книги из ГПНТБ / Пугачев, В. С. Основы статистической теории автоматических систем

Очевидно, в уравнениях (2.57) можно положить отличными от нуля только действительные части начальных значений первой функ­ ции разложения и ее /-е производные, а начальные условия осталь­ ных координатных функций и их производных считать равными нулю, т. е.

Re К »	(0)] Ф 0;	Im [у[г) (0)] = 0;
0) = 0;	i ф \ \	г = 0, 1........л - 1 .

Для действительных функций разложения эти условия имеют следующий вид:

У\г) (0) ф 0; у)г)(0) = 0; j Ф I; г = 0, 1....... n — 1.

При сформулированных условиях уравнение (2.57) принимает

вид выражения
D ^ ) = D 1R e [ ^ ) (О)]2, г = 0, 1,... , л - 1 ,	(2.58)
где обозначено

Д = Лц = М[У?].

Теперь из равенств (2.58) определим л отличных от нуля началь­ ных условий для первой функции разложения и ее производных:

Re [у[г) (0)] = ] / " ^ Ж , г = 0, 1,..., л - 1

(2.59)

или для действительной функции

Уравнения (2.52) и (2.56) по форме одинаковы, и каждое пред­ ставляет собой исходное уравнение при подстановке в него мате­ матического ожидания или координатной функции разложения иско­ мой и входной переменных. Следовательно, необходимо N + 1 раз проинтегрировать исходное уравнение при определенных различных начальных условиях. После интегрирования этих уравнений опре­ деляют математическое ожидание функции ту (t) и координатные функции t/j (t), j = 1, . . ., N.

Корреляционную функцию переменной Y (t) определяют путем

вычисления М [К0 (t) К0	(/')] на основании выражения (2.54). В этом
случае получаем формулу
Ky (t,	п = S 2 х » у }« ) у Л П ,	(2-61)
	/ = 1 V = 1
где yv (t') — комплексно	сопряженная функция.

При f = t по формуле (2.61) определяют дисперсию выходной переменной

Dy (0 = Ку (t, t).

В частном случае, если случайная функция X (() представлена каноническим разложением по некоррелированным случайным ко­ эффициентам V/, то формула (2.61) упрощается:

Ky(t, П =	П,
	/=i

где Dj = М [Vj].

Если для рассматриваемой системы задана некоторая идеальная

операция над полезным входным сигналом вида
Ут(0	= L (/,	р) тх,
то ошибка системы
Е (0 = 7	(0 - L	(t, р) тх.	(2.62)

Для математического ожидания и дисперсии ошибки системы по­ лучим формулы

. тв (I) = ту (0 — L (/, р) тх\ DB (t) = Dy (/).

Изложенный метод вероятностного исследования линейных си­ стем, в том числе и точности, применим также для многомерных систем.

Пример 2.2. Определить математическое ожидание и дисперсию выходной пере­ менной и ошибки следящей системы, уравнение которой имеет вид

TaY + Y = rnx + X о,

где тх — полезный входной сигнал, тх = а-\- Ы при а и b — постоянных пара_ метрах: Х° (t) — случайное возмущение, заданное каноническим разложением.

		N
	Xе (0 =	£	Kve'‘Mv',
		v= l
где Vv — случайные несвязанные коэффициенты с дисперсиями Dv.
Начальное условие	для величины	Y задано вероятностными моментами тУо
и Dy
Решение уравнения	записываем в виде
			N
	Y ( t ) = m y ( t ) +		£ Vyyv (/).

V = 1

Для определения математического ожидания ту согласно вышеизложенной теории воспользуемся уравнением

Т0ту + т у = тх;

t = 0; my (0 )= m y0t

которое имеет следующее решение:

__ 1_

ту (0 = а — ЬТ0 + Ы — (а — ЬТ0 — тУо) е Т° •

По формуле (2.2) определяем систематическую ошибку:

__ <_

,пЕ (/) = - ЬТ0 - (а - bTQ- m y^ е г° •

61

Для координатных функций yv (() имеем уравнения

7’oi/v+'/v = ef“v';		* = 0;	</1( 0 ) = |i / -
	Uv(0) = 0;		v =f=1,
где D
u i —
Решение этого уравнения имеет вид
Uv (0 = Jvl (0) е	т . +	_ _	—
	v =	1, . .	N
Дисперсию переменной У0	(/) и ошибку Е° (t) вычисляют по формуле

N

Dy(l)=DЕ (() = £ Dvyv (/) yv {t'). v=i

2.6. Метод интегрирования уравнений моментов

Рассматриваемый в данном параграфе метод статистического ис­ следования основан на использовании канонической формы записи уравнений динамических линейных нестационарных систем вида

П

(2.63)

(=1 (6 = 1 , . . . . п)

где Vk (t) — случайные коррелированные гауссовы белые шумы с отличными от нуля математическими ожиданиями и заданными ин­ тенсивностями Gkl (i). Для уравнений (2.63) должны быть заданы akl (t), bk (i) — известные функции времени и вероятностные харак­ теристики начальных условий. Метод состоит в определении теку­ щих значений математических ожиданий и корреляционных моментов координат системы на основании интегрирования уравнений для этих моментов. Дифференциальные уравнения для математических ожиданий и корреляционных моментов получаются из уравне­ ний (2.63) путем следующих преобразований.

