) и q(s) во времени совпадают.		Согласно введенно­
му определению

q(Vo(t)+0,5V't2)= f(V 0t)

и, следовательно,

f(x) =q[x( 1+ (V'/2Vо2) х)].

Понятие случайного поля, нестационарного по спектру, поясняет рис. 5.6. На рис. 5.6,а приведена реализация

154

стационарного поля q(s), а на рис. 5.6,6 — преобразова­ ние этой реализации в реализацию случайного процес­ са, нестационарного по спектру (во временной области) в результате равномерно ускоренного движения. Реали­

зация случайного			поля,	нестационарного по спектру,
и	развертка	этого	поля	во	времени при	движении
с	постоянной	скоростью		показаны соответственно			на
рис. 5.6,в и рис. 5.6,6.
	Поле f (x)	получается		из	стационарного	поля	q(s)

сжатием последнего по оси аргумента, причем коэффи­ циент сжатия линейно нарастает *\ Коэффициент сжа­

тия (или растяжения) h определим, составив отношение дифференциалов аргументов исходного поля q(s) и не­ стационарного поля f(x). Так как ds —(V0+ V't) dt, a dx= Vodt, t o

ds	dx	или h ■	ds	1 +
Vt + V't	— v 0		dx		X .

Коэффициент h характеризует также изменения мас­ штаба (по оси аргументов) самого нестационарного по­ ля f(x) или, условно, изменение его спектра. Величину dh/dx назовем градиентом нестационарности поля f(x)

по спектру grad/i/:

grad hf= V '/V o2.

В соответствии с принятыми обозначениями и определе­ ниями поле f(x) образуется из исходного стационарного

*> В случае равномерно замедленного движения происходило бы растяжение исходного стационарного поля q(s).

155

поля q(s) в результате следующего преобразования:

/(*)= < /И 1 + */г grad й/х)].

(5.16)

Корреляционная функция поля, нестационарного по спектру, имеет вид:

Rif (х„ х 2) =	[х2— д:, +	7 , grad hf (х\ — х ] )].	(5.17)
Математическое	ожидание	поля q(x) и, следовательно,
поля f(x) в этой модели будем считать равным			нулю.

Определим статистические характеристики возмуще­ ний при работе КЭС по нестационарным полям в обла­ сти малых отклонений. Для этого линеаризуем статиче­ скую характеристику (2.72), соотношение (5.1) и урав­

нения

(2.83),

(5.4) — (5.6)

корреляционных

функций

возмущений т|, Vi, V3.

Для одномерной КЭС равенства (2.72), [(2.83) [прини­

мают следующий вид:

F{t, A) =*ABRft (х, х -

Д),

(5.18)

ОС

=

A*Rti (х., х2)

Г B2Rit (X, — Д, х 2 — А) р (Д) dA +

J

tj

—00

+ '\ABRff(x1, x 2 — A)ABRfj(x2, x 1— A)p(A)dA.

(5.19)

J

ti

Поскольку для малых значений Д

Rit (X, х -

А) ~

R„ (х) -

Д

)

(5.20)

U i = X

Rit (* -

Д, Xf -

A) a

[%

(a,, u2) -

A

) +

I A 2

/

I

n

d * R f i

I d 2R jf \ . l

(5.21)

2

(

dti\

duldu2

(]u~

/

j Iu ,= xt '

\

/?// (Xi, Xj — Д) =5=

(«,, W2)

Д

+

+'

—2

I

(5.22)

d«2

Ul= V

J

rrij (X i —

A ) ^ m f (X j) —

A - ~ -

,

i,

i =

l , 2 ,

(5.23)

da

u=jct ’

’

'

’ ’

1£6

то, подставляя (5.20)—.(5.23) в (5.1), (5.41— (5.6), (5.18) (5.19) и учитывая, что

	$Др(Д)*Д ==«](*,),	(5.24)
Г Д*р(Д) dA = ol (/,) + т \ &) = Д* (/,),		(5.25)
„	л

где mA(tx), aA(t1), Д^(£,) — соответственно математическое

ожидание, среднеквадратическое отклонение и средний квадрат случайной функции Д(^) в момент времени tif находим

