книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

10 Предисловие автора к русскому изданию

rand Roinhold Book Company. Матерная книги основы­ вался главным образом па работах автора и его коллег, проведенных в фирме Bell Laboratories. Следовательно, в ней не нашло отражения большое чпсло работ других

исследователей,		выполненных	как	в Соединенных .Шта­
тах,	так п в Советском Союзе.		Я писал книгу в свободное
время. Сначала в первом варианте				книга	была	написана
с намерением издать учебник для				студентов		универси­
тета.	Позже	она была переработана			в соответствии

с пожеланием американского издательства опубликовать книгу для инженеров.

При подготовке русского издания я использовал воз­ можность исправить некоторые опечатки (те, о которых мне стало известно к моменту написания этого предисло­ вия), оставшиеся в книге даже после тщательной правки корректуры.

В заключение хотел бы выразить мою искреннюю бла­ годарность редактору перевода В. В. Шевченко, перевод­ чикам и издательству «Мир» за их интерес к моей книге, за быструю п квалифицированную работу, сделавшую возможной столь скорую публикацию книги на русском языке.

Д. Маркузе

ПРЕДИСЛОВИЕ

Изучение света и особенностей его распространения не является новой областью исследования. Но с изобрете­ нием лазера резко возрос интерес к свету как носителю информации. Цель настоящей книги — изложение физи­ ческих основ, необходимых для поиимаиия прохождения света через различные направляющие среды, и методов передачи света применительно к системам оптической связи.

Проблема передачи света настолько обширна и разно­ образна, что пришлось произвести определенный отбор материала и опустить некоторые детали, которые могли бы, возможно, оказаться существенными для некоторых читателей. Отбор материала обычно с неизбежностью от­ ражает личные интересы и опыт автора. Настоящая книга

вэтом смысле не является исключением. На отборе мате­ риала сильно сказалось то, что автор многие годы работал

вобласти передачи света по различным оптическим волно­ водам. В то же время я полагаю, что приведенный матерпал отражает современное состояние предмета и послужит для читателя хорошим введением в теорию направленной пере­ дачи и распространения света. Рассмотрение материала проводится аналитическими методами. Особое внимание уделяется математическим методам, используемым для

решения задач, связанных с направляемыми волнами. В качестве математического аппарата, мне кажется, лучше использовать метод нормальных волн, хотя некоторые авторы предпочитают методы, основанные на функции Грина.

Книга предназначена для инженеров и физиков, кото­ рые интересуются методами передачи света и хотят осво­ ить математические методы решения задач, связанных с пе­ редачей света. Можно надеяться также, что читатель най­ дет для себя полезные сведения о свойствах световодов,

12 Uрсдисловис

оптических волокон и методах передачи света с помощью гауссовых пучков. Эту книгу я рассматриваю как учебное пособие по курсу оптики. В. настоящее время оптика ие является дисциплиной, изучаемой на всех технических факультетах. Но быстро растущий интерес к оптической связи и блестящие перспективы использования света в качестве носителя информации позволяют надеяться, что курс оптики войдет в программу всех технических факультетов. Эта книга должпа восполнить пробел в учеб­ никах по технической оптике.

Книга начинается с введения в волновую оптику, явля­ ющуюся основой при изучении передачи света. Введение довольно краткое, так как этот вопрос рассматривается во многих книгах по оптике и электромагнетизму. Во второй главе излагается скалярная теория дифракции, необходимая для понимания работы линзовых волноводов. Особое внимание уделяется приложению этой теории к анализу прохождения света через апертуры, к дифрак­ ционным решеткам и дифракции Брэгга.

Геометрическая оптика рассматривается как предель­ ный случай волновой оптики, поэтому мы начинаем ее рассмотрение с вывода уравнения луча из уравнения эйконала, которое в свою очередь получается из скаляр­ ного волнового уравнения. Затем строится лучевая теория из принципа Ферма в формулировке Гамильтона. Такой подход особенно удобен для выявления связи между луче­ вой оптикой и волновой оптикой при использовании квантования в лучевой теории. Оригинальным является использование при рассмотрении геометрической оптики теоремы Лиувилля, взятой из статистической механики.