Применим к уравнениям (2.63) операцию математического ожида­ ния, получим систему уравнений для математических ожиданий функций

	П			(2.64)
=	£	а/и (0 mUi +	bk (0 " V
	t=l
	k	= 1, . . .,	n)

Эти уравнения следует интегрировать при заданных начальных условиях: t = 0, myk (0), k = 1, . . ., п. Вычитая почленно из урав-

62

нения (2.63) уравнение (2.64), получим систему уравнений для цен­ трированных составляющих

Y k = t a k i ( t ) Y ° t + bk (f)Vl(f).	(2.65)
i=l

(k = 1, . . ., п)

Целью дальнейших преобразований является получение уравне­

ний для корреляционных моментов 01у- (/) = М [У?Ц) У/ (/)] на основании уравнений (2.65). Для этого вычислим производные по времени от 0У/ (t). Учитывая, что операция математического ожида­ ния по ансамблю случайных переменных и дифференцирования по времени линейны и независимы, получим

0// = М [У°У?] + М [У?УЛ

(»•,/= 1,

(2.66)

Подставляя в выражение (2.66) производные У? из уравнений

(2.65), получим

0|/ = J [а,Л / + а/Л/1'4- bj (t) М [У? (О У° (0] +

+bi (t)M[Y°i (t)VHt)\.

(/, / = 1, . . ., /г)

Вычислим

корреляционные

моменты

М [У? (/) У/ (t)],

М [У/ (1) V°c (/)]. С этой целью воспользуемся формулой (1.38) и выразим выходные переменные У° (/) через входные функции V° (I)

ввиде следующего выражения через весовые функции системы (2.65):

пt

= S	l	ёиг (t,	т) Ън(т) Vh ( Т) dt,	(2.67)
Л = 1	о
	(i	= 1,	. . ., /г)

где gitl (t, т) — весовые функции линейной системы (2.65).

Умножив правую и левую части выражения (2.67) на У° (/) и при­ менив операцию математического ожидания, получим

пt

М [У,- (0 У° (0] = 2 J gih (t, Т ) Ьн (т) М [V°j (t) V°i, (т)] dr. (2.68)

fc = 1 о

(i, j = 1, . . ., /г)

Случайные функции V/ (/) по предположению являются белыми гауссовыми шумами. Для их взаимных моментов справедливы выра­ жения

М [V°i (I) Vh(т)] = Gjh (l) 6 (t -	т),	(2.69)
(/, / г = 1 , . . . , п)
где Gjh (/) — взаимные интенсивности белых	шумов.

63

Подставив выражение (2.69) в формулу (2.68), получим
	«	<
М [Г? (О V°i (0]	= £	Gih(t) J	gu, (t, т) b„( t ) 6 (/ -		t) dx.	(2.70)
	Л=1	о
	(t,	j = 1,	. • ., я)
Весовая функция	g.;i (/)	физически возможной		системы		терпит
разрыв первого рода в точке т = t.			Имея при т > t	значение,		равное
нулю, она при х — t	изменяется скачком до glh (t, t).				Вследствие

того, что функция 6 (t — т) симметрична (см. п. 1.5), при вычислении интегралов, входящих в выражение (2.70), следует учитывать только 1/2 6-импульса в точке т = /, как показано на рис. 2.5. Используя свойство 6-функции (1.19), (1.20), (1.21) и произведя интегрирование в формулах (2.70) с учетом высказанного выше замечания о разрыв­ ности функций gih (/, т) в точке т = /, из выражения (2.70) получаем

м

[ к ?0(У /°(0 ] = 4 -

£

аС(/0 М

0 £ »а (*.

0 -

2-71)

z

/1=1

(/,

j — 1,

• •

ч h)

Весовые

функции

системы

(2.65)

имеют

следующее

свойство:

(

1,

h =

i,

§Ui (*. 0 =

\

о,

/г ф i.

В результате выражение (2.71) можно привести к виду

М [К? (/) У®(/)]

=

у Gji (() bi (/).

(2.72)

(i,

j =

l,

п)

Подставляя

выражение

(2.72)

в уравнения (2.66) и учитывая,

что Gu (I) =

Gi;- (/), получим искомую систему уравнений для кор­

g(t,V

реляционных

моментов

перемен­

ных

б,-/ = S

[«,-А / + «/АЛ +

г=1

О

М

О 0 G- , /2((.73)

+

М

(i, ; = 1 , . . . , n).