				F(t, A) = k(t)A +			*(t),		(5.26)
т (t) ==Arrif (х) Вт] (д:) — т ,{t) Amf (х) В									(5.27)
R m (tu	t .\ = an{U,			Q + j b ^ ,		tt)mA'tt) + cv {tu J ,)			Ая2 Уг),
									(5.28)
R ^ i f u	t2) =	avt (tu		^)Ч"А,1(^1’		^)т д (^i) ~Ь cVi(ti, h)]An (tx),
									(5.29)
	*,) =	«„(*..		*.) +	*„(*»	^ )« a( ^ ) + 3 ‘(^4 )1 A ^W
									(5.30)
^v,v, (^»		^a) “b * Wl			^ —З.Д^»		^	^*1» ^ l* Q X
		X ^ A ^ i) + f„ s(^. *»)Д*						V.)-	(5.31)
В формулах (5.26)—(5.31) приняты’обозначения
				4 '		ux=*>			(5.32)
						1 wa=jt
				e(t) — ABRff(x,			x).		(5.33)
	«,(/„ f*)		= И ’Я//(*1.			*2) B2% ( * i> ■*.) +
		+	ЛВЯ// (Jf„ д:2) ABRff (xlt x x),						(5.34)
									157-

	bri (ft, ta) — — A-Rff (x,, x a) ^			d ” |Ui=;ti
					U.%—Xx
	ABRff(xlt	x.2) A B -d£ t Ui—Xt		ABRff(xit x,)X
			Ui=Xi
		X A B ^ B			(5.35)
		/N	0Um «1=*1 »
			Ut—Xx]
		A'R„(x„		du\
	■#Rft\	+ A B R n (xt, x J A B W'R- f			+
	<*>4 L=x,
		'	.......... *'	^	wl=*l
	' U x ~ X %				tt*=Xi

b (/,,

vj ■ * ’

+ 2A B 6^.-		AB°§B I		+ABR1f(x„ x.) X
	0 U 2 UI = X ,		0U 2 »/,=:Д£*
	U^ — X-i		U 'i~ X j
		X A B dX k		l/,=X,
			dui	n,=.4
aVt(t„	t2) =	Am! (,xi)Ami{xi)B -R1i{xl, x 2),
t„) — — Am> (x,)Ams(x ) B:1( dRfi- -(--- --Л
	-	V I /	/ V - /	.	i (; y 2	jux=.xx
				4		7
(*„					2 /
	t , ) — — Amf (x.) Л т/ (x2) В2 7					du\

(5.36)

(5.37)

(5.38)

		+	2	d2Rff	+ 'В ¥ '\		•	(5.39)
				ди'д“'	«4 '	г/ —■
						«»=*»
av>(^,, ti) =			A1Rf f (xl, х2)В т ;(х ,)В т ,(х 2),					(5.40)
							ditif	=Хч4"
■*„(*„	^,) =	—			х2) |^Вт/ (х1)В du.
		Л-Вт АХ.) в ^						(5.41)
					|ы=*1-
■СA t г,	tx) =	A*RfA x 1,			dtrif |	q i		, (5.42)
					Х2)В
					U—Xx		и=хг
а*А *" ta) =			Am f(xJ)B m A xi)A B R fA xa, *,) +
	+ Ат}(х2) Bnif (х,) ABRff (х,,						х2),	(5.43)

158

6 (*» tt) = — Am^ х ,)					В Xml	ABRjf(x2,			x t) -j-
					du
+	Bnij {xs)AB ~ ~		Ui—Xa —Am (•«*)[В drrif I						X
			Uj=Xx					du \U = X i
X	ABRfi (x „ x2) +				Bmf (x,) ЛЯ^		^	j ,	(5.44)
							l«s=^#
	У = ф в т ,( * ,) - 4 в ^ &						Ui=Xb +
						du2
	dtrij			dR»			«S=*i
		u—x?AB				+ 4 - Bmf (x .) x
	+ B du				du„
	Х А В		+ B ^ h			AB dRtf		и!=*!	(5.45)
	du?.	U\—XI	'		du	du«

U9= X 2	на=*а

На рис. 5.7 изображена структурная схема замкну­ той КЭС при работе по нестационарным полям и при отсутствии инструментальных погрешностей. k(t) пред-

т 7	v, vs
I
1	W(P)

a

V

Рис. 5.7.

ставляет собой коэффициент усиления коррелятора (тангенс угла наклона линеаризованной статической ха­ рактеристики КЭС), a s(t) — смещение нуля статиче­ ской характеристики; иначе е(^) можно трактовать как дополнительное детерминированное возмущение. Ре­ зультирующее центрированное случайное возмущение 1I+V1+ V3 обозначим и. Корреляционная функция этого возмущения имеет вид:

tt).= a{tt, t2) + b(tt, t2) m X t1) + c(t1, f,)A* &),

(5.46)

15»