книги из ГПНТБ / Слободенюк, Г. И. Квадрупольные масс-спектрометры

П Р И Л О Ж Е Н И Е 1

Функции Матье целого порядка [20]

Уравнение	(1.16) при а и q, соответствующих					собственным	зна­
чениям, имеет	частные	периодические решения			с	периодом л	или
2л. Эти решения называются			функциями Матье целого порядка.
Их удобно представить в виде				следующих	тригонометрических
рядов:
			СО
	се2п(%, q) =		y )	ЛS,2n> cos 2л|
			r=Q
(собственное значение а2п, период равен я),
		<30
ce2„+i (I,		q) =		cos (2r +		!) I
		r —0
(собственное значение a2n± г , период равен 2я ),
		оо	5^+'> sin (2л +		1) I		V 1 )
se2n+i (g, q) = Т)
		7=о
(собственное значение Ь2п+ г » период равен 2 л ),
se2n+2 (|,		со	B(2^+2)sin(2r-f2)|
		q) = У]
		л = 0
(собственное		значение Ь2п+2, период равен л),

где коэффициенты разложения Л и В, а также собственные зна­ чения а и Ь являются функциями q. Нас в дальнейшем будут инте­ ресовать зависимости собственных значений в ближайших к началу

координат	(a,	q)	областях		стабильности,			т. е.	при п= 0:
	1				29			68 687
fl0 = •	2	<?г +	128		2304	qe +	18 874 368 ?e +			0(91»); (2)
h			1		1	1		94 —	11	96 +
	1 — 9 — — q'				— q'	1536			36 864
			8	4	64
			49			55	q7 — 0 (qs);
		+ 589 824			9 437 184					(3)

236

	я		i			11	g5 +
a i = i +			64	1536 <?“ + 36 864
		49		55	Ц1— 0 (qa);		(4)
	589 824
			9 437 184
-4 — ---- G2			5	.	289
			13 824	94 — 79 626 240		‘4-
	12	1
		21 391		■7 s +	0 ( ? io ) ;		(5)
	458 647 142 400
a, =	5		763	r4 +	1 002 401
	4	02 _	■		------------	<?6 —
	12		13 824		79 626 240
		1 669 068 401		98 +	0 (q10).		(6)
		458 647 142 400

П Р И Л О Ж Е Н И Е 2

Общий вид функций Матье действительного дробного порядка [20]

Вобщем случае функции Матье действительного дробного

порядка ( т + 13)

при

q>0, 0 < Р < 1

и действительном

(1

по

опреде­

лению имеют вид

ОО

се2 п + р (Е,

? ) =

2

4 r n+P>c o s ( 2 r +

Р) Е;

(1)

Г——00

ОО

se2„+p (I, q)

=

2

А2гПШ sin (2r 4- P) £•

(2)

r

— — oo

В формулах

(1)

и

(2)

точка

(a,

q)

лежит

между

значениями

а2п и Ь2п+2 (см.

рис. 2).

ОО

се2я+1+р (£,

q) =

2

Л ^ге+1+Р)соз(2л +

1 4 -0)

(3)

Г ~ — ОО

со

se2n+i+p

(I.

9) =

2

4 r " +1+P) sin(2r +

1 + Р ) | .

(4)

Г = - —

ОО

В формулах

(3)

и (4) точки (a, q)

лежат

между

значениями

«2П+1 и &2П+2 (см. рис. 1, 2).

канонического

уравнения Матье

(1.16)

Если q < 0,

то решением

будет функция Матье

аргумента

£ i= n /2 —|,

т. е.

