- •Розділ 5. Інтегральне числення функції однієї змінної
- •1. Первісна і невизначений інтеграл
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця невизначених інтегралів
- •4. Основні методи інтегрування
- •Безпосереднє інтегрування.
- •Заміна змінної при інтегруванні.
- •Інтегрування раціональних дробів.
- •Інтегрування ірраціональних функцій.
- •Інтегрування трансцендентних функцій.
- •5. Поняття визначеного інтегралу
- •6. Геометричний зміст визначеного інтеграла
- •7. Економічний зміст визначеного інтеграла
- •8. Властивості визначеного інтеграла
- •11) Теорема про середнє значення інтегралу.
- •9. Формула Ньютона–Лейбніца
- •10. Заміна змінної у визначеному інтегралі
- •11. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі
- •12. Невласні інтеграли
- •Невласні інтеграли з нескінченними границями інтегрування.
- •Невласні інтеграли від необмежених функцій.
- •13. Наближене обчислення визначених інтегралів
- •Спосіб прямокутників.
- •Спосіб трапецій.
- •Спосіб парабол.
- •14. Застосування інтеграла в геометричних задачах Площа в декартовій системі координат.
- •Площа в полярній системі координат.
- •Довжина дуги.
- •15. Застосування інтеграла в задачах економіки
- •Додаткова вигода чи лишок виробника (продавця).
- •Знаходження капіталу (основних фондів) за відомими чистими інвестиціями.
- •Обернена задача для знаходження вартості ануїтету (регулярних платежів) щодо неперервних відсотків.
- •Розділ 6. Інтегральне числення функцій багатьох змінних
- •1. Об'єм циліндричного тіла
- •2. Означення подвійного інтеграла
- •3. Властивості подвійного інтеграла
- •4. Обчислення подвійного інтеграла
- •5. Застосування подвійного інтеграла в геометрії Площа плоскої фігури.
- •Площа поверхні.
- •6. Застосування подвійного інтеграла у фізиці Маса плоскої пластини.
- •Статичні моменти.
- •Координати центра мас.
- •Моменти інерції.
- •7. Поняття про потрійний інтеграл
- •8. Заміна змінних в потрійному інтегралі
- •9. Застосування потрійного інтеграла у фізиці
- •Розділ 7. Ряди
- •1. Числові ряди. Основні поняття
- •2. Властивості числових рядів
- •3. Необхідна ознака збіжності ряду
- •4. Достатні ознаки збіжності знакопостійних рядів Ознака порівняння.
- •Ознака порівняння в граничній формі.
- •Ознака Даламбера.
- •Радикальна ознака Коші.
- •Інтегральна ознака Коші.
- •5. Знакопочережні числові ряди. Ознака Лейбніца
- •Ознака Лейбніца.
- •6. Знакозмінні числові ряди
- •7. Функціональні ряди. Основні поняття
- •8. Область збіжності степеневого ряду
- •9. Ряди Тейлора і Маклорена
- •10. Розвинення функцій в ряд Маклорена
- •11. Застосування степеневих рядів
- •Обчислення значень функцій.
- •Наближене обчислення визначених інтегралів.
- •Доведення формули Ейлера.
- •12. Динамічні ряди
- •Розділ 8. Диференціальні рівняння
- •1. Економічні задачі, що приводять до диференціальних рівнянь. Основні означення
- •2. Диференціальні рівняння першого порядку
- •Диференціальні рівняння першого порядку з подільними змінними.
- •Однорідні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Лінійні диференціальні рівняння першого порядку.
- •Рівняння Бернуллі.
- •Рівняння в повних диференціалах.
- •3. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Деякі диференціальні рівняння другого порядку, що допускають зниження порядку.
- •Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку. Загальні властивості.
- •4. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку. Метод варіації довільних сталих
- •6. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами
- •7. Системи диференціальних рівнянь
- •Системи лінійних однорідних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами.
- •8. Задачі економічної динаміки
4. Основні методи інтегрування
Слід зазначити, що не існує універсального методу знаходження невизначених інтегралів. Основою для цього є таблиця інтегралів, властивості інтегралів, методи інтегрування.
Безпосереднє інтегрування.
Так називають інтегрування з використанням таблиці основних інтегралів та властивостей неозначеного інтегралу. Наведемо приклади безпосереднього інтегрування.
