- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
- •Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних
- •1. Об'єм циліндричного тіла
- •2. Означення подвійного інтеграла
- •3. Властивості подвійного інтеграла
- •4. Обчислення подвійного інтеграла
- •5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії Площа плоскої фігури.
- •Площа поверхні.
- •6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці Маса плоскої пластини.
- •Статичні моменти.
- •Координати центра мас.
- •Моменти інерції.
- •7. Поняття про потрійний інтеграл
- •8. Заміна змінних в потрійному інтегралі
- •9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці
- •Розділ 7. Ряди
- •1. Числові ряди. Основні поняття
- •2. Властивості числових рядів
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів Ознака порівняння.
- •Ознака порівняння в граничній формі.
- •Ознака Даламбера.
- •Радикальна ознака Коші.
- •Інтегральна ознака Коші.
- •5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
- •Ознака Лейбніца.
- •6. Знакозмінні числові ряди
- •7. Функціональні ряди. Основні поняття
- •8. Область збіжності степеневого ряду
- •9. Ряди Тейлора і Маклорена
- •10. Розвинення функцій в ряд Маклорена
- •11. Застосування степеневих рядів
- •Обчислення значень функцій.
- •Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Доведення формули Ейлера.
- •12. Динамічні ряди
- •Розділ 8. Диференціальні рівняння
- •1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння першого порядку з подільними змінними.
- •Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах.
- •3. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.
- •4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих
- •6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •7. Системи диференціальних рівнянь
- •Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •8. Задачі економічної динаміки
11. Застосування степеневих рядів
Степеневі ряди знаходять застосування в різних питаннях наближених обчислень.
Обчислення значень функцій.
Для обчислення наближених значень функції з заданою точністю зручно використовувати ряди в тому випадку, коли відповідний ряд є знакопочережним. Для знакопочережного ряду, що є збіжним, легко оцінити похибку наближеного значення суми – вона менше ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів.
Приклад 7.12. Обчислити з точністю до 0,0001.
Розв’язання. Скористаємося розвиненням у ряд функції :
.
Підставляючи в рівність значення , одержуємо ряд для обчислення з будь-якою точністю:
.
Абсолютна величина четвертого члена цього ряду менше чим 0,0001. Тому для обчислення наближеного значення з точністю до 0,0001 досить узяти суму трьох перших членів ряду
.
Наближене обчислення визначених інтегралів.
Багато інтегралів, що не беруться чи важко обчислюються за формулою Ньютона–Лейбніца, можна обчислити, розкладаючи підінтегральну функцію в ряд, а потім інтегруючи на даному відрізку не саму функцію, а її розвинення в ряд.
Приклад 7.13. Обчислити .
Розв’язання. Розкладемо підінтегральну функцію в степеневий ряд. Оскільки ,
то одержимо . Почленно інтегруючи, маємо
Отримали знакопочережний ряд, що задовольняє умові ознаки Лейбніца, отже, похибка при заміні суми ряду сумою його перших членів не перевищує абсолютної величини першого відкинутого члена.
Якщо взяти , отримаємо похибку, меншу ніж . Звідси випливає, що обмеживши тільки двома доданками, одержимо наближене значення інтеграла з точністю до 0,01:
.
Доведення формули Ейлера.
Якщо дійсне число, то . При цьому ряд є збіжним для будь-якого . Підставимо в рівність , де , одержимо
.
Оскільки …, підставляючи ці значення в розвинення для , маємо
або, розділяючи дійсні і уявні доданки:
.
Відповідно до розвинень (7.29) і (7.30) вирази в дужках рівні і відповідно, а це означає, що
.
12. Динамічні ряди
В економічному аналізі деякі скінченні суми прийнято називати рядами. Прикладами таких сум можуть бути динамічні ряди.
Динамічний ряд являє собою сукупність послідовних значень деякого показника, які характеризують його зміну у часі. Якщо показник відноситься до економічної системи чи організації, то таку область досліджень називають економічною динамікою.
Динамічні ряди бувають моментні та інтервальні. Перші відповідають значенню показника в певний момент часу, другі характеризують показник за деякий період.
Динамічні ряди бувають також стаціонарні і нестаціонарні. Стаціонарний динамічний ряд не має тенденції до зміни тренду, нестаціонарний (еволюційний) ряд має тренд, що змінюється. Поняття тренду зазвичай характеризує певну тенденцію до постійної зміни показника, який описують за допомогою динамічного ряду. Існує безліч способів для обчислення тренду.
