книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

что для всех zn*eZ , подчиняющихся неравенству |zn—

Zn- I <С б,

	М{1у(е*и) - ? ( г п)\2}<в*.		(2.8)
Для среднеквадратической непрерывности			<р(z„) в обла­
сти Z необходима и достаточна непрерывность ковариа­
ции /(	(zui, zU2)	в любой точке (ги, гп), принадлежащей
Z (см.	[61], стр.	238). Под ковариацией	^ w (zul,z U2) в

случае действительного поля <p(zn) понимается матема­ тическое ожидание М произведения q>(zni) <p(zn2).

Случайные поля q>(zn), g(zд) и случайные процессы rx (i), ry(l) могут быть полностью определены посредст­ вом задания согласованного семейства совместных функ­ ций распределения (см. [61], стр. 65 или [62], стр. 202)

(2.9)

равных вероятности Р того, что одновременно выполня­ ются следующие неравенства:

& ( 2д . ) < * . , .		£ ( * » ) <		• • • , £ ( ? * , ) ■ < - V
V ( 2ш ) ^	* 2 1 )	¥ ( 2п г )	* 2 2 »	••• > Т ( 2nj t) ^		* 2 i , >
( ^ и )	* 3 1 > С х ( ^ м ) < С		* 3 2 .	• • •	> Гх (txi)	* 3 ( , >
Гу(ty) <	* 4 1 ,	Гу (tya) <	* 4 2 ,	. • .	, Гу (tyi)	' * 4 l V
В формуле (2.9)		для сокращения записи				приняты сле­

дующие обозначения:

К 1 = { * 1 . 1 * 1 2 . •• .,*,J,

х ‘; = {*,„ * 3 2 . •• • >*31S}>

■2^ и Zn означают множества блока памяти:

{*21 >*221 ••• >* 2(,}>

{ * 4 1 1 * 4 2 ) • • • ) * 4 / 4} 1

координат датчика и

2 д	{ 2 Д1>	сД 2 )	• • • 1 2 д / , }	> Z n ------ { 2 U 1 1	2 П21	• • •	1
Тх и Ту — это		множества		моментов времени, в которые
фиксируются значения гх и гу:
f Х ~	{^ Х 11 ^Х 21		• . Д , - , } )	^ У= { ^ У п	^ / 2 . ”	• .	tyi,}-

В дальнейшем возникает необходимость в нспользо- ■нии совместных функций распределения (и соответст-

60

вующих им плотностей вероятности) не обязательно сра­ зу всех четырех случайных функций g, ср, гх и гу, но и меньшего количества их. Такие «усеченные» функции распределения можно получить из (2.9), положив неко­ торые из значений ilt i2, is, h равными пулю и не употреб­ ляя при этом соответствующие координаты в записи

(2.9).

Так, например, запись

F(X\', Х‘!) ■V

означает совместную функцию распределения полей £ (гд) и ?(?„), а запись F (Х\ )—- есть функция распреде-

ления	поля g (’2Д).						значения		г',, г2, г',,г4,
Кроме того, в случае, когда
невелики (равны 1 или 2),				в (2.9)		вместо		соответствую­
щих комплексов X1,',			X 1*,	Xg,	Х‘‘, ZA, Zn, Т х, Ту					будем
писать	скалярные		величины.			К	примеру,			запись
F(X ‘‘,	Х ‘‘,	x31, .х41) эквивалентна					(2.9)	при	i3=	t4 —Г1,
Zn,	Zn ,	U
	х'з -	{*„}, х 1; = ы		,	тх =		{/„},	Ту =	{ Ц .
Перейдем		к построению единого					вероятностного про­

странства {Q,@,P}, на котором можно было бы рассматри­

вать как случайные поля £ (гд), 'Р(^п). так						и	случайные
функции rx(t), ry (t). Рассмотрим			множество				e =	Z ' X ‘Z,
представляющее	собой	произведение			множеств			Z и J
(см. [61], стр.	132).	Элементами		этого		множества 0
являются упорядоченные тройки			чисел		0 =	/х	\	иногда
						|г/	j;
будем обозначать также 0 = (?,<).				Зададим			случайный

