- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
- •Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних
- •1. Об'єм циліндричного тіла
- •2. Означення подвійного інтеграла
- •3. Властивості подвійного інтеграла
- •4. Обчислення подвійного інтеграла
- •5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії Площа плоскої фігури.
- •Площа поверхні.
- •6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці Маса плоскої пластини.
- •Статичні моменти.
- •Координати центра мас.
- •Моменти інерції.
- •7. Поняття про потрійний інтеграл
- •8. Заміна змінних в потрійному інтегралі
- •9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці
- •Розділ 7. Ряди
- •1. Числові ряди. Основні поняття
- •2. Властивості числових рядів
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів Ознака порівняння.
- •Ознака порівняння в граничній формі.
- •Ознака Даламбера.
- •Радикальна ознака Коші.
- •Інтегральна ознака Коші.
- •5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
- •Ознака Лейбніца.
- •6. Знакозмінні числові ряди
- •7. Функціональні ряди. Основні поняття
- •8. Область збіжності степеневого ряду
- •9. Ряди Тейлора і Маклорена
- •10. Розвинення функцій в ряд Маклорена
- •11. Застосування степеневих рядів
- •Обчислення значень функцій.
- •Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Доведення формули Ейлера.
- •12. Динамічні ряди
- •Розділ 8. Диференціальні рівняння
- •1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння першого порядку з подільними змінними.
- •Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах.
- •3. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.
- •4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих
- •6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •7. Системи диференціальних рівнянь
- •Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •8. Задачі економічної динаміки
4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку
, (8.24)
де і – деякі числа.
Теорема 8.3. Частинний розв'язок диференціального рівняння (8.24) має вигляд , де число – корінь рівняння
.
Доведення. Покажемо, що функція за зазначених умов задовольняє рівняння (8.24). Для даної функції , . Підставивши у рівняння (8.24), одержимо
.
Отриманий вираз може мати нульове значення тільки при , що вказує на те, що число є коренем квадратного рівняння, яке будемо називати характеристичним.
Всі коефіцієнти характеристичного рівняння є відповідними коефіцієнтами диференціального рівняння.
Теорема 8.4. Якщо корені характеристичного рівняння:
1) дійсні і різні , то загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд
; (8.25)
2) дійсні і рівні , то загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд
; (8.26)
3) комплексно спряжені ( , , ), то загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд
. (8.27)
1. Нехай корені характеристичного рівняння дійсні і різні: . Тоді за теоремою (8.3) частинними розв'язками диференціального рівняння (8.24) є функції , . Ці розв'язки лінійно незалежні, оскільки
.
Отже, згідно з теоремою (8.2) можна сконструювати загальний розв'язок диференціального рівняння (8.24)
.
2. Нехай корені характеристичного рівняння дійсні і рівні ( ), що можливо, якщо дискримінант квадратного рівняння . При цьому, розв’язуючи характеристичне рівняння, одержуємо .
За теоремою (8.3) один частинний розв'язок рівняння має вигляд . Інший частинний розв'язок повинен бути лінійно незалежним від першого. Покажемо, що таким розв'язком може бути функція . Покажемо, що вона задовольняє рівняння (8.24).
Знайдемо першу і другу похідні цієї функції
, .
Підставимо , , , у диференціальне рівняння (8.24) і після перетворень одержимо , оскільки за умовою дискримінант характеристичного рівняння . Отже, функція є частинним розв'язком рівняння (8.24). Так загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд
.
3. Нехай корені характеристичного рівняння комплексно спряжені: де . Тоді за теоремою (8.3) частинні розв'язки рівняння (8.24)
.
Застосовуючи формулу Ейлера, вираз запишемо у вигляді . При цьому частинні розв'язки рівняння (8.24) приймають вигляд
або
.
Отримані функції є частинними розв'язками рівняння (8.24), але містять у собі уявну одиницю . Неважко показати, що якщо функція є розв'язком рівняння (8.24), то окремо функції і також є його розв'язками. Тому приймемо за перший частинний розв'язок функцію , за другий частинний розв'язок . Очевидно, що ці функції лінійно незалежні, тому в такому випадку загальний розв'язок рівняння (8.24) має вигляд
або
.
Приклад 8.10. Знайти частинний розв'язок рівняння , якщо відомо, що , .
Розв’язання. Тут характеристичне рівняння має вигляд і його корені , дійсні і різні, тому, застосовуючи формулу (8.25) загальний розв'язок рівняння запишемо у вигляді .
Після диференціювання загального розв'язку, одержимо
.
Підставляючи в початкові умови , , , одержимо систему рівнянь
Звідки знайдемо, що , .
Отже, частинний розв'язок, що задовольняє зазначеним початковим умовам, має вигляд .
Приклад 8.11. Знайти загальний розв'язок рівняння .
Розв’язання. Тут характеристичне рівняння має корені , отже, за формулою (8.26) загальний розв'язок рівняння має вигляд .
Приклад 8.12. Знайти загальний розв'язок рівняння .
Розв’язання. Характеристичне рівняння даного диференціального рівняння має вигляд . Його дискримінант , а . Корені рівняння є комплексно спряженими. Тут , . За формулою (8.27) загальний розв'язок рівняння буде
.