книги из ГПНТБ / Белоглазов, И. Н. Корреляционно-экстремальные системы

	R9l9l(ti> t2) =	Rit(X) RUU(X),			(3.25)
Q = /?„д (X) [ -		Я}t (X -		2/) + 2Ru ( X ) -
	— Rtf(X -(-2/)],				(3.26)
		^дд(^) ^UH (X),			(3.27)
1=	(/Иг + Ид)! [ — Ягг (X — 2/) -f- 2# / / ( * ) -
	-Я ,у (Х + 20],				(3.28)
ЯVjV, (*» *.) = (mf + ОТд)2 ^nu (Х ),					(3.29)
	Rv, J t u tX =		rnn Rff(X),		(3.30)
	t.2) =		m2u RM (X),		(3.31)
	^2) +	^		^a) =
= (mi + /ид) т и	^ [^//(— X —			— Rffi— X -f- I ~Ь r) -f-
+ R fj (X - l + г) -		Rff (X +		1+7)1 p (r) dr.	(3,32)

В последующих главах для расчета конкретных КЭС реальные корреляционные функции Rff(X), ^?ДД(Х), Rmi(X) аппроксимируются следующими аналитическими зависимостями:

		Rf f (X) =		Rf,( 0)e~aVC\		(3.33)
		^дД(X) =		# дд (0) е~ °д Х*		(3.34)
		Rna(X) =		Rnu(0)e~a"X\		(3.35)
	а закон распределения			отклонения г		предполагается
	нормальным:		1		(г —
	Р(г) =			ехр		(3.36)
			V 2яз,		2»?
	t

Здесь /иг, of— математическое ожидание и среднеквад­ ратическое отклонение случайного процесса r(t) в мо­ мент времени t\ Rff(0), ^ дд(0), Rjm(0) — дисперсии поля f(z) и помех 6/д, 6/п; а, од, ап — некоторые числовые па­ раметры.

100

Если в качестве обобщенных характеристик спек­

тральных свойств поля f(z)			и возмущений б/д, б/п ввести
понятия радиусов корреляции				00
	00	оо •
	\ R u ( X ) d X	f / ? „ ( X ) d X		^ R n u ( X ) d X
p =	Rh (0)	’ рд==	R ^W )	’ pu==	Rnn (0)	’
						(3.37)
то радиусы корреляции p, ря, рп				оказываются обратно
пропорциональными параметрам				а, ая, ап, т.	е.
	Р —Y «/2я, рд = У		к / 2 ал, ?а — У У 2ац.			(3.38)

Соотношения (3.33) — (3.35) выбраны для аппрокси­ мации реальных корреляционных функций не потому, что этим подчеркиваются какие-то специфические свой­ ства случайных процессов f, 6/д, бfn; просто зависимости (3.33) — (3.35) обладают удобными аналитическими свойствами. Подставив (3.33), (3.36) в (3.22), (3.23) и

приняв во внимание следующие интегралы

00

1 w"<°>e_“Mr+JW				exp		(г — т()г		dr-
							2,2
	Ru (0)		=f ехР	a 2 (rnt +			А)г		(3.39)
					1+ 2аг,2
	V 1+	2а2,
ОС		■ая (г+В)я		1		Г	(г — mty 1
J ^ ( 0 ) е - <*2(' +Л)2е									dr =
		'		= — exp ■			2,2
			У 1 ^7			Р [
			2 а г,2 (Л — В )2 + (Л 2 + В 2) +
Rff (0)	ехр — а‘		+	2mj +	2 (Л +		В ) mt		, (3.40)
У"1+ 4а2,2					1+4а2,2

получим математическое ожидание и корреляционную функцию сигнала F на выходе нелинейного элемента:

m F(0:	Rtf (0)			а 2	( « , - / ) • и
	—5	(	е х Р
V	1+ 2а2,^	\		1	+ 2 а 2, 2
	ч		(mt - И ) * 1
— ехр		( а 2			(3.41)
			2а2,/

101

Rff (Q)				2 a 4 ^ - / )
R FF{t„ t2) -.				exp	Г]
У Т + 4 а ^ Г				1 + 4a2s
— 2 exp	2a2		+	+4a»4)I
		1	+	+
				4a2
-f- exp		2 a 2 (m (i + /)2
		+		4a2a2
				и
R?f ( 0)	exp			2а 2 (аг^
l+2a2a2				■2а2®:
2a2 (aZ^ +	/2)	+		2a2(w<i + 021 |
— 2 exp			exp		J i (3'42)
1+ 2asc^				H - 2 « 4