СО

ce2n+ p ( - f - “ 6, ‘;) = со5'? ~ 2 ( - 1)'4 ? л+Р)со8(2/' + Р)Б +

Т = — оо

237

+	sin~ -	2	( -	lY A 2rn+e,) sin (2r + $) i;							(5)
2/г+р	f зх			\	л|5			( - 1)М«2Я+Р) X
	— S. qJ = S ‘n
s e 0
X cos ( 2 a -f- P) g — cos			лр
			~2~	3			4	r " + P ) s i n " ( 2 A + P ) g .			( 6 )
Поскольку по определению
				СО
ce2«.f p (6 . — <?)== ( - 1 ) ”				2	( -	1У Л ^ + Р ) cos (2a 4 - P) g;					(7)
			f = —00
Se2«+P (5.	— Я) =	(~ 1 ) Л 2			(— ^		4 f ' +P) sin ^			+ P) E.	(8)
			/■——00
				(собственные				решения	при	a — а2/г+р)
то связь между соотношениями (5),						(6)	и	(7), (8)	имеет следую­
щий вид:

ce2«+fi(E-	— <?)= (-1)"	■	яр
		cos	' 2
	л8	2*4 £	/ я
	sin ------se		( 2
		г	Яр
se2*+B (5.	- я ) = ( - i ) n	sin ■	2

лр

- c o s ~ s e 2„+p

	/ я		\
се2л+|3		г ~ 6- V +
6*	м		;	(9)
	0	J
	4	л	\
Се2я+Р V 2
— g,	q			( 10)

Согласно принятому в литературе [20] принципу нормировки (если p = P / S — несократимая рациональная дробь), функции Матье действительного дробного порядка, имеющие период 2Srt, должны удовлетворять следующим соотношениям:

2S4			2Src
& Г I сет+р (ё>	9 )rfs= 1 ,	—	I se^+ p (g,	q ) d l = 1,	(11)
о			0
из которых с учетом	(1)—-(4) следует:
		СО
2 К 2л+Р)]2 =		2	[ 4 r+tI+P)]2=	1.	(12)
г——00		/■——00

238

Сопоставляя выражения (11) и (12) из приложения 2 с форму­ лами (1.22) и (1.23), можно заключить, что

A<ir — КС2г и ■Дз/'-рх — КС2г~pi* (13)

:— ОО

При численных расчетах проще пользоваться рядами вида (1.22— 1.23), чем (1—4). Этим объясняется использование во всех литера­ турных источниках по квадрупольным масс-спектрометрам рядов

(1.22), (1.23)

П Р И Л О Ж Е Н И Е 3

Методика расчета величин (3 и С2г в разложениях вида (1.22) и (1.23,)

Пусть решение канонического уравнения (1.16) в стабильной области между границами собственных значений а2п и Ь2п на диа­ грамме (a, q) (см. рис. 2) имеет вид

СО

* == се2п+$ (£> Я) = к % C2r cos (2а + Р) I.	(1)
А = — оо

Подставляя найденное решение в уравнение (1.16) и приравнивая коэффициенты при cos (2а+Р) нулю, получаем рекуррентное соот­ ношение

	[а — (2а + Р)2] С2г — q (С2г+2 С2г—2) — 0,			(2)
	которое может быть преобразовано к виду
	С2Г	= __________ Я_________		(3)
	С%г—г	а — (2a -f- Р)2	qC2r+2/C2r
	В выражении (3) заключено правило		составления цепных	дробей,

с помощью которых рассчитываются коэффициенты С2г. В самом

деле, заменяя последовательно в правой части выражения									(3)	отно­
шение	С2г+21С2г дробью,			согласно	(3), но для значения индекса
(а + 1 ) ,	и	продолжая	этот	процесс	замены		бесконечно, получим
		С2г	д				|	?2
		С* г - 2 _ [а - (2г + р)2 |			а - (2а + 2 + Р)2 |
	_____________ h f ___________ __						_ ? /(2 г + р)2
		а — (2г +	4 +	;i)2— . .	.	1— о/(2а+ Р ) 2 |
| ?2/(2а + Р )2 (2а +			2 + р )2 | <?2/ ( 2 а +			2 +		Р )2 (2а+ 4 +	р)2
	1 -	а/(2г + 2 +	Р)2 |	1 -	а/(2А +			4 + Р)2 - . .	.	U

С помощью соотношения (4) можно рассчитать все коэффициенты Сгг ряда (1), отнесенные к какому-либо одному коэффициенту, на­ пример Со, который можно положить равным 1. При этом расчеты тем точнее, чем большее число членов дроби (4) учитывается.