процесс непосредственно ([62], стр. 202). В качестве множества Q элементарных событий <о будем рассматри­

вать множество	четырехмерных		векторных	функций
		’XI»	(8) '
ю= / ш(е) =		%2<о (0)
		ХЗо (0Г
		Х4» (0)
аргумента 6 = (z,t).	На функции		/л, / 2, /,, /л	наложим

дополнительные условия:

4*

51

1)	не зависят от времени: Х,ш(9) = У1ш(2). У.2а>(6) -
= У.2ш(5);	не зависят от	координат х, у и зависят толь­
2) у3, у,
ко от' времени t, т. е. Х3ш(6) = Х3ш(0.			7.4<в(0) = У.4„(0-
В остальном функции		уА, у 2, у 3,ул	совершенно произ­

вольны. х1ш. Х.2ш>Хзш» Х4(0 имеют значения в пространстве Е, под которым будет подоазумеваться евклидово прост­

ранство на

действительной

прямой (— сю, оо). Обозначим

через Еп /г-ую степень пространства

Е\

m имеет

значе­

ния в Е*.

Пусть

i4 'i+i2+(3+i. __ уНуФ»уГУГ‘ — борелевское

множество

в метрическом

пространстве E''EhEhEh(опре­

деление борелевских множеств

см. в [58 — 60]).

Множество точек <«-— Хш(®)>

для которых

{Х|„(гд0> X

u

••• >Х1ш(2дг,)} G Л" >

(Х2ш(2ш)> Х2ш(2п?)> ••• >Х2ш(^]11а)}С '4 ,

lx».(tn ),

у3а (txa) , •••.х3ш(*,,-,)} е

л‘3.

ixiJtv,), у.4ш(^*).....у.4в (^,)} е л‘\

называется цилиндрическим

множеством

С (Л‘‘ Л'1Л!М ‘‘)

г

, 7. ,

г

,

г ,

над

координатами

гД1, гД2, ... , z^; zni,

д ’

ж ’

У

Гпа.......

г1.,,,

tXiT - , t Xi\

tyvtyif->

t k с основанием Лг,Лг»ЛМ‘‘

([61],

стр.

149).

Если

г2, г3, г4 и точки

гД1, ... , z^ ;

zni, ... , z^ ;

......

txi‘, tyi, ..., f г< зафиксированы, то между цилиндричес­ кими множествами над координатами гД1, ... , z .; zni, ..., 2ш >txii\tyu ...,tu.t и борелевскими множествами

из El'EhEhEu существует изоморфизм: каждое борелев-

кое множество AhAhAlsAh^ :E''E‘:,EhEh определяет цилин­ дрическое множество, для которого оно служит основа­ нием; разным основаниям соответствуют разные ци­ линдрические множества; сумме, разности или пересече­ нию оснований соответствует сумма, разность или пере­ сечение цилиндрических множеств.

Одно и то же цилиндрическое множество может зада­ ваться над разными наборами координат ([61], стр. 150).

52

Поэтому, в частности, можно считать и = 12=13 = ц = т =

— max	(t'i, i2, г3,	ц). Класс @всех цилиндрических мно­
жеств	образует	алгебру множеств ([61], стр. 150, теоре­

ма 2 ). Эта алгебра множеств содержится в П. На алгеб­ ре цилиндрических множеств определим функцию мно­

жеств Р(С),	приняв Р(С) равным	вероятности того, что
одновременно выполняются следующие условия:
	- , £ ( 2Д11)} G А‘\	{<р(?„,),?(.2П2),
{ /’ x ( ^ x i ) l	Г х ( ^ х г ) > •••> r x x i ) } G A \	{ r y ( t y i ) , r y { t y 2) .............