Уравнения (3.41), (3.42) используются в дальнейшем для статистического расчета замкнутых КЭС. Решение такой задачи целесообразно проводить методом стати­ стической линеаризации [72]. Так как при выводе урав­ нений (3.41), (3.42) уже используется предположение о нормальном распределении входного сигнала нелиней­ ного элемента и, кроме того, режим управления пред­ полагается квазистационарным (а в квазистационарном режиме корреляционная функция выходного сигнала не­ линейного элемента полностью определяется дисперсией этого сигнала), то с помощью метода статистической линеаризации удается получить точное решение задачи. Соотношения (3.41), (3.42) необходимы для определе­ ния коэффициентов передачи нелинейного элемента по математическому ожиданию и по флюктуационной со­ ставляющей.

Рассмотрев	совместно		(3.24),		(3.33)	и	(3.36), най­
дем
ifи Q =	/?J(01 ( - ехр { - а2 [X2 + (X -						2/)2]} +
+ г е -20*** -		ехр { -		а2 [X2 +	(X + 2/)2]}} +
у 1	- f 4а2а^			ехр {— 2а2 (X -		If} +
+ ехр		2а 2/2		ехр (	4аг1тt,
		+ 4я2о^			1+	4a2<j|fi4j +
4аЧт t,				\
		—2aiX*		- ехр { - 2а2 (X +			I f }^. (3.43)
+ ехр
+ 4a2szti

102

Из (3.43) следует, что в замкнутой КЭС осущест­ вляется сложный процесс управления, так как статисти­ ческие характеристики методической погрешности т| за­ висят от математического ожидания т< и среднеквадра­ тического отклонения at регулируемой величины r(t).

Подставляя (3.33) — (3.36) в (3.25) — (3.32), получим корреляционные функции остальных возмущений:

У = ^//(0)У?Г1Ц(0)ехр{-(а2 + < ) Х 2}, (3.44)

Я** (U, h) =

*ff (0) Ядд (0) е~

Х‘ f —

exp { -

а2 (X -

2/)2} +

+

2е“ <№ -

ехр { -

а2 ( Х +

2/)*}],

(3.45)

R ^ ( t u t 2)

= RAA(0) Rua (0) exp {— (а2л +

) X2},

(3.46)

Я ,Л (f „

t , ) =

ymj +

/ид)3 R ff (0) [ - exp {

- a 2 (X - 2/)2} +

+

2e~“2*’ -

exp { -

а2 (X +

2/)*}],

(3.47)

(*» Q =

(я*/ +

/Ид)2 Я пп (0) e“

V 2 ,

(3.48)

Я „ „ ( * „

U) =

m l R f t ( 0 ) e ~ * xt,

(3.49)

Я ,Л ( /„

fs) =

m \

Ядд (0)

e

д

,

(3.50)

*2) +

Я ,Л (fj,

Q

=

=

(/И/ +

/Ид) оти

{ ехр

a * ( m it + X - l ) * '

9

1 + 2a2a^

| / 1

+

2 a 2

i

L

—

exp

a2 (mti -f- X

-\-1) 2 “

+

ехр

a 2 ( m fi — X — /)2'

1+ 2a*'l

~

1+ 2а2о^

— exp

а2 (OT<i- *

+ /)»

(3.51)

1+ 2a**l

3.2. Определение спектральных характеристик возмущений в дифференциальной схеме КЭС

Рассмотрим установившийся режим, когда mt и at постоянны (установившиеся значения mt и at обозначим тг, аТ). При этом все возмущения г), qt, Vj являются стационарными. Поэтому можно перейти от корреля-

103

ционных функций к спектральным плотностям:

S (Q )= J R{X) e~ixa dX.

—00

Поскольку аргументом корреляционных функций яв­ ляется пространственный сдвиг X, то аргумент спек­ тральной плотности £2 представляет собой пространст­ венную частоту и имеет размерность [£2] = 1/м.