Следует учитывать, что в урав­

6-

нениях

(2.73)

б,-/ =

0/,-,

поэтому

число

независимых

уравнений

т — 0,5п (п +

1), где п — порядок

исходной

системы

уравнений.

Уравнения (2.73)

следует интегри-

\

r<t

T -t

T>t

£

Рнс.

2.5.

Симметрия

6-функцни

64

ровать-при заданных начальных условиях t = О, 01У- (0), i, / = 1, . . После интегрирования системы линейных дифференциальных урав­ нений (2.64) и (2.73) определяют математические ожидания, диспер­ сии и корреляционные моменты связи всех переменных системы как функции времени t.

Если исследуемая система и белые шумы на ее входах стацио­ нарны, то для определения установившихся значений математиче­ ских ожиданий, дисперсий и корреляционных моментов всех пере­

менных в уравнениях (2.64), (2.73) следует положить ту. = 0,

0(V- = 0. Тогда искомые величины определяют из системы алгебраи­ ческих уравнений

П

		Е a	i r > n U r =
		г=\		(2.74)
	Е	А / + a/Ai]
	г=1	(»',	/ = 1,	., п ) .

Точность системы по любой из переменных оценивают по форму­ лам (2.2), если задан полезный неслучайный сигнал на входе и соот­ ветствующий желаемый выходной сигнал для рассматриваемого выхода.

Изложенный метод анализа пригоден также, когда входные сиг­ налы Vk (0 представляют собой линейные многочлены со случай­ ными параметрами [34]. Процедура получения уравнений для кор­ реляционных моментов переменных сохраняется. При этом увеличи­ вается число уравнений для корреляционных моментов на nN, где п — число переменных системы; N — число случайных параметров во входных сигналах. Исходные уравнения динамической нестацио­ нарной системы в этом случае должны быть записаны в следующем виде:

ПЛ'(

у, = Еа,Г (0 А +	Е vlkuik U) + Ь( (0 V{(0,	(2.75)
Г = 1	& = 1
(i =	1.........п)
где uik (/) — неслучайные координатные функции времени,		F,* —

постоянные случайные коэффициенты, имеющие равные нулю мате­ матические ожидания и корреляционные моменты связи рД =

= М \VikVjr\, Vt (t) — нормально распределенные белые шумы, имеющие математические ожидания mVi (t) и корреляционные мо­

менты связи Gij (/) — М [V°i (t) Vj (/)]. Для простоты будем считать, что У. (i) и V!k не связаны.

В частном случае многочлен со случайными параметрами может быть каноническим разложением случайной функции. Применяя к уравнениям (2.75) операцию математического ожидания, получаем уравнения (2.64) для определения математических ожиданий пере-

5 В. С. Пугачев

65

менных. Вычитая почленно из уравнений (2.75) уравнения (2.64), получим систему уравнений для центрированных составляющих:

п	Ni	YikUik it) + bt (i) V° (t).	(2.76)
Y°t = S atr (l) Y°r -f	S
Г =1	* = 1
(i =	1,	. . n).

Применяя изложенную выше процедуру для корреляционных

моментов, получаем следующие уравнения:
6;/ =		[a-ir (О	+ air (0 Sir! +		(t) bj (t) Gn-(i) -f-
		r= l
		A'i		Л';-
		+ S	« i v M v+	s « /v (0 ^ v.		(2-77)
		\ '= 1		V = 1
			(i, / = 1,	. . .,	n)
где 0‘v (/) =	Л4	[У/ (/) y,-v] — моменты связи переменных Y°				(t) со
случайными	коэффициентами.

Для моментов 0}v (t) составляют дополнительные уравнения пу­ тем умножения уравнений (2.76) на KlV и применения операции математического ожидания:

п"i

	GГ =	Ъ ajr (t) 0‘v +		S	ц!^ /р(0-	(2-78)
		r = 1		р = 1	"
	(/, t	= 1, .	. ., n, V =		1, . . ., N).
Число	уравнений	(2.78)	равно	n (Nг + • • • + Nn).		Уравне­
ния (2.78)	следует интегрировать при нулевых начальных условиях.

Пример 2.3. Определить дисперсии на выходе системы, имеющей дифферен­ циальное уравнение

Y = —aY + V,

где а = const, V (/) — стационарный белый шум с нулевым математическим ожида­ нием и интенсивностью G = 2nS0. Начальное значение переменной Y при t = О является случайной величиной с дисперсией DUq и математическим ожиданием,

равным нулю.

Уравнение для дисперсии Dy в данном случае имеет вид

Ьу — — 2aDy + G.