Нетрудно убедиться, что функция Р(С) является ко­ нечно-аддитивной на Ч. Поэтому на основании теоремы Каратеодори ([61], стр. 97) функция Р(С) может быть

продолжена до меры Р на минимальной пополненной з-алгебре цилиндрических множеств @, содержащей Ч.

Таким образом мы получили вероятностное простран­ ство {Q, @,Я}. Мерой Р является вероятность, определя­ емая через согласованное семейство совместных функ­

ций	распределения	(2.9); в силу		условий согласования
P(Q) = 1.		с	общепринятыми представлениями
В	соответствии
под	с л у ч а й н о й	ф	у н к ц и е й	(в частности, под слу­

чайными полями g(zH), <p(zn) и случайными процессами /■*(■/), ry(t)) понимается семейство случайных величин, зависящих от параметра.

Для случайной величины примем следующее опреде­ ление. Пусть |(со )— некоторая функция элементарного исхода. Если для любого действительного числа а мно­

жество А точек (о таких, что £(м )< а,		принадлежит ст-ал-
гебре событий ©,	то £(ю) называется	с л у ч а й н о й ве ­
л и ч и н о й . Такое	определение вытекает из определения

случайной величины ([61], стр. 140) и из критерия изме­

римости функций	([59], стр.		279). На вероятностном про­
странстве {Q, @, Р} будем			рассматривать четыре функ­
ции:
S К ?д) =	у.1ш(6), С2	(«о, 7„) =		-/2ш(0), С3 (ш, 0 =
=	73в1в)Л	(®, 0 -		7,4.0 (0).

53

где '2 Д, zn £ £ Z ,t	и покажем,	что С,,Сг,С3,С4 являют­
ся случайными функциями.
Рассмотрим, например £i(co, za). Поскольку для лю­
бого фиксированного	и произвольного а прообра­
зом по отношению к	функции	ti(o), гд) борелевского

множества Л = ( —оо, о) из пространства Е является ци­ линдрическое множество с основанием А -Е -Е -Е над

координатами				гд*,	zn,	tx,	t,h принадлежащее				o’-алгебре
событий		©	(причем координаты zn, tx, tv могут задавать­
ся произвольными), то Si (со, 2Л)								является			случайной
функцией,			заданной			па	вероятностном			пространстве
{Q,	©,	Р}.	Таким		же	образом		можно		показать, что
£2(0), Zn), ^з(со, t),						О	также являются			случайными
функциями.				понятия		стохастической			эквивалентности
С учетом
случайных функций					(см. [61], стр.			195)	и при		том зада­
нии	вероятностей				на	а-алгебре		событий			которое

было проведено выше, в качестве исходных случайных

функций g(zz),		<p(zn), rx (t),		ry(t)	можно рассматривать
соответственно
g(zn) = tl(« ,		2д), ф(zn) = S2(01,			Zn), rx(t) = t 3(01, /),
Пусть задана			rv(t)=Z4 (®. 0 -			с областью
			траектория	движения z n(t)
определения t£ £ Z			и областью значений z,(= Z .				Задание
траектории оппеделяет отображение поостоанства Z в
простоанство	Z.		Случайная	функция g (zn)		пепейдет		в
новую случайную			функцию	g* (t) — g [7Д(Of.			заданную
на прежнем	вепоятностном			пространстве		{Q, ©, Р}		со
значениями параметра t ^ Z .
Пусть наложены дополнительные связи:

*п (0 = х А(0 — гх (0 =	(0 — С3(т, 0- Уп (0 =
= Уп(0 — гу(0 =	Уп(0 — с, («, 0 -
Рассмотрим новую функцию	ф.*(/) = У о),	x„(t)-~ £3(10, /),
г/д( 0 —S4(со, 0]. Прежде чем	исследовать	свойства этой

функции, докажем утверждение, необходимое для даль­ нейшего изложения.

