- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
- •Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних
- •1. Об'єм циліндричного тіла
- •2. Означення подвійного інтеграла
- •3. Властивості подвійного інтеграла
- •4. Обчислення подвійного інтеграла
- •5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії Площа плоскої фігури.
- •Площа поверхні.
- •6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці Маса плоскої пластини.
- •Статичні моменти.
- •Координати центра мас.
- •Моменти інерції.
- •7. Поняття про потрійний інтеграл
- •8. Заміна змінних в потрійному інтегралі
- •9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці
- •Розділ 7. Ряди
- •1. Числові ряди. Основні поняття
- •2. Властивості числових рядів
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів Ознака порівняння.
- •Ознака порівняння в граничній формі.
- •Ознака Даламбера.
- •Радикальна ознака Коші.
- •Інтегральна ознака Коші.
- •5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
- •Ознака Лейбніца.
- •6. Знакозмінні числові ряди
- •7. Функціональні ряди. Основні поняття
- •8. Область збіжності степеневого ряду
- •9. Ряди Тейлора і Маклорена
- •10. Розвинення функцій в ряд Маклорена
- •11. Застосування степеневих рядів
- •Обчислення значень функцій.
- •Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Доведення формули Ейлера.
- •12. Динамічні ряди
- •Розділ 8. Диференціальні рівняння
- •1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння першого порядку з подільними змінними.
- •Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах.
- •3. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.
- •4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих
- •6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •7. Системи диференціальних рівнянь
- •Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •8. Задачі економічної динаміки
Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду
(8.9)
де – відомі функції аргументу , – невідома функція.
Рівняння називається лінійним тому, що і входять у нього лінійно, тобто в першій степені.
Метод розв'язання такого рівняння запропонував Бернуллі. Метод полягає в наступному: знайдемо розв'язок рівняння у вигляді добутку двох функцій і . Підберемо функції і так, щоб їх добуток задовольняв рівняння. Підставивши в рівняння , , одержимо
.
Одну з функцій підберемо так, щоб .
Помітимо, що , інакше функція . Тому і . Одержали систему двох рівнянь з подільними змінними:
(8.10)
Розв’яжемо перше рівняння системи. Оскільки , то рівняння набуває вигляду або після поділу змінних
.
Звідки , .
Підставимо знайдену функцію у друге рівняння системи (8.10) і розв’яжемо його відносно функції . Одержимо або Звідки .
Загальний розв'язок лінійного рівняння має вигляд
.
Може скластися враження, що лінійне рівняння розв’язується дуже громіздко. Однак це не так, і, в дійсності, немає ніякої потреби користатися виведеними громіздкими формулами. Важливо тільки запам'ятати загальний хід розв'язку лінійного рівняння.
Приклад 8.4. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння .
Розв’язання. Дане рівняння є лінійним, тому що в нього і входять у першій степені. Приведемо його до стандартного вигляду, розділивши на , одержимо
Будемо шукати розв'язок у вигляді . Підставимо в рівняння , і підберемо функції і так, щоб рівняння перетворювалося в правильну рівність:
, або .
Нехай . Тоді
Розв’яжемо систему
З першого рівняння знайдемо і Підставляючи в друге рівняння системи знайдену функцію , одержуємо або . Звідки Загальний розв'язок має вигляд
Рівняння Бернуллі.
Рівняння Бернуллі має вигляд
. (8.11)
Як бачимо, рівняння відрізняється від лінійного тільки множником у правій частині рівняння. Покажемо, що це рівняння приводиться до лінійного. Поділимо рівняння на
і замінимо , тоді .
Оскільки , то рівняння набуває вигляду
,
тобто одержали лінійне рівняння відносно функції .
На практиці рівняння Бернуллі може розв’язуватися тим же способом, що і лінійне, без попереднього зведення його до лінійного рівняння.
Приклад 8.5. Знайти загальний розв'язок рівняння
.
Розв’язання. Очевидно, що дане рівняння є рівнянням Бернуллі . Знайдемо розв'язок у вигляді .
Підберемо і так, щоб їх добуток задовольняв рівняння. Підставимо в рівняння , , одержимо
, .
Складемо систему рівнянь:
Розв’язуючи перше рівняння системи, знайдемо . Підставляючи знайдену функцію в друге рівняння системи, одержуємо чи . Звідки , . Загальний розв'язок рівняння: .
Рівняння в повних диференціалах.
Рівняння виду
(8.12)
називається рівнянням у повних диференціалах, якщо ліва частина рівняння є повним диференціалом деякої функції. Його можна записати у вигляді
,
де така функція, що .
Звідси випливає, що загальний розв'язок рівняння (8.12) у неявному вигляді визначається рівнянням
,
де – довільна стала.
Таким чином, розв'язання рівняння зводиться до знаходження такої функції , диференціал якої дорівнює , де , .
Оскільки змішані похідні другого порядку функції двох змінних рівні між собою, то для того, щоб вираз був повним диференціалом, необхідно і достатньо, щоб . Інтегруючи співвідношення за x, знаходимо
, (8.13)
де – довільна функція від .
Підберемо функцію так, щоб .
Для цього продиференціюємо праву частину рівності (8.13) по і отриману похідну прирівняємо до функції
.
З даного рівняння визначаємо й інтегруючи, знаходимо . Підставимо знайдену функцію в співвідношення (8.13) і одержимо шукану функцію .
Приклад 8.6. Знайти загальний розв'язок рівняння
.
Розв’язання. Тут , . Оскільки , , то дане рівняння є рівнянням у повних диференціалах.
Продиференціюємо отриману рівність по і одержимо
.
Звідки , , , . Отже, розв'язком рівняння є функція
.