Приклад 5.1. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. Маємо:
.
Приклад 5.2. Обчислити інтеграл .
Розв’язання.
.
Приклад 5.3. Обчислити інтеграл .
Розв’язання.
.
Приклад 5.4. Обчислити інтеграл .
Розв’язання.
.
Приклад 5.5. Обчислити інтеграл .
Розв’язання.
.
Приклад 5.6. Обчислити інтеграл .
Розв’язання.
.
При інтегруванні зручно використовувати властивість інваріантності диференціалу; наведемо, наприклад, такі формули:
; ; ;
; ; ;
; ; .
Приклад 5.7. Обчислити інтеграли:
а) ; б) .
Розв’язання. а) ;
б) .
Приклад 5.8. Обчислити інтеграл .
Розв’язання.
.
Приклад 5.9. Обчислити інтеграл .
Розв’язання.
.
Зауваження. При знаходженні суми інтегралів звичайно відразу пишуть одну довільну сталу.
Заміна змінної при інтегруванні.
Нехай на деякому проміжку визначена складна функція і функція неперервна на цьому проміжку. Тоді:
. (5.3)
Формулу (5.3) називають формулою заміни змінної при інтегруванні.
Приклад 5.10. Обчислити інтеграл .
Розв’язання.
.
Вибір конкретної заміни “підказується” властивістю інтегралу.
Приклад 5.11. Обчислити інтеграл .
Розв’язання.
, або, повертаючись до змінної , маємо
Приклад 5.12. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. Розділивши чисельник та знаменник функції на , маємо
Ці перетворення підказують наступну заміну: . Тоді:
Приклад 5.13. Обчислимо інтеграл , .
Розв’язання. Застосуємо підстановку , .
Тоді ,
і (зауважимо, що оскільки для , то арифметичне значення кореня дорівнює ); беручи інтеграл, одержуємо .
З рівності одержимо, що , Остаточно маємо Значення цього інтегралу наведено в таблиці основних інтегралів.
Приклад 5.14. Обчислити інтеграл
Розв’язання. Обчислимо даний інтеграл кількома способами.
а) Нехай Маємо
Враховуючи, що а одержуємо
б) Нехай отже,
в) Покладемо тоді причому маємо Враховуючи, що розв’язуючи рівняння відносно - параметр) та відкинувши , маємо . Формально одержимо іншу відповідь порівняно з рішенням у пп. “а”, “б”, але можна одержати ту ж саму відповідь, якщо враховувати, що
Помітимо, що якщо первісна існує, то при різних підстановках відрізняється лише сталою. Цей інтеграл можна обчислити за допомогою інших підстановок ( ). Це свідчить про творчий процес інтегрування.
Інтегрування частинами у невизначеному інтегралі.
Цей метод опирається на рівність
(5.4)
яку називають формулою інтегрування частинами.
Застосування формули (5.4) доцільно у тих випадках, коли підінтегральний вираз вдається представити у вигляді добутку двох множників і таким чином, щоб інтегрування виразів та стало задачею більш простою, ніж інтегрування початкового виразу.
По відомому диференціалу функція визначається неоднозначною, але у формулі (5.4) за може бути вибрана будь-яка функція, що має диференціал (тобто довільну сталу при знаходженні випускають).
Іноді для обчислення інтегралу формулу інтегрування по частинам доводиться застосовувати декілька разів.
Приклад 5.15. Обчислити інтеграл .
Розв’язання.
.
Приклад 5.16. Обчислити інтеграл .
Розв’язання.
.
Обчислимо інтеграл:
.
Остаточно маємо
Приклад 5.17. Обчислити інтеграл .
Розв’язання.
.
Таким чином
Приклад 5.18. Обчислити інтеграл .
Розв’язання.
.
Таким чином
Приклад 5.19. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. Шляхом інтегрування частинами можна одержати рекурентну формулу для обчислення інтегралу: .
(5.5)
По формулі (5.5) зводиться до (будемо писати ),
Приклад 5.20. Обчислити інтеграл .
Розв’язання. В цьому випадку прийшлося б п’ять разів інтегрувати по частинам, кожного разу вибираючи многочлен за . Простіше скористатися формулою ( – многочлен)
В нашому випадку