Л е м м а 2.1 . Если £(со, I)		—	непрерывное в среднеквад­
ратическом	случайное поле,		заданное на компактном
метрическом пространстве Z,			a z(«, 0 — векторный слу­
чайный процесс со значениями в Z и с областью задания
Z, то	ц(со, 0 =?[(*>,	г(<», /)] — случайный процесс
с областью задания £.

54

Д о к а з а т е л ь с т в о .	Поскольку'			из	сходимости
в среднем следует сходимость по мере				(см. [59]), то из
среднеквадратической непрерывности				|(о),	z) вытекает
стохастическая непрерывность |((о, z)			в Z		(определение
стохастической непрерывности см.		в	[61],		стр. 205). Из
стохастической непрерывности £(ю,		z) следует, что |(а), z)

может рассматриваться как измеримая случайная функ­ ция (см. [61] стр. 209, теорема I).

Напомним, что случайная функция Дда, z) называется

измеримой,		если она		измерима	относительно			з-алгебры
а(&Х@), где			й — з-алгебра в Z.			В данном случае			под
й будет	пониматься			минимальная		з-алгебра,		содержа­
щая все борелевские множества в Z.
Теперь		из	измеримости Xе0- з а к л ю ч а е м ,					что	для
любого а множество точек (да, z),						таких что £(да, к)<[а,
принадлежит			з(0 .Х@). т. е-		существуют			множества
ВаG	Са G		такие	что		С„.	Зафиксируем
произвольное			t* G £ и рассмотрим			функцию	£ [да, z (да, £*)]•
Определим		множество		4**={да: $[да, z (даХ*)] < а } .					Для
этого найдем			множество точек		£>*‘ = { « 0 : 2 (да,			t*)(E	СД .

Поскольку z (да, /*) по предположению случайная функ­

ция, то £>**£=©.

При этом

множество А** = Ва Н е ­

действительно,

если

некоторое

да* £.4**,

т. е.

? [да*,

2 (да*, ^*)[<я,

то

»* G

б 0, ? (да*Т*) G С„, да* £

D*a>

сле­

довательно,

да* G

-5a Г) D**.

Обратно,

пусть

да* G

Ва f]

П D**\ тогда

<*>*£: Ва и да* £ й ‘*.

Из

последнего

соот-

ношения

находим

z (да*,

t * ) ^

Са.

Значит,

точка

(да*, z (да*, t *))(Е-Вау(Са,

т.

е. S [да*, г (да*, ^*)]<я, и следова­

тельно,

да* GiM**-

Итак,

для

любого

а

и

любого

1*G ^

множество

A** = Sa fl D** и,

следовательно, A** G ©•

Поэтому

ъ (да,

Q

А

й

с областью

t) — \ [да, г (да, £)]

является случайной функцией

задания %, что и требовалось доказать.

сделаны

ранее

При тех допущениях, которые

были

относительно поля ф ( г п ) ,

функция ср*(со, ^) = £г£<о, xR(t) —

—(со, t), yn(t)—^4(со, t)] удовлетворяет условиям леммы

2.1и поэтому ср*(со, t [является случайной функцией, за­

данной на £.

Нас интересует функция и(а, /)=g*(co, /)ф*((о, i). Так как g*(a, t) и <р*(со, t) — случайные функции, то на

55

основании новостной теоремы о борелспских функциях [60] и (со, t) также представляет собой случайную функ­

цию, заданную на вероятностном	пространстве (Q,	©,
Р} со значениями параметра / е £ .	Поскольку g *(<*>,	t)

и ф*(о), t) с вероятностью 1 предполагаются ограничен­ ными, то «(со, t) является гильбертовой случайной функ­ цией (см. [61], стр. 237) п по отношению к ней справед­ лива теория линейных преобразований случайных про­ цессов, для применения которой необходимо лишь знать