239

После того как все коэффициенты С2г определены, находится нор­ мирующий коэффициент К по формуле (13) из приложения 2. Чтобы при расчете С2т можно было пользоваться формулой (4), необходимо точно знать значение (5. Приближенно Р можно полу­ чить следующим образом;

				5а -|- 7
Р -	[2 (а -	I)2 - ? 2] Ф— 32 (а — I)3 (а — 4)				Ф -
	9а3 +		58а + 29		Т /2
	---------- !-------!----------					(5)
	64 (а — I)5 (а — 4) (а — 9)
Оно справедливо при
	I а I	»	<?2/2 [(т +	Р)2 —		(6)

Для дальнейшего уточнения р заменим в выражении (2) г на (г— 1).

[а (2г — 2 -(- Р)2] С2г_ 2— q (C2r -j- С2г_$) — 0,

(7)

откуда

Саг-2 _____________ Я______________

(8)

С2г а — (2г — 2 -j- Р)а — q (C2r_^)l(C2r_ 2)

или

C2r	_ — (2r — 2 -(-P)2 - f а	1
Саг—а	Я	(Са/-_а)/(С2г_4)
	- (2г - 2 + РУ Ч -a L	дЦ2г - 4 + р)2

Я1 - а/( 2 г - 4 + Р ) 2 |

_ I У2/(2г — 4 -[- Р)2 (2/- — 6	р)2
1 — а/(2г — 6 + Р)2 — .	. . '	( ’

При любом заданном г соотношения (4) и (9) должны давать одинаковые результаты, если значение р выбрано точно и взято достаточное количество членов в указанных цепных дробях. Поэто­

му, полагая для простоты в выражениях (4) и			(9)	г= 0	и прирав­
нивая правые части выражений (4) и (9) друг				другу,	находим
точное значение р.
		П Р И Л О Ж Е Н И Е 4
	Методика расчета р,ь ц2, С'2г
и C2rJ_2 в разложениях вида (1.31)			и (1.32)
Расчет |х и С' производится аналогично расчету р и С2г из
приложения	3. Предположим,	что точка (a,	q)	, определяемая
каноническим	уравнением Матье	(1.16), лежит	на диаграмме рис. 2

в области неустойчивых значений между а2п и Ь2п. В этом случае

одно из частных решений	уравнения (1.16)	можно записать в виде
оо		со
я) = К ' ехр (|4) 2	C^exp (2r\i)~K' 2 С2г ехР ((2г—ф) £*),
Г=—ОО		Г==—ОО

(1)

240

где К' — постоянный		нормирующий множитель; р — действительное
число; С'гг — комплексные			коэффициенты				разложения,			зависящие
от р, а и Ь.	Подставляя		выражение		(1)	в (1.16)			и приравнивая
нулю коэффициенты		при cos		(2r—г'р)| или			sin (2г—г'р)|,				получим
основное рекуррентное соотношение
[а	(2г	гр)2] C2r		q (С2/._|_2 - f			С2>._ 2)		= 0,		(2)
из которого	следует	выражение для			расчета			коэффициентов С'2г
в виде цепной дроби:
С2г_____ —<7/(2г — г'р)2				| д21(2г — г'р)2 (2г					2 — г'р)2
С'2г_ 2 ~	1* — а/(2г—«р)а |			1 -	а/(2г +			2 — г'р)2		|	~
	_ | ?2/(2л+ 2 -			г'р)2 (2л + 4		-	г'р)2
		1 — а/(2г - f 4 — гр)2 — .					.	. ‘			’
Подставляя в выражение				(2) —г вместо г находим:
[а	(2г + г'р)2] С _ 2г — q (С _ 2г_ 2 -}- С _ 2/._|_2) =									0.	(4)