Запишем решение этого уравнения:

Du = Dyir	2at + 4 (1_е_гв,)-
В установившемся режиме при	t -> оо

66

Пример 2.4. Дифференциальное уравнение одномерной системы имеет вид

У = —а У + а Х ,

где X (/) — стационарная случайная функция, имеющая математическое ожидание

тх — const п спектральную плотность	вида
Sx (со) =	р
*' '	я РЧ-со2 •

Необходимо определить ту, Dy.

В данном случае предварительно приводят исходное уравнение к системе с бе­ лым шумом в правой части. Для этого воспользуемся тем обстоятельством, что спек­ тральная плотность па выходе стационарной линейной системы с передаточной функ­ цией Ф (s), на вход которой подан белый шум с единичной спектральной плотностью, имеет вид [20, 56]

S x (со) = Ф (/со) Ф (—/со).

С другой стороны, спектральная плотность как дробно-рациональная функция частоты со

Н (/со)	Н (— /со)
Sx (ш )= F (/со)	F ( — /со)	’

где Н (s), F (s) — полиномы, имеющие корми в левой полуплоскости комплексной переменной s. Приравняв правые части выражений для S x (со), получим формулу для передаточной функции формирующего фильтра:

Ф(5) =	ш .
	F (s) ■

Представим в данном случае дробно-рациональную функцию в следующем виде:

х ^ ^ У Я Р + /со У Я Р — /со

Следовательно, передаточная функция фильтра, формирующего X (/) из бе­ лого шума с интенсивностью 0 = 2я,

Таким образом, исходное уравнение заменим системой
У = —аУ + аХ\ Х° = —РХ° +	V0,

где V0 (/) — белый стационарный шум с единичной спектральной плотностью S v = 1. Применяя к этой системе операцию математического ожидания, получим урав­

нение для	математического ожидания
	ту = —ату + атх\		тх = const.
Для корреляционных моментов получаем			уравнения
	%у = — 2аву[/ +		2адух,
	/х = — (а +	Р)®ух + aD0,
где учтено,	что 0,vv — D0.
Исключая из этих уравнений корреляционный момент 0 ^ , получим одно урав­
нение для	Qyy:
	(Р + 2о) (р + а +	Р) 0уу = 2a-D0.
3			67

При интегрировании	уравнений		примем следующие начальные			условия:
t = 0, тв (0) = mUo, Qyy (0) = DVo, вух (0) =				0.
Решения уравнений	имеют вид
	,Пц (/) =	(тУо — /Ид) е al + тх\
0уу (0 = Пе-2а/ + с2е-<а+'3) ‘					oD0
					р !
где
Р Уо (а	|3) — aD0		^	[ОУ0 (о-|-Р) — oD0] 2а
Cl ~	Ра—	’	С'2 ~		а + Р	п — Р '

При t -> оо в установившемся режиме из последних формул получаем

ту (оо) = т Dу (оо) — Qyy (оо) — аРо

о + Р

Рассматриваемый метод можно применить также к определению корреляционных функций фазовых координат системы в неустановившихся режимах. При этом получаем уравнения в частных про­ изводных [28, 56]. Чтобы получить эти уравнения, продифферен­ цируем выражение для корреляционных функций фазовых коорди­ нат системы по первому аргументу i, считая V фиксированным пара­ метром:

дКУ;У1{(, i ) _	м |уо ^	у(о>	_	(2.79)
(i, 1=1, . . .,		п).
Так как корреляционные	функции	КУ[У1	(t, t')	симметричны

относительно оси t' = t, рассмотрим только случай t )> t'. Пусть поведение системы характеризуется уравнением (2.65). Подставляя из выражения (2.65) в формулу (2.79) значения производных, по­ лучим

У' ^ ) =		и			it
		аи (I) КЩУ1 (t, t') +			bt (I) j 2	§iPV , t) bp (i) Glp(/).
dt		/ = 1			p =	i
			(i,		n).
В полученных уравнениях при t					)> t' вторые суммы исчезают,
так как	glp ((',	i) = 0. Поэтому для			определения		корреляционных
функций	КУШ1 (t, t') в		области t > t' получаем уравнения
		Мур,	(/, П	.Е %	(0 Кщт (*. П-		(2.80)
		dt
			(/,	1 = 1 , . . . , п)

68

Начальные условия при интегрировании этих уравнений следует принять в следующей форме:

W * ' . О = 0,1 (О-

(i, I = 1, . . п)

Эти функции являются корреляционными моментами и диспер­ сиями фазовых координат, и их определяют путем интегрирования уравнений (2.73).

Таким образом, алгоритм определения корреляционных функций фазовых координат линейной многомерной системы состоит в одно­ кратном интегрировании системы уравнений (2.73) и многократном интегрировании системы (2.80) при фиксированных значениях вто­ рого аргумента V : /{, fa, . . . В результате получим ряд сечений корреляционных функций, параллельных оси t и расположенных в области t >• i'.