математическое ожидание ти (t) = Щи (/)}		и корреляци-
•	•	процесса u(t)
онную функцию Ruu{t1, h) ==М{«(Л)«(/2)}
о
(здесь u(t)=u(t) — ти (0 ) •			с mu(t)
Корреляционная функция RUu(tu h) связана
и ковариацией KUu(tь t2) известным соотношением:
Kuu{ti, t2) —Ruu (h, к) + tnu (ti) mu (t2) ,			(2 .10)

поэтому наряду c RUu(ti, t2) для исследований можно использовать ковариацию KUu{ti, к). Чтобы вычислить niu (t) и Kuu{ti, к), на вероятностном пространстве {О, ©, Р} рассмотрим векторную случайную функцию

	1ё [Ч
Н-(б)	v И	е= (2 , O G 0 .	( 2. 11)
	г ,т

-до/

определяемую согласованным семейством распределе­ ний (2.9). Далее предположим, что существуют соот­ ветствующие плотности распределений

		р ( Х \\	Х‘\		X j)=
		V		Т«.	Ту
	d h+i,+U+UF		7 .	р х% , А"з3 ,		X j‘ )
				Z ,	т.	т
	_________________*Д’				х»	у_______		( 2. 12)
	<)Хц ... d x U ic)x21...		д х 21яд х 31 ...		д х 31зд х 41 ... d x 4i
	Пусть задана	траектория		движения zA(t)			и наложена
	связь zn{t)=za(t)—r(t).			Эта	траектория		производит
	отображение	£ — иЭ	и случайная			функция ц (0 ) пре­
	вращается в	четырехмерный случайный процесс:

ДНд (01

5 К 0 = ¥ Кд (0 — т(01

гх (о

|( 0

заданный на множестве £ со значениями в Е4.

56

Выразим согласованное семейство совместных					плот­
ностей распределения:
	е(Х‘,\	X j,	X»,	X j)	r2 .l3)
	V	V	г,	г,
процесса	через плотности			распределения	р ( Х (
					Д’

Х2 , Xg , Х^‘) процесса р (0). Функция е (X,1, Х2 , Х 3 ,

т& тф

1

X l‘)d x u ...dxu dx2i ...dx2idx3l ...dx3i dxn ...dxUi

Tv

равна вероятности события В, состоящего в том, чтоодновременно выполняются следующие условия:

	[ ? Д ( * « . ) ] < ? *			И + •••>	Х Нг <
	< х [ гд (^ (1) ] < ^ п 1+ ^ „ 1;
■*■21	Хгш[2Д(^2)		(^ф2)1<~С*>С'21Н- <^-^21’		• • •’	^
	< Х 2ш[?д			+	dx2i.
x 3i	Хзш(^xi)		-^31 “Ь dx3l,	х 3^ <СХзш(^i3) “С (2.14)
			< x3ia - f d^3.3;
	-*41	Х40,(^i/i) <СХи Ч- d x ^,
	XMi <	XA ^ ty i ) < Xih Jr dXUi-
В (2.13)	Г , =			— множество		моментов

времени, в которые фиксируются координаты датчика поля; Ту = фф1, tyV ..., — множество моментов времени, в которые фиксируются координаты блока памяти.

Рассмотрим событие В.		Введем векторную случайную
		'Хз®	ц>1	)	\
		^3®(^ч>г1
величину м>(®,	Ф12■=	Хзш			ее значения на-
		7.4®	(^ 1	)
		\Х4®		1	I

57

ходятся	в пространстве W =	E2ia. Через Dk[		v обоз-
			11 l a h
начим событие, состоящее из тех ш, для которых
Гхк1 *7 /-Зш (*„) <7 '"'ft, "Ь ^Гх1'		r*ki2^	/-з» ^ч>г3)	*7
	< r xft(.3+ rfrr.a			(2.15)
ГУ1, ^
	/-4(0 (^cpl) ^ ГУ/, Н-	ГУ2/а * 7	/-4(0 (^(pia)	*7

<ГУЧ%+ drVii

причем будем считать, что все rxk^ удалены на расстоя­

ние drx все гХк— на расстояние drXit, все i'yti — на рас­

стояние dryi,..., и все гуг^ удалены на расстояние dry^ • События k г. не пересекаются друг с другом. Со­

бытие

В

можно

представить

в

виде

5 = ( J

(J ...