На основании свойств тонких линз проводится анализ работы линзового волновода и обсуждаются его свойства с точки зрения волновой и лучевой оптики. Рассматри­ ваются статистические смещения линзы, а также аналогия между линзовыми волноводами и резонаторами лазеров.

Анализ линзовых волноводов естественным образом связан с гауссовыми пучками. Распространение этих пучков в свободном пространстве и трансформация их при прохождении через линзы исследуются в шестой главе. Седьмая глава посвящена вопросам распространения света в среде с квадратичным изменением показателя пре-

Предисловие

13

ломлешш и опять-таки относится к гауссовым пучкам

илинзовым волноводам.

Востальных трех главах книги рассматриваются ди­ электрические волноводы и оптические волокна. Основное внимание уделяется нормальным модам в диэлектрических

волноводах. Изучаются как	направляемые моды,	так
и моды излучения. Развитая	теория используется	для
исследования излучения и преобразования типов		волн
из-за несовершенства диэлектрического волновода.		Рас­

сматривается влияние систематических и случайных иска­ жений диаметра сердцевины оптического волокна, а также радиационные потери, обусловленные изгибом.

В последней главе излагается теория связанных ди­ электрических волноводов. Выводится уравнение связан­ ных волн. Выражения для коэффициентов связи являются достаточно общими и справедливы для любых диэлектри­ ческих волноводов, выполненных из материала с потеря­ ми. Эта теория используется для анализа перекрестной связи между двумя параллельными оптическими волокнами.

Материал книги в значительной мере новый и в дру­ гих книгах ранее не рассматривался. Однако данная книга не исчерпывает всех сторон рассматриваемой про­ блемы: для этого потребовался бы больший объем изложе­ ния. Как отмечалось выше, на отбор материала и глубину изложения оказали влияние интересы и опыт автора,

атакже ограничения, связанные с объемом книги.

Д. М а р к у з е

1

ВОЛНОВАЯ ОПТИКА

1.1. ВВЕДЕНИЕ

Свет представляет собой электромагнитное явление. По­ этому оптика должна быть просто разделом электро­ динамики. Но историческим причинам все же оптика обычно рассматривается как самостоятельный предмет, поскольку световые явления изучались задолго до того, как была установлена электромагнитная природа света. Существенным обстоятельством является то, что мы ощу­ щаем свет глазами, тогда как электромагнитные колеба­ ния частот, отличных от оптических, могут обнаруживать­ ся только с помощью специальных устройств.

Другой особенностью света является очень короткая длина волны, что позволяет использовать методы прибли­ женного анализа. На более длинных волнах это сделать нельзя. В связи с этим в оптике используются два различ­ ных метода приближения. Волновая оптика непосредствен­ но основывается на уравнениях Максвелла, тогда как лучевая оптика использует малость длины волны света для упрощения многих задач, связанных с распростране­ нием света. Лучевая оптика во многих отношениях подоб­ на мехаипке материальной точки, а волновая оптика близ­ ка к квантовой теории световых лучей. Этот вопрос будет подробно рассмотрен в главе, посвященной геометриче­

ской	оптике.	главе запишем уравнения	Максвелла
В	настоящей
и выведем из них волновое уравнение. Затем			применим
эти	уравнения	для решения некоторых характерных

н важных задач. Эти задачи волновой оптики выбраны так, чтобы облегчить понимание последующих глав. Волновая оптика является обширным и хорошо разрабо­ танным разделом оптики и излагается во многих учебни­ ках 11J. Поэтому мы не будем стремиться к полному изло-

Волновая оптица

15

жецшо волновой оптики, а ограничимся рассмотрением здесь основных свойств отражения и иреломления света на границе между двумя диэлектрическими средами и в следующей главе обсудим основные задачи дифракции.