При аналізі динамічних рядів використовують також поняття сезонності (циклічності), яке характеризує будь-які періодичні коливання даного ряду, а також поняття випадкового відхилення. Випадкове відхилення, або випадкова компонента, зафіксовує одномоментні зміни динамічного ряду під дією будь-яких випадкових факторів та причин. Для усунення випадкових відхилень виконують вирівнювання динамічного ряду.
Зазвичай при введенні динамічного ряду його зображають в вигляді певної математичної моделі. Форми математичної моделі динамічного ряду можуть бути різними. Нехай
, ,
– деякий динамічний ряд і – його спрощений запис.
Можна записати декілька частинних моделей динамічного ряду, наприклад:
модель тренду
,
де – часовий тренд даного виду, – випадкова компонента;
модель сезонності
,
де – періодична сезонна складова.
Існують більш складні моделі динамічних рядів, в тому числі моделі кривих росту, адаптивні, авторегресивні та ін.
В загальному випадку кожен член динамічного ряду , можна представити в адитивній формі:
,
де – тренд динамічного ряду – регулярна компонента, яка характеризує загальну тенденцію, – сезонна (циклічна) компонента, – випадкова компонента, яка утворюється під впливом різних (як правило, невідомих) причин, – компонента, яка забезпечує відповідність елементів динамічного ряду, – управляюча компонента, за допомогою якої впливають на члени динамічного ряду з метою формування в майбутньому його траєкторії.
Аналіз динамічного процесу проводиться по наступній схемі.
Члени динамічного ряду коректуються спеціальною компонентою , якщо цього вимагають умови. Якщо ряд не потребує коректування, то вважають, що .
Управляючу компоненту приймають рівною нулю.
Обчислюють регулярну компоненту (тренд).
Знаходять сезонну компоненту .
Знаходять оцінку похибки при обчисленні і , тобто оцінку випадкової складової .
Дослідження динамічних рядів і економічних процесів з ними пов’язаних проводять за допомогою формул та методів теорії ймовірностей, математичної статистики та економетрії.
Вправи
7.1. Дослідити на збіжність ряд, користуючись означенням збіжності ряду. Якщо ряд збіжний, знайти його суму:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
є) .
7.2. Перевірити необхідну ознаку збіжності ряду:
а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) ; є) .
7.3–7.29. Застосовуючи достатні ознаки збіжності числових додатніх рядів, дослідити на збіжність наступні ряди.
7.3. . 7.4. .
7.5. . 7.6. .
7.7. . 7.8. .
7.9. . 7.10. .
7.11. .
7.12. .
7.13. .
7.14. .
7.15. .
7.16. .
7.17. .
7.18. .
7.19. .
7.20. . 7.21. .
7.22. . 7.23. .
7.24. . 7.25. .
7.26. .
7.27. .
7.28. .
7.29. .
7.30–7.36. Дослідити на збіжність наступні знакозмінні ряди.
7.30. .
7.31. .
7.32. .
7.33. .
7.34. .
7.35. .
7.36. .
7.37. Знайти суму рядів:
а) ;
б) ;
в) .
7.38–7.44. Дослідити на абсолютну та умовну збіжність наступні ряди.
7.38. . 7.39. .
7.40. . 7.41. .
7.42. . 7.43. .
7.44. .
7.45–7.49. Знайти області збіжності (абсолютної та умовної) наступних функціональних рядів.
7.45. . 7.46. .
7.47. . 7.48. .
7.49. .
7.50–7.54. Дослідити послідовності на рівномірну збіжність на вказаному проміжку.
7.50. .
7.51. .
7.52. .
7.53. .
7.54. .
7.55. Дослідити на збіжність , і, якщо можна, знайти суму, замінивши її сумою перших двох членів ряду. Оцінити похибку.
7.56. Дослідити на збіжність і знайти суму з точністю до 0,01.
7.57–7.62. Знайти область збіжності степеневих рядів.
7.57. . 7.58. .
7.59. . 7.60. .
7.61. . 7.62. .
7.63. Розкласти в ряд Тейлора функцію за степенями .
7.64–7.67. Розкласти в ряд Маклорена наступні функції.
7.64. . 7.65. .
7.66. . 7.67. .
7.68. Обчислити приблизно, використовуючи розвинення в степеневий ряд відповідної функції:
а) ; б) .
7.69. Обчислити наближено з точністю до 0,001.
7.70. Обчислити наближено з точністю до 0,1.