А,

/.

••• U

U

B k,l,

А- Г> ГДе

B k l

А- г. =

5

П А ь /

ь.

;

с о б ы -

fcT

/7

«11* —«t,%

«1<1—«*аЧа

й1‘1••• «/а */а

*а

**а

_

ft.

z. также

взаимно

не

пересекаются. На

тия

основании

счетной аддитивности

вероятности

^ ( Я ) = Е Е . . . 2 2 ^ ( 0 (1 0 ,

а,

г,

A;, Г

АД ... A; li

14

‘I *!

*3 *3

при неограниченном уменьшении интервалов

c?r

, ...,drXi\

dryi, ...,drVit

получим

Я (5)=

UO

j -

f Я (В П Dkilt .

h ) drXi... t/r4j;

dryi......drVh

Будем

неограниченно

уменьшать

dx u , . .., dxu ;

(2.16)

dx2i......dx2ii;

dx3t,...,

dxix,

d x

4j\

тогда

* <fl n

Dkili

)

(XV, x 1; ,

Я7 x j , /?;*, x j ) X

X ^ u

3 1

W

■

V X

V

Tv

■■■dxu dx2i ...dx2idxSi ...dx^

dxn ...dx4i . (2.17)

Выражения, стоящие в левой и правой частях урав­ нения (2.17), означают вероятность события, состоящего в одновременном выполнении неравенств (2.14) и (2.15).

58

В (2.17)

приняты следующие обозначения

—{zp,{tgi),

zR{tg2),

. . .

. 1Я

( 2

. 1 8 )

ZM^<f)

^

{?Д(^ipl)

С» *Д (^2)

''г* •■•> *Д (tyij

1;J>

( 2 . 1 9 )

R

■{/:! I 12) • ■• >1ia} 1

=

" {rxl>rx2>• • • > rxi)’

( ^ . 2 0 )

^ y == i^xl* Гх2’ '■•> 6

i i } .

( 2 . 2 1 )

Соотношение (2.16)

позволяет

установить

искомую связь

00

00

e ( x ; \ x ‘\ x '\ x J * )

=

j‘...

J'

р ( х \ \

х!;,

г ,

х^>, (2 .22)

V

V

т*•

Д

2i%

ZA<V'

V

Г«.

R ;1,

X l' ) d r x V . . . , d r x . d r ......

т т

На

1у

у

(2.22)

легко ^получить

общие

основании

равенства

уравнения для mu (t)

и KUu{t1,ti).

Действительно,

по оп­

ределению

00

00

Ши (0 =

м {g* (t) f* (*)} =

j'

j* g<pe(g, f) dgdf,

(2.23)

—00 —oo

’

Kuu {tu tt) =

M {£* (/,) g* (/2) f* (f.) ?* (4 )} =

00

oo

OO 00

= f

J

f

f g igt9№ ( g i , g * , 9n'?a) d g ld g id<eld f a. ( 2 .24)

J

J

J

f„

ta,

Щ

ta

—00—00 —00—00

Функции e (g,<p) и e (glt g2;<p,, ?2) это

совместные плотно-

t,

t

ti,

ta\

ti,

ta

сти распределения случайных процессов g* (t) и <p* (t), они являются частным случаем многомерной совместной плот­ ности распределения (2.13): ф) получается из (2.13), если принять

* i = » 2= l , C = C = °- 7« = 7’,, = *, X \ l , - - = g , X j = f ;

(2.25)

e(g,,g2; ?i>?2) получается из (2.13), если принять

tu tu

11, 12

i\ — — 2, г’3= С ~ 0, 7^ = 7^ = {*„*„}, X‘‘ =

(2.26)

59