Сопоставляя формулы (2) и (4) и имея в виду, что a, q и р — действительные числа, заключаем, что C'2r и СС 2г, отнесенные к действительному С'о, представляют собой комплексные сопряженные числа. Из этого следует, что действительное частное решение урав­ нения (1.16) для указанной области нестабильности (между а2п и Ь2п) можно получить-в виде:

	* (± I > Я) =	сеи2я + ц (±		Ъ> Я) =		К 'ехр (± р |) (р0+
		оо
	+ . 2 Par cos (2г£				±	ф2г)} .		(5)
		г= 1
Здесь	С’гг —ргг exp	(tq?2r);	С'о=2р0			(действительное),		причем
Ф2г = — (фгг+25я), где 5 — целое число						натурального ряда. В вы­
ражении (5) указаны два частных решения (одно со							знаком « + »,'
другое со знаком «—»), составляющих						фундаментальную		систему
для разбираемого случая.
Если точка (a, q)		лежит	в области			нестабильности	между кри­
выми Ьгп+1 и a2-n+i		(см. рис. 2), то частное решение					уравнения
(1.16)	имеет следующий вид:
				ОО
	Х (Е , <7) = tfi'exp(p,		I)	2	С2г+1 ехР [(2r + 1)			(6)
			Г = — ОО

Рекуррентное соотношение для этого случая будет:

	[а — (2г 1 — г'р)2] C2r_|_j — q (C2r_j_3+ C 2/._ 1) = 0 ,				(7)
а выражение		для расчета коэффициентов		C'2r+i представляется
в виде:
Сгг+ i	^ - < ? / ( 2 r + l - / p ) 2		_ | q2/(2r +	1-г'р)2 (2т+3-г'р )2 _
C 2 r — i	1	— а/(2л + 1 — г'р)21	1 — гг/(2г + 3 — г'р)2 1
		| д2/(2 г + 3 -г 'р )2 ( 2 л + 5 - г ' р ) 2
		1 — а/(2г + 5 — г'р)2 — . . .

16 Г. И. Слободенюк

241

Подставляя в формулу (7)	выражение	(г+1) вместо г ,	находим:
[а — (2r -j- 1 — ф )2] С _ 2л_ [		q {C _2r it 1 +
+	С’ 2г_ 3) =	0.	(9)

Сопоставляя выражения (7) и (9), можно убедиться в том, что

(C'ir+dC'i)	и	(С_2г_ ijC '-i) — комплексно сопряженные числа. Это
позволяет выразить действительное решение уравнения (1.16)								в виде,
аналогичном соотношению (5):
		Х ( ±	I,	<7) = ceu2„+ 1 + (l(± £,		q) =
				ОО
=	К[	ехр (±	(х|)	\ \ р2/-Н cos [(2r +		1) £ ±	фгг+ i] .	(Ю)
				г=+0
где для	всех	r ^ l :	C2r+i = expi0op2r+iexp(i(p2r+i).				причем	p2r+i =
= p_2,_i; ф2г+1= — (ф -2г—1 + 2Sn); C 'i= l;					C'-i = exp(i20o).
Согласно принятому				в литературе	принципу		нормировки [20],

значения К' и К'\ из выражений (5) и (10) определяются следую­ щими соотношениями:

К'		(И )
		- V ,
*1 =	г=ОpL+1	( 12)

Частным линейно независимым решением уравнения (1.16) для слу­

чая,	когда	точка (alq) лежит между			кривыми	b2n+i и		a2n+i при
д<0,	будет:
	сеи2 я + 1 + ц ( ± 5 >			~ Я ) = К exp ±			Р Х
		ОО
		X У	( - 1 ) г Р2Л+1 sin [(2а + 1) 6 ±			ф3г+1].		(13)
		г=О
Значение р		можно	найти	по методу	расчета Р	(см.	приложение		3)
с использованием выражений (3) и
	^2г	— (2г — 2 — ф )2 -[- а			д/(2г — 4—ф)»
С ’2 г _ 2		”	Я	+	1 _ в/(2г - 4		- / р	) « | “
		_	| ?У(2г —4 — ф )2 (2г — 6 — <»*						,
			1 — о/(2г —6—ф)*—. . ,					(	‘