1.2. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Уравнения Максвелла подробно рассмотрены в ряде учебников по электромагнетизму (см., например, [2] и [3]), поэтому здесь достаточно лишь сформулировать их. Вектор напряженности электрического поля Е н век­ тор электрической индукции D связаны с вектором напря­ женности магнитного ноля Н и вектором индукции В следующими уравнениями *):

V x H = ^ -	(1.2.1)
и
V X E = - ^ .	(1-2.2)

Член с током в первом уравнении Максвелла (1.2.1) опу­ щен, так как возбуждение света чрезвычайно редко опи­ сывают посредством токов.

Электрические векторы связаны друг с другом. В об­ щем случае эта связь может оказаться весьма сложной, например тензорного или даже нелинейного характера. Однако для многих практически интересных случаев

можно предполагать простое	линейное	соотношение
D =	еЕ,	(1.2.3)

которое справедливо для линейной изотропной среды. Константа е есть диэлектрическая проницаемость. Отно­ шение е/е0, где е0 — проницаемость вакуума, называют относительной диэлектрической проницаемостью. Связь между Н и В задается аналогичным соотношением

В = pH.

(1.2.4)

Величина р известна как магнитная проницаемость; у не­ магнитных материалов ее величина очень близка к про­ ницаемости вакуума р0.

*) Оператор V является вектором с компонентами д/дх,

О/ву, dldz.

в ы ч и с л и т ь

16

Глава 1

При отсутствии электрических зарядов вектор D удо­ влетворяет уравнению

V-D = 0.

(1.2.5)

Вектор же магнитной индукции всегда удовлетворяет уравнению

У-В = 0

(1.2.6)

независимо от наличия или отсутствия электрических заря­ дов.

Уравнения (1.2.1)—(1.2.6) полностью описывают элек­ тромагнитное поле в линейной изотропной среде при от­ сутствии токов и свободных зарядов.

Очень важным является вектор плотности потока мощ­ ности

S = Е х Н,

(1.2.7)

который называется также вектором Пойнтинга. Он опи­ сывает поток электромагнитной мощности в пространстве. Для того чтобы получить мощность, проходящую через поверхность А с внешним единичным вектором нормали п в каждой точке, нужно поверхностный инте­ грал

P = j S - n d /[ .	(1.2.8)
л

Под световыми лучами во многих случаях можно понимать линии в пространстве, вдоль которых узким пучком рас­ пространяется электромагнитная энергия света.

Мы в основном будем иметь дело с монохроматически­ ми полями, совершающими колебания с одной определен­ ной частотой /. В этом случае удобно воспользоваться обозначениями, при которых компоненты электрического и магнитного полей могут быть выражены соотношениями следующего вида:

		F(x, у , z, i) = Re[G(x ,y,		г)еш ],	(1.2.9)
где круговая		частота со определена		как
		со =	2л/,		(1.2.10)
a G (х , у,	z) — комплексная функция вещественных пере­
менных х,	у,	z. Символ Re [	] означает, что берется ве­

Волновал оптика

17

щественная часть от выражения в скобках. Мы всегда будем опускать символ Re[ ] в уравнениях, даже если они должны быть интерпретированы как (1.2.9), подразу­ мевая при этом, что только вещественная часть величины имеет физический смысл. Таким образом, будем просто писать

F(x, г/, z, i) —G (х, у, г)еш .

(1.2.11)

С помощью такой комплексной записи вектор Пойнтинга (1.2.7) представится в виде

S = l( E x H * ) .

(1.2.12)

Звездочка означает комплексно сопряженную величину. Множитель 1/2 появляется в (1.2.12) при вычислении среднего по времени значения вектора Пойнтинга, на что указывает черточка сверху. Вещественная часть от выражения (1.2.12) представляет собой физический сред­ ний во времени вектор потока мощности.

■1.3. ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ

Из уравнений Максвелла многими способами можно получать уравнения, удобные для тех или иных конкрет­ ных приложений. Например, подставим величину (1.2.4) в уравнение (1.2.2) и возьмем ротор от этого уравнения. В результате получим

V x ( V x E ) = - p ^ - ( V X H).