Определим спектральные плотности всех возмущений:

	(О) =	- - ^ (0) е - аа/8"а /( 1					-	е -ад’ cos ill) +
	Г	2a2 (mr -f-1)2					Г	2a2 (mr — /)2)
	exp	1 +	4a2<j;		+	MP	|	1 +	4a*4
	+
			2 ] / l +			4а*»*
		exp		2a2mf
			1+		4a2a*
							cos ill >.				(3.52)
		j/	1+	4a*aj
					IVn		exp		a*
				Va* + 4					4 (a2 +		a~H
				2 V k					Q2		(3.53)
	S M = Rff(0)R*A0)-					■exp					X
				a2 + a				4(a2+ < )
			V
	,	,	4a2at l*			cos		2a,2			(3.54)
								-------- 5- ill .
								a2+ a;
	5^ ^ ) = ^Дд(°)^ип(0)-				]Xn	r	exP		22
									4 (яд +	ап)
				V 4 + 4
											(3.55)
	5 iV[ (Q) = (mf +	mA)f Rft (0)				e		(1 -	cos 2ill), (3.56)
	SVt («) = iWf +			mAf Rau (0)				e			(3.57)

104

Sn J V = m l R ! f (0 ) I ± e				.	(3.58)
		O	V~	—ffia/4a2	(3.59)
5 ,л ( 5 2 ) = /я ^ д д (0 ) Ь - е				д ,
•SViVs (Q) +	5V3Vi (Q) =	(mf +	mn) m jt}, (0)
	1+ '2arf
X exp		4a2	sin Ql sin mrQ.		(3.60)
Выражения	(3.52) — (3.60)		упрощаются в		сильном

квазистационарном режиме управления, когда переход­ ные процессы в замкнутом контуре непрерывной КЭС протекают очень медленно и полоса пропускания КЭС является узкой по сравнению со спектрами всех возму­ щающих воздействий и исходного поля f(z). В этом случае обоснованно предполагать постоянство спектраль­ ных характеристик возмущений в рабочем диапазоне контура управления.

Спектральные плотности возмущений для сильного квазистационарного режима управления определим из (3.52) — (3.60), если в этих выражениях положить £2 = 0:

		Т)' '		(1	е -2^ ) +
		2а2 (mr + I)2		— 2 ехр	2a2rnz	+
		ехр	4а2оj:		4a2az
		1 +
			2 У 1+ 4а2**
		+	ехр	2а 2 (тг	— I )2
				+ 4аX
						(3.61)
		(fi) =	V * Rff (0) Raa (0)1 У а2+ а; ,			(3.62)
S		(£2) =2 V*Rti (0) R»z (Q)			4д*я‘ /2	(3.63)
	ЯзЯ%'			1 — ехр I
		V а 2 + а*			а* + <

105

	О	п	_	^«Лд«(0)/?и (0) .			(3.64)
		**		V4 + 4
			SViV(Q) = 0 ,				(3.65)
	С	/о\	У к (mf + тя)2^пп (0) т				(3.66)
	vava' '			ап
	S ^ ( Q ) = V ^fn2 Rf f (0)fa,						(3.67)
	5ViV<(Й) = V Т-тп^ДД (0)/йд,						(3.68)
		s v .(°) +		s ^ ( ^ =	o-		(3.69)
В сильном квазистационарном режиме управления
помеха	v ^ ) неограниченно убывает				с	уменьшением сте­
пени нестационарности			а,	что приводит к			обращению
в нуль	спектральных		плоскостей		5	(Q)	и Sv v (Q) -f-

+ ^ ( о > -

В области малых отклонений, когда ar <^. 1, нелиней­ ную зависимость спектральной плотности S ^ Q ) от тг

и аг можно линеаризовать:

(Q) =	2 У Щ , (0) аг2 [(1 -		е -2а’?) + 4а Т е - 204*].	(3.70)
Здесь г2	= т 4- а2 — втооой		начальный момент	вели-
п	г 1 г	1
чины г.
3.3.	Пример расчета установившегося режима

в замкнутой КЭС

Чтобы пояснить методику использования получен­ ных выше результатов, рассмотрим простейшую корре­ ляционно-экстремальную систему первого порядка.

Опишем линейную часть системы следующими урав­ нениями:

^ = kxux + V„ ^	= kyUy + Vy.	(3.71)
Здесь kx, kv — коэффициенты	усиления; их,	иу — выход­

ные сигналы блоков перемножения корреляторов про­ дольного и бокового каналов; Vx, Уу — измеренные со-

106

ставляющие скорости движения. В этом случае общая схема, приведенная на рис. 2.7, примет вид, показанный на рис. 3.2. Исследование корреляционных измерителей скорости движения, корреляцисщных измерителей угло­ вого положения, а также многих других конкретных

Рис. 3.2.