242

или с использованием выражений (8)			и
Сгг+1	_	— (2г — 1 — г » 2 + а	.	<?/(2г — 3 — г » 2
CV_i				1 — а/(2л — 3 — г » 2 |
		| дЗ/(2г—3 — t » 2 (2r — 5 — г » 2
		1 — а/(2г — 5 — /р,)2 — . . .
				П Р И Л О Ж Е Н И Е 5
Расчет коэффициентов а2г, а2г,			у2г, ч\трядов (1.33) и (1.34)
Указанные степенные ряды представляют собой ряды Тейлора
для коэффициентов функций Матье дробного порядка се^					(ti—q)
и сер2(|,	q)	по (1—Pi) и р2 соответственно. Отличие ряда			(1.33)

от обычно принятой для ряда Тейлора формы состоит в том, что

разложение в (1.33)	осуществляется		по	степеням (1—Р),	а не
(Р— 1). Это удобно	потому, что	P i< l	и,	следовательно,	в ряде
(1.33) сомножитель,	зависящий от	независимой переменной,			всегда

положителен, а в ряде Тейлора он положителен для четных и отри­ цателен для нечетных степеней независимой переменной.

Учитывая сделанные замечания и пользуясь известным выраже­

нием для ряда Тейлора [21], можно написать:
	к%г■	dCa			dC2r			( 1)
		dh	3i=i			2	г=о
	Г2Г =	d2C.2			d*C%
		dP?	*i=l		V2л		Ps=0	(2)
					dp?
Выражение (3) приложения 3				преобразуем к виду:
		C2r =	q	С*г—ъ+ С2г+2				(3)
				a - ( 2 r	+ p)2
Возьмем	первую и вторую производные от					С2г	по Р, помня при
этом, что	в выражении (3)			от р	зависят	величины С2г, С2г+2,

С2т-2, а и q. Обозначим производные коэффициентов точками над ними:

Q _	У	Ч~ Qr+a)		С2Г_ 2	С2г+2
'2r“'		а — (2 /-+ р )2	+	й _ ( 2 г + р ) 2 Х
		а — 2 (2л - f Р)				(4)
		X			J
		а — (2г 4- Р)2
Q, _	9 (С2г—2 4~ C jr+t)		.	Cir—2 4~ Qr+2
2 г _		а - ( 2 г + р)2	+	а _ ( 2 л + р)2 Х
					16;	243

X

2q — 2<7

2 ( 2 л +

P )

^2/-—2 ~Ь С2Г+2

7 - 2

q —

a —

«— (2/- + p)2

a -

(2r + p) 2

g _ 2 ( 2 r + p)

J

g - 2 ( 2 r + P)

a - 2

j

a — (2r +

P)2

a — (2r - f P)2

Я a -

(2r 4

- p)* J '

( '

В приложении 7 [см. формулы (3) и (6 )] установлено, что квад­

рат малых

отклонений Рг=ри

от 0

и

Pi = р*

от 1

линейно

связан

с малыми

отклонениями

а

и

q от

соответствующих

собственных

значений

функций Матье

а0 и аи [см. соответственно формулы

(2)

и (4)

в

приложении

1].