(1.3.1)

При выводе уравнения (1.3.1) мы предположили, что ве­ личина р не зависит от координат. Подстановка (1.2.1) и (1.2.3) в (1.3.1) приводит к уравнению, содержащему только вектор Е:

V X (V X E)-j-ep ^ F = 0-

(1-3.2)

Это уравнение справедливо и в том случае, если е изме­ няется в пространстве. Ввиду того что оператор V х V х не очень удобен для применения, целесообразно восполь­ зоваться векторным тождеством

v X (v X Е) =	v (V
2—087	*	научно-текнпчесеая
	♦	бьблмоте	О- С1-

1 к

18

Глава 1

которое справедливо в декартовой системе координат. Использование соотношений (1.2.3) и (1.2.5) дает возмож­ ность переписать уравнение (1.3.2) в следующем виде:

^ E + v ( E . ^ i ) = £, . ^ .

(1.3.4)

В частном случае, когда величина е постояииа в простран­ стве, градиент е обращается в нуль и уравнение (1.3.4) принимает вид волнового уравнения

т 2 Е = еи - ж -

t1-3-5)

Волновое уравнение (1.3.5) справедливо для каждой декартовой компоненты вектора электрического поля, т. е. каждая его декартова компонента удовлетворяет скалярному волновому уравнению

* ч = 4 - ^<5*2

(1.3.6)

где величина

- 1/2	(1.3.7)

имеет физический смысл скорости света в среде с диэлек­ трической проницаемостью е/е0.

Волновое уравнение (1.3.6) приближенно удовлетворя­ ется для каждой компоненты вектора электрического поля даже в случае, когда е изменяется в пространстве, при условии, что ее изменения незначительны на расстоянии порядка длины волпы света. К этому мы еще вернемся

несколько	позже.		понять, если
Смысл	волнового уравнения легко
учесть, что любая функция вида
	Ф = / (*— -7	П,Г)	(1.3.8)

есть решение этого уравнения при условии, что существует вторая производная от /. Компоненты вектора г являются координатами точки наблюдения поля; п — единичный вектор. В решении (1.3.8) волнового уравнения (1.3.6) скорость v не должна зависеть от частоты.

Решеиие (1.3.8) волнового уравнения представляет собой плоские волны,-, распространяющиеся в простраи-

Волновая оптика

19

стве, однородно заполненном средой с диэлектрической проницаемостью е/е0. Для того чтобы убедиться, что функция (1.3.8) описывает плоские волны, нужно рас­ смотреть некоторое фиксированное значение аргумента

u = t — ^-n-r.

(1.3.9)

При любом данном значении и функция / имеет соответ­ ствующее фиксированное значение / (и). Величина и — = const при фиксированном значении времени t реализу­

ется в	плоскости,	определяемой соотношением п-г =
= const.	Вектор п направлен перпендикулярно плоскости.
Поэтому	функция	имеет одно и то же значение

в пространстве именно на этой бесконечной плоскости. Для того чтобы посмотреть, каким образом это фикси­ рованное значение функции ведет себя с течением времени, предположим, что t изменилось на At, вектор г — на А г, но так, что величина и осталась неизменной. Связь между приращением времени и изменением положения вектора

при фиксированном значении	и задается	соотношением
п-Аг =	vAt.	(1.3.10)

Конец вектора А г снова лежит на плоскости. Вектор п, очевидно, является нормалью как к первоначальной, так п к смещенной плоскостям. Плоскость, описываемая формулой (1.3.9), перемещается в направлении п на рас­ стояние vAt за время At. Отсюда следует, что плоскость движется в пространстве со скоростью v. Уравнение (1.3.8), таким образом, описывает плоское волновое воз­ мущение, движущееся со скоростью v. Вид функции/ (и) произволен. Изменяя знак v в (1.3.8), получаем другое решение волнового уравнения. Легко видеть, что функция

ф = / ( г + 1 н . Г)

представляет плоскую волну, распространяющуюся в на­ правлении — п.

Весьма важным частным случаем являются такие решения волнового уравнения, которые в каждой точке пространства изменяются во времени по синусоидальному