Площа в полярній системі координат.

Рис. 5.16.

Введемо на площині полярну систему координат і розглянемо криволінійний сектор (рис. 5.16), обмежений двома променями і , що утворюють з полярною віссю кути і ( ), і кривою , рівняння якої в полярних координатах має вигляд , де – невід’ємна неперервна для функція.

Обчислимо наближено диференціал як головну частину приросту при , прийнявши його за площу кругового сектора радіуса з центральним кутом . Тоді: . Інтегруючи одержимо

, (5.50)

де – рівняння заданої лінії.

Рис. 5.17.

Приклад 5.40. Обчислити площу фігури, обмеженої кардіоїдою (рис. 5.17).

Розв’язання. Згідно з формулою (5.50) маємо

. Отже, .

Довжина дуги.

Рис. 5.18.

Поставимо перед собою задачу знайти довжину дуги кривої від точки до точки (рис. 5.18).

Відомо, що довжина нескінченно малої дуги і стягуючої її хорди є еквівалентними нескінченно малими величинами. Замінимо довжину дуги довжиною відрізка прямої , що з'єднує точки і .

За теоремою Піфагора .

Якщо , то , . Тоді:

, (5.51)

де – рівняння лінії, що задає дугу. Проінтегрувавши, одержимо

. (5.52)

Приклад 5.41. Обчислити довжину кривої від її вершини до точки .

Розв’язання. Тут . Застосовуючи формулу (5.52), одержуємо .

Нехай лінія задана параметричними рівняннями

,

Тоді справедлива формула

. (5.53)

Приклад 5.42. Обчислити довжину кола

Розв’язання. Оскільки , , то:

.

Якщо ж лінія задана в полярній системі координат рівнянням , де , то за допомогою формул переходу до декартових координат , , прийнявши за параметр, формулу (5.53) можна перетворити до виду:

. (5.54)

15. 15. Застосування інтеграла в задачах економіки

Розглянемо декілька задач, які часто зустрічаються в економічних додатках в ринковій економіці.

Лишок або додаткова вигода споживача (покупця).

Розглянемо криву попиту деякого товару, задану як і показану на рис. 5.19.

Тут – рівноважна ціна, а – реалізована за цією ціною кількість товару. Оскільки на кривій попиту – це ціна одиниці товару, то загальна сума грошей, що витрачена споживачами на придбання кількості товару буде, очевидно, складати .

Припустимо, що товар у кількості не одразу весь потрапляє на ринок, а подається невеличкими партіями, що дорівнюють . Це досить поширена тактика реалізації товару. Мета продавця достатньо прозора: підтримати ціну на товар вище рівноважної. Дійсно, після першої партії товару його кількість на ринку буде

.

Ціну, що відповідає цій кількості товару, знаходимо з кривої попиту

.

Рис. 5.19.

Якщо припускатимемо значення мале, то можна вважати, що вся партія товару реалізується за ціною , а витрати споживачів на цю партію товару становлять .

Після цього на ринок подається друга партія товару, також рівна . Однак зараз загальна кількість товару, що потрапила на ринок, буде

.

Відповідна ціна також знаходиться з кривої попиту

.

Можна вважати, що друга партія товару буде реалізована за ціною , а витрати споживачів становлять .

Цей процес можна продовжувати до тих пір, доки не отримаємо

.

Для того, щоб точно попасти в точку необхідно, очевидно, вибрати

.

Реалізація -ї, останньої партії товару буде проводитись за ціною

,

тобто за рівноважною ціною. Витрати ж споживачів на цю останню партію товару становитимуть

.

Загальні ж витрати споживачів на всю кількість товару будуть

.

Сказане вище представлено на рис. 5.20.

Рис. 5.20.

Із рис. 5.20 видно, що загальні витрати споживачів дорівнюють сумі площ прямокутників, а це, в свою чергу, наближено дорівнюватиме визначеному інтегралу.

.

Якщо число буде як завгодно великим, а значення відповідно як завгодно малим, то наближена рівність перетвориться у точну. Таким чином, сумарні витрати споживачів при продажу товару партіями , коли ці партії будуть як завгодно малі, дорівнюватимуть площі криволінійної трапеції між точками 0 і .

За означенням приймається, що лишок споживача – це різниця між гіпотетичними витратами споживачів, що могли б бути, і реальними витратами за умов ринку, рівними . Якщо позначити додаткову вигоду для споживача через , то

.

Геометричну інтерпретацію наведеного означення зображено на рис. 5.21.

Рис. 5.21.