Інтегрування раціональних дробів.

Нагадаємо, що раціональний дріб називається правильним, якщо степені многочленів і задовольняють нерівність . Відомо, що всякий правильний дріб можна подати єдиним способом у вигляді суми елементарних раціональних дробів: . Тому інтегрування раціональних дробів зводиться до розкладу раціональної функції на елементарні дроби та до інтегрування елементарних дробів та многочленів. Інтегрування елементарних дробів провадиться таким чином:

1)

2)

3)

4)

, .

Останній інтеграл підстановкою зводиться до інтегралу , формула (5.5).

Приклад 5.21. Обчислити .

Розв’язання. Поділивши многочлен на многочлен , одержимо частку та залишок . Отже, має дійсні корені першої кратності Тому розклад на елементарні дроби має вигляд:

З рівності дробів випливає рівність многочленів:

Для маємо , тобто

для маємо , тобто

для маємо , тобто

Таким чином, ,

Приклад 5.22. Обчислити

Розв’язання. Знаменник має дійсний корінь другої кратності, дійсний корінь першої кратності та комплексні корені першої кратності. Тому розклад підінтегральної функції на елементарні дроби має вигляд Зауважимо, що кількість невизначених коефіцієнтів співпадає з найбільшим показником степеня змінної в знаменнику правильного раціонального дробу. З рівності дробів випливає рівність многочленів:

Маємо при :

при :

при :

Прирівнюючи дійсні та уявні частини, одержуємо

Для знаходження коефіцієнта скористаємося методом неозначених коефіцієнтів (МНК), прирівнюючи коефіцієнти при в обох частинах тотожності: . Звідки тобто Таким чином: ,

Приклад 5.23. Обчислити

Розв’язання. Зробимо попередньо заміну тоді . Користуючись схемою Горнера, розкладемо многочлен, що стоїть у чисельнику, за степенями :

Враховуючи, що маємо Розкладемо підінтегральну функцію на елементарні дроби

Маємо:

При маємо: , і далі при :

,

при маємо: , ,

при : ,

при : , ,

при : .

Підінтегральна функція може бути представлена у вигляді

.

Тоді

, .

Тому

Зауважимо, що невизначений інтеграл від будь-якої раціональної функції на всякому проміжку, який належить її області визначення, являється елементарною функцією, яка може бути представлена у вигляді алгебраїчної суми композицій раціональних функцій, логарифмів та арктангенсів.

Інтегрування ірраціональних функцій.

Часто зустрічаються інтеграли від ірраціональних функцій, які можна обчислити методом раціоналізації підінтегральної функції. Він полягає в тому, що підшукується заміна змінної, яка перетворює інтеграл від ірраціональної функції в інтеграл від раціональної функції.

Розглянемо інтеграли виду:

(5.6)

де , заміною ( – спільний знаменник чисел ) приводиться до інтегралу від раціональної функції.

Приклад 5.24. Обчислити

Розв’язання. В цьому інтегралі Зробимо заміну тоді Маємо:

.

Підінтегральну функцію представимо у вигляді

В попередніх прикладах приділено достатньо уваги інтегруванню раціональних дробів, наведемо лише відповідь

.

Інтеграл виду

(5.7)

спрощується за допомогою підстановок Ейлера:

якщо ;

якщо ;

де один із коренів квадратного тричлена.

Приклад 5.25. Обчислити

Розв’язання. Скористаємося першою підстановкою Ейлера, поклавши Після піднесення до квадрату одержимо: , .

Тоді

Для підінтегральної функції маємо:

де

Зауважимо, що підстановки Ейлера часто призводять до громіздких викладок. Інтеграли (5.7) можна звести до інтегралів типу

(5.8)

(5.9)

. (5.10)

Для обчислення інтегралу (5.10) зручно користуватися формулою Чебишева

(5.11)

де многочлен з невизначеними коефіцієнтами; невизначений коефіцієнт.

Інтеграли виду

(5.12)

де при цьому називають інтегралами від диференціального бінома. Ці інтеграли зводяться до інтегралів від раціональних функцій тільки в трьох випадках (теорема Чебишева):

(5.13)

У випадку 1) застосовується заміна де спільний знаменник дробів і , у другому і третьому випадках ― відповідно заміни та де – знаменник

Приклад 5.26. Обчислити .

Розв’язання. Перепишемо інтеграл у вигляді . У нас Маємо третій випадок диференційного бінома, оскільки – ціле число. Згідно з теоремою Чебишева, застосуємо заміну тобто Тоді Продиференціювавши обидві частини підстановки, одержимо: Не знаходячи зразу ж переходимо до інтегралу (підстановка забезпечує зникнення змінної !)

.

Одержали інтеграл від раціонального дробу. Враховуючи, що знайдемо невизначені коефіцієнти у розкладі і знайдемо значення інтегралу. Наведемо відповідь для самоконтролю: де

Інтеграл виду

(5.14)

де многочлен степеня як правило, не виражаються через елементарні функції і в цьому випадку при і називаються еліптичними, а при гіпереліптичними. В цьому випадку, коли інтеграл (5.14) при і є елементарною функцією, він називається псевдоеліптичним. Кожний еліптичний інтеграл може бути виражений через елементарні функції і через стандартні еліптичні інтеграли:

Заміною ці інтеграли зводяться до лінійних комбінацій інтегралів:

; ;

які називають відповідно еліптичними інтегралами першого, другого, третього роду в формі Лежандра.