Это

означает,

что

первые производные а

и q по

Р,

входящие

в выражения

(4)

и

(5)

и взятые

вблизи

упо­

мянутых собственных значений функций Матье, т. е. около соот­ ветствующих границ диаграммы стабильности (см. рис. 4), будут

малыми величинами порядка				р2 (или 1—Pi)				и	ими можно		прене­
бречь при	расчете рядов		(4)	и (5), если р2 (или 1—Pi) ^ 0,1,. Так,
после некоторого упрощения выражения					(4)		и	(5)		примут вид:
Г	*	—2 "Ь С2Г4-2		_1_0л -( 2г 4 ~		Р ) {Съг—			2	~Ь ^ 2 г + г )	(6)
Г '		а - ( 2 г + Р)з		“Г ^<7	[а -		(2г +			р)*[*
		{ р г г — 2 + ^гг+г) , G							4?(2' + Р)
и 2г		а — (2л	Р)2	+ [а-!Г=^ Г ,С1Г1 \
с 2г_-2 +		C2r-l-2 J ••		а				а +		3 ( 2 г + р)*	,
а -(2 г + Р )2 \q ~ q а— ( 2 г - [ - Р ) 2 +						2 ? [ а — ( 2 г + P ) 2 ] V ^ ' ^
Выражения (6) и (7)			представляют		собой				рекуррентные соот­

ношения между С2г, С2г- 2 и С2г+2 и между С2г, С2г- 2 и С2г+2 и

могут быть легко преобразованы в ряды, не содержащие в правой части производных того же порядка от коэффициентов С2г+23, что и производная от С2г, стоящая в левой части равенства. Так, напри­ мер, выражение (6 ) преобразуется в ряд вида;

±00

С2 Г —	2t?('+ l/ 0(2г + 2/+Р) х
	[а — (2г -)- 2/ + Р)2]2	X
/=0 , ±1, ±2 ,
i + - r
X i p 2 r + 2 j — 2 ± ^ 2 г + 2 / + 2 )		(8)
	So
X	П [ а — ( 2 г + 2 s + Р ) 2 ]
	s=0
где s0 = (( 1 ПрИ [ >0,	С2г+2/_ 2 и С2г+ г/+2 при р =	0 или р= 1 яв-
w + i при 7<и;

ляются коэффициентами разложения вырожденных функций Матье

244

целого порядка се0(£, q), или cei(g, q) соответственно. Зная выра­

жения для		Сгт и С2г, можно			определить значения		искомых коэффи­
циентов:
а 2г ~	~ Сгг		I '>	a 2r ~	Czr 1(3=0 >	У2г =	^2r !p = l I (9 )
				У°2г =	Съг 1(3=0 •
Ряды	вида	(8)	при	[а |< 1 и |<?|<1 быстро сходятся и для расчетов

с достаточной точностью в нашем случае можно учитывать не более 3—4 первых членов.

			П Р И Л О Ж Е Н И Е 6
Расчет коэффициентов Aix, А2х,		Bix,	В2х, Aiy, В1у, А2у, В2у
Согласно принятым обозначениям параметры ионов, двигающих­
ся по нестабильным траекториям, определяются выражениями:
* = Ах exp (р |) (ев! + у sej) - f		Вх exp (— р |) (cej — у sej);		(1)
	У = се0 (Ау ехр (р|)	+ Ву ехр (—р£)).		(2)
Полагая, что в начальный момент |= |о ;			х = х 0; х = х 0; у=уо и у = Уо,
находим две системы алгебраических уравнений относительно				Ах,
Вх и Л , и Ву:
х0 =	Ах ехр (р |0) (се10 + у se10) +	Вх ехр (— р£0) (се10 — у se10);		(3)
	*о = Ах ехр (|Ag0) [р (се10 + у se10) + (се10 + 7 se10)] —
	— Вх ехр (— р |0) [р (се10 — у se10) — (се10 — у se10)];			(4)
	Уо = се00 [Ау ехр (р£0) + Ву ехр — (р |0)];			(5)
Уо =	Ау [се00 + р се00) ехр р10+ В у (се00 — р се00] ехр (— р£0) ,			(6)

где второй индекс при сеь sei и сео обозначает лишь, что указанные функции Матье целого порядка взяты при g—go- Из полученных уравнений определяем:

Ах -« ехр (— р£„)/И^ {— [(сею + V seio) ^ — (сею — V se10)] х0—

(се10 — у sei0) х0] ;

(7)

245