типов КЭС, сводится к рассмотрению схемы, представ­ ленной на рис. 3.2.

В дальнейшем будем считать, что составляющие ско­ рости движения Vx, Vv измеряются с ошибками 6VX, bVy,

т.	е.
	V* =	1f + 8V*’	Vv = W + bVy		(3-72)
Предположим, что датчик поляснимает сигнал					в точке
(х, у) истинного		нахождения движущегося		объекта *):
т.	xK(t)= x (t),		yK(t)= y (t),		(3.73)
	е.
	г х = = х д х п = х	Х п = А х, гу= г/д У п = = У f/n=		Aji>	(3.74)

где Ах, Ау — ошибки определения координат х, у.

На основании уравнений (2.72), (2.82), (3.71) — (3.74)

составлена структурная схема простейшей двумерной

*> При работе КЭС по поверхностным полям уравнения (3.73) обычно не выполняются из-за кренов летательного аппарата (или какого-либо другого движущегося объекта). В уравнениях движения дополнительно появляются члены, обусловленные возмущением, ко­ торое связано с отклонением оси датчика поля от местной верти­ кали.

107

замкнутой КЭС,		изображенная	на рис.		3.3,	где	А.,		Вх
и	Ау, Ву — операторы, а тх,		цх,	qx , v	и	ту,	rly,	q	,
v	— возмущения,	действующие		1	1	Л' и у,		__**i
				в каналах				А —

Рассмотрим вариант одномерной дифференциальной схемы КЭС, работающей по стационарному полю, когда Rff(za, 2Д—r)=Rff(r); структурная схема упростится

Рис. 3.3.

и примет вид, показанный на рис. 3.4, где опущены ин­ дексы каналов у всех величин, операторов и коэффици­ ентов.

Статическая характеристика системы

F (А) = R ,, (A—/) —Rff (А + /)

(3.75)

нелинейна. Анализ переходного процесса и установив­ шегося режима КЭС можно провести методом, аналогич­ ным методу статистической линеаризации (см. [72], (75]). Реальную нелинейную характеристику К(А) заменим линейной:

		F* = htm t + h iА.	(3.76)
Здесь mt =		т д (t) — математическое ожидание ошибки А,
Д =	А —■/Яд (t) —- случайная составляющая		ошибки, hB=
—	at),	hl — hl (mt, at)—эквивалентные коэффициенты

усиления нелинейного элемента по математическому ожи­

данию и случайной составляющей, at =	ад (^) — средне­
квадратическое отклонение ошибки Д(^).
Уравнение линейной части КЭС
dA!dt = k(F + \i),	(3.77)

108

где (а— полное		возмущающее				воздействие;
					3	4
|	А =	W +	Tj +			^	V f- +	- ^ ,	(3.78)
можно заменить двумя уравнениями:
		d m д		it)					(3.79)
		~	М	=	k ( m f +		т у)>
				О	о
			dA			о			(3.80)
первое из которых			описывает			поведение		математических
ожиданий, а	второе —поведение						случайных		составляю­
щих ошибки;	тр, т^ — математические							ожидания полез­
ной составляющей			выходного			сигнала		F коррелятора и
возмущения [а соответственно,						о	F — mF,		о
						F =			}а= (а— т
Будем считать ошибку измерения скорости 6V неслу­
чайной, тогда
				=	т +	bVfk,			(3.81)
		о			3	<
		I1 = Ч + £ 4 i + И V,-.							(3 .8 2 )
					1=1	£=1

На основании уравнений (3.76), (3.79), (3.80) струк­ турную схему, представленную на рис. 3.4, можно заме-

т q & v; Sv

Рис. 3.4.

нить двумя структурными схемами, приведенными на рис. 3.5. Коэффициенты передачи ho, h{ должны выби­ раться таким образом, чтобы с наибольшей точностью выполнялось условие

F(A)=F*-(A). (3.83)

В рамках корреляционной теории при соблюдении ра­ венств

mp (t) =	mF.{f),	(3.84)
Rffitu ti) =	Rp.F,{tl, *,)	